概率模型 一、概率论的诞生及应用 二、传送系统的效率 三、允许缺货的存储模型 四、报童的诀窍 五、随机人口模型

（一）概率论的诞生及应用 1. 概率论的诞生 1654年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若在一赌徒胜 a 局 ( a<c ),另一赌徒胜b局(b<c)时便终止赌博,问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡, 帕斯卡与费马通信讨论这一问题, 于1654 年共同建立了概率论的第一个基本概念 数学期望.

2. 概率论的应用 概率论是数学的一个分支，它研究随机现象的数量规律. 概率论的应用几乎遍及所有的科学领域，例如天气预报、 地震预报、产品的抽样调查，在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干扰性、分辨率等等.

确定性现象 自然界所观察到的现象: 确定性现象 随机现象 在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象. 实例 “太阳不会从西边升起”, “水从高处流向低处”, 确定性现象的特征 条件完全决定结果

随机现象 在一定条件下可能出现也可能不出现的现象. 实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况. 实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况. 结果有可能出现正面也可能出现反面. 特征: 条件不能完全决定结果 实例2 明天的天气可 能是晴 , 也可能是多云 或雨.

说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 , 其数量关系无法用函数加以描述. 2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科. 如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?

定义 在概率论中,把具有以下三个特征的试验称 为随机试验. 1. 可以在相同的条件下重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事 先明确试验的所有可能结果; 3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现.

3、概率的定义 1933年 ，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率 论的公理化结构 ，给出了概率的严格定义 ，使概率 论有了迅速的发展. Andrey Nikolaevich Kolmogorov 1903.4--1987.10

1）等可能概型(古典概型)定义 设试验 E 的样本空间由n 个样本点构成， A 为 E 的任意一个事件，且包含 m 个样本点，则事件 A 出现的概率记为:

古典概型的基本模型:摸球模型 (1) 无放回地摸球 (2) 有放回地摸球

例1 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知 所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问是 否可以推断接待时间是有规定的. 解 假设接待站的接待时间没有 规定,且各来访者在一周的任一天 中去接待站是等可能的. 7 1 2 3 4 12 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 故一周内接待 12 次来访共有

1 2 3 4 12 2 周一 周二 周二 周三 周四 周四 周五 周六 周日 12 次接待都是在周二和周四进行的共有 故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为 小概率事件在实际中几乎是不可能发生的 , 从而可知接待时间是有规定的.

例2 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天 是等可能的 , 即都等于 1/365 ,求 64 个人中至少 有2人生日相同的概率. 解 64 个人生日各不相同的概率为 故64 个人中至少有2人生日相同的概率为

说明

我们利用软件包进行数值计算.

例3 彩票中的数学 (2002B) “传统型”采用“10选6+1”方案： 先从6组0~9号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个， 然后从0~4号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。 投注者从0~9十个号码中任选6个基本号码（可重复）， 从0~4中选一个特别号码，构成一注，根据单注号码与 中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。 以中奖号码“abcdef+g”为例说明中奖等级，如下表 （X表示未选中的号码）。

例3 彩票中的数学 中 奖 等 级 10 选 6+1（6+1/10） 基 本 号 码 特别号码 说 明 一等奖 abcdef g 例3 彩票中的数学 中 奖 等 级 10 选 6+1（6+1/10） 基 本 号 码 特别号码 说 明 一等奖 abcdef g 选7中（6+1） 二等奖 abcdef 选7中（6） 三等奖 abcdeX Xbcdef 选7中（5） 四等奖 abcdXX XbcdeX XXcdef 选7中（4） 五等奖 abcXXX XbcdXX XXcdeX XXXdef 选7中（3） 六等奖 abXXXX XbcXXX XXcdXX XXXdeX XXXXef 选7中（2）

例3 彩票中的数学 总奖金比例一般为销售总额的50%，投注者单注金额为 2元，单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。 例3 彩票中的数学 总奖金比例一般为销售总额的50%，投注者单注金额为 2元，单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。 现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如后，其中一、 二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖数额固定， 高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额 500万元，各高项奖额的计算方法为： [(当期销售总额 ×总奖金比例) -低项奖总额 ]×单项奖比例

例3 彩票中的数学 序号 奖项 方案 一等奖 比 例 二等奖 三等奖 四等奖 金 额 五等奖 六等奖 七等奖 备 注 1 6+1/10 50% 20% 30% 50 按序 2 60% 300 20 5 3 65% 15% 4 70% 7/29 30 6 6+1/29 25% 200

例3 彩票中的数学 彩民获各项奖的概率 10选6+1（6+1/10）型 “乐透型”及其余概率计算(略)

例3 彩票中的数学 否可以推断接待时间是有规定的. 解 假设接待站的接待时间没有 规定,且各来访者在一周的任一天 中去接待站是等可能的. 7 1 2 3 4 12 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 故一周内接待 12 次来访共有

随机模型 确定性因素和随机性因素 随机因素可以忽略 确定性模型 随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现 随机因素影响必须考虑 随机性模型 概率模型 统计回归模型 马氏链模型

（二）传送系统的效率 背景 工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若工作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多。 在生产进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径

问题分析 进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应假定工人们的生产周期相同，即每人作完一件产品后，要么恰有空钩经过他的工作台，使他可将产品挂上运走，要么没有空钩经过，迫使他放下这件产品并立即投入下件产品的生产。 可以用一个周期内传送带运走的产品数占产品总数的比例，作为衡量传送带效率的数量指标。 工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生产完一件产品的时刻不会一致，可以认为是随机的，并且在一个周期内任一时刻的可能性相同。

模型假设 1）n个工作台均匀排列，n个工人生产相互独立，生产周期是常数； 2）生产进入稳态，每人生产完一件产品的时刻在一个周期内是等可能的； 3）一周期内m个均匀排列的挂钩通过每一工作台的上方，到达第一个工作台的挂钩都是空的； 4）每人在生产完一件产品时都能且只能触到一只挂钩，若这只挂钩是空的，则可将产品挂上运走；若该钩非空，则这件产品被放下，退出运送系统。

模型建立 定义传送带效率为一周期内运走的产品数（记作s,待定）与生产总数 n（已知）之比，记作 D=s /n 若求出一周期内每只挂钩非空的概率p，则 s=mp 设每只挂钩为空的概率为q，则 p=1-q 如何求概率 设每只挂钩不被一工人触到的概率为r，则 q=rn 设每只挂钩被一工人触到的概率为u，则 r=1-u 一周期内有m个挂钩通过每一工作台的上方 u=1/m p=1-(1-1/m)n D=m[1-(1-1/m)n]/n

模型解释 传送带效率(一周期内运走产品数与生产总数之比） 若(一周期运行的)挂钩数m远大于工作台数n, 则 定义E=1-D (一周期内未运走产品数与生产总数之比） 当n远大于1