期中复习课 第十二章全等三角形

主题1 全等三角形的判定 【主题训练1】(2013·佛山中考)课本指出：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题(如推论、定理等)的正确性都需要通过推理的方法证实. (1)叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS. (2)证明推论AAS. 要求：叙述推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明依据.

【自主解答】(1)一个三角形的两个角及其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等. (2)已知：在△ABC和△DEF中， ∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF， 求证：△ABC≌△DEF.

证明：因为∠A＋∠B＋∠C=180°， ∠D＋∠E＋∠F=180°（三角形内角和定理）， 又∠A=∠D，∠B=∠E（已知）， 所以∠C=∠F（等式的性质）. 在△ABC和△DEF中， ∠B=∠E， BC=EF， ∠C=∠F， 所以△ABC≌△DEF（ASA）.

【主题升华】 判定两个三角形全等的“四种思路” 找夹角(SAS); 1.已知两边 找直角(HL,SAS); 找另一边(SSS).

2.已知一边一角. (1)边为角的对边时，找任一角(AAS). 找角的另一边(SAS); (2)边为角的邻边时 找夹边的另一角(ASA); 找边的对角(AAS). 3.已知两角:找任意一边(AAS,ASA). 4.有直角，找两边（HL，SAS）.

1.(2013·湘潭中考)如图，在△ABC中， AB=AC，点D，E在BC上，连接AD，AE.如 果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则 添加的条件不能为　(　　) A.BD=CE B.AD=AE C.DA=DE D.BE=CD

【解析】选C.因为AB=AC，所以∠B=∠C，选项A中添加条件BD=CE，可证△ABD≌△ACE(SAS)，得到∠DAB=∠EAC，所以选项A错误；选项B中添加条件AD=AE，可得∠ADB=∠AEC，可证△ABD≌△ACE(AAS)，得到∠DAB=∠EAC，所以选项B错误；选项C中添加条件DA=DE，不能得出△ABD与△ACE中的某一元素对应相等，所以选项C正确；选项D中添加条件BE=CD，可推出BD=CE，同选项A可得选项D错误.

2.(2013·台州中考)已知△A1B1C1与△A2B2C2的周长相等，现有两个判断： ①若A1B1= A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2； ②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2. 对于上述的两个判断，下列说法正确的是　(　　) A.①正确②错误 B.①错误②正确　 C.①，②都错误 D.①，②都正确

【解析】选D.①∵A1B1= A2B2，A1C1=A2C2，A1B1+A1C1+B1C1 =A2C2+A2B2+ B2C2，∴B1C1=B2C2，∴△A1B1C1≌△A2B2C2(SSS)； ②∵∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，可得∠C1=∠C2，所以△A1B1C1与△A2B2C2形状相同，又由周长相等，故△A1B1C1≌△A2B2C2.

3.(2013·昭通中考)如图，AF=DC，BC∥EF，只需补充一个条件　　　　　　　　　　　，就得△ABC≌△DEF.

【解析】因为BC∥EF，所以∠EFD=∠BCA，又因为AF=DC，所以①用“ASA”，需添加∠A=∠D或AB∥DE；②用“SAS”，需添加BC=EF；③用“AAS”，需添加∠E=∠B. 答案：EF=BC(或∠E=∠B或∠A=∠D或AB∥DE，答案不唯一)

4.(2013·天津中考)如图，已知∠C=∠D， ∠ABC=∠BAD，AC与BD相交于点O，请写出 图中一组相等的线段　　　　　　　. 【解析】∵∠C=∠D，∠ABC=∠BAD，AB=BA，∴△ADB≌△BCA，∴AC=BD，BC=AD，又∠DOA=∠COB，∴△ADO≌△BCO，∴OA=OB，OC=OD. 答案：AC=BD(或BC=AD或OD=OC或OA=OB，答案不唯一)

5.(2013·呼和浩特中考)如图，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC. 求证：DE=AB.

【证明】∵∠1=∠2，∴∠1+∠ECA=∠2+∠ECA， 即∠BCA=∠ECD.在△BCA与△ECD中， BC=EC， ∠BCA=∠ECD， CA=CD， ∴△BCA≌△ECD(SAS).∴DE=AB.

6. (2013·泉州中考)如图，已知AD是△ABC的中线，分别过点B，C作BE⊥AD于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F 6.(2013·泉州中考)如图，已知AD是△ABC的中线，分别过点B，C作BE⊥AD于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F.求证：BE=CF.

【证明】∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD， ∵BE⊥AD, CF⊥AD，∴∠BED=∠CFD =90°. ∠BED=∠CFD， 在△DBE和△DCF中， ∠BDE=∠CDF， BD=CD， ∴△DBE≌△DCF（AAS），∴BE=CF.

7.(2013·普洱中考)如图，已知点B，E，C，F在同一条直线上，BE=CF，AB∥DE，∠A=∠D.求证：AB=DE.

【证明】∵BE=CF，∴BC=EF. ∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF. ∠A=∠D， 在△ABC与△DEF中， ∠B=∠DEF， BC=EF， ∴△ABC≌△DEF（AAS），∴AB=DE.

主题2 全等三角形的性质及应用 【主题训练2】(2013·嘉兴中考)如图， 在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E， 且∠A=∠D，AB=DC. (1)求证：△ABE≌△DCE. (2)当∠AEB=50°时，求∠EBC的度数.

【自主解答】(1)∵AB=DC，∠A=∠D，∠AEB=∠DEC， ∴△ABE≌△DCE. (2)∵△ABE≌△DCE，∴BE=CE.∴∠EBC=∠ECB. ∵∠AEB=50°，∠AEB=∠EBC+∠ECB， ∴∠EBC=25°.

【备选例题】(2013·大庆中考)如图， 把一个直角三角形ACB(∠ACB=90°)绕 着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋 转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的 位置.F，G分别是BD，BE上的点，BF= BG，延长CF与DG交于点H. (1)求证：CF=DG. (2)求出∠FHG的度数.

【解析】（1）∵在△CBF和△DBG中， ∴△CBF≌△DBG（SAS），∴CF=DG. （2）∵△CBF≌△DBG，∴∠BCF=∠BDG， 又∵∠CFB=∠DFH，∴∠DHF=∠CBF=60°， ∴∠FHG=180°-∠DHF=180°-60°=120°．

【主题升华】 寻找对应元素的方法 1.全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边. 2.全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角. 3.有公共边的，公共边常是对应边. 4.有公共角的，公共角常是对应角.

5.有对顶角的，对顶角常是对应角. 6.两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角).

【知识拓展】应用全等三角形解题思路 1.利用全等三角形证明线段相等时，要找好背景三角形. 2.求证线段或角相等时考虑转化为证明它们所在的三角形全等. 3.当一个图形的某些条件变化后，要能分清变与不变的结果. 4.当遇到多边形问题时一般转化为三角形的问题解决.

1.(2013·柳州中考)如图△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x=　　　　. 【解析】因为△ABC≌△DEF，所以x=EF=BC=20. 答案：20

2.(2013·内江中考)已知：如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为AB边上一点. 求证：BD=AE.

【证明】∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形， ∴CD=CE，AC=BC,∠ECD=∠ACB=90°， ∴∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD，即∠ECA=∠DCB， EC=DC， 在△ACE与△BCD中， ∠ACE=∠BCD， AC=BC， ∴△ACE≌△BCD.∴BD=AE.

3.(2013·菏泽中考)如图，在△ABC中， AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一 点，点E在BC边上，且BE=BD，连接AE， DE，DC. (1)求证：△ABE≌△CBD. (2)若∠CAE=30°，求∠BDC的度数.

【解析】（1）∵∠ABC＝90°， ∴∠DBE＝180°－∠ABC＝180°－90°＝90°， ∴∠ABE＝∠CBD． 在△ABE和△CBD中， ∵ ∴△ABE≌△CBD（SAS）.

（2）∵AB＝CB，∠ABC＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ECA＝45°． ∵∠CAE＝30°，∠BEA＝∠ECA＋∠EAC， ∴∠BEA＝45°＋30°＝75°． 由（1）知△ABE≌△CBD，∴∠BDC＝∠BEA， ∴∠BDC＝75°．

主题3 角平分线的性质及其判定 【主题训练3】 (2012·达州中考)数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下：

小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线，方法如下： 步骤：①利用三角板上的刻度，在OA和OB上分别截取OM，ON，使OM=ON. ②分别过M，N作OM，ON的垂线，交于点P. ③作射线OP.则OP为∠AOB的平分线.

小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线. 根据以上情境，解决下列问题： (1)李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是　　　　. (2)小聪的作法正确吗?请说明理由. (3)请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法(要求：作出图形，写出作图步骤，不予证明).

【自主解答】(1)李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是SSS，故答案为SSS. (2)小聪的作法正确. 理由：∵PM⊥OM，PN⊥ON， ∴∠OMP=∠ONP=90°. 在Rt△OMP和Rt△ONP中， ∵OP=OP，OM=ON， ∴Rt△OMP≌Rt△ONP(HL)， ∴∠MOP=∠NOP，∴OP平分∠AOB.

(3)如图所示 步骤：①利用刻度尺在OA，OB上分别 截取OG=OH. ②连接GH，利用刻度尺作出GH的中点Q. ③作射线OQ，则OQ为∠AOB的平分线.

【主题升华】 应用角平分线解题思路 1.应用角平分线性质证明线段相等或者利用角平分线的性质探究线段的大小关系. 2.应用角平分线性质证明角相等或者证明两角互补. 3.利用角平分线解决与三角形的面积有关的计算问题.

1.(2013·咸宁中考)如图，在平面直角坐 标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧， 交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M， N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧 在第二象限交于点P.若点P的坐标为(2a， b+1)，则a与b的数量关系为　(　　) A.a=b B.2a+b=-1 C.2a-b=1 D.2a+b=1

【解析】选B.根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上，则P点横纵坐标的和为0，故2a+b+1=0，整理得：2a+b=-1.

2.(2012·珠海中考)如图，在△ABC中， AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE 的平分线. (1)用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN. (保留作图痕迹，不写作法和证明) (2)设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状(只写结果).

【解析】(1)作出∠ADC的平分线DN，如图所示. (2)△ADF是等腰直角三角形.

【知识归纳】 1.角平分线的性质与判定的关系： 点在角平分线上 点到角的两边的距离相等 2.对于角的平分线的性质及其判定，一方面要正确理解和明确其条件和结论，“性质”和“判定”恰好是条件和结论的交换，在应用时不要混淆，性质是证两条线段相等的依据，判定是证两角相等的依据.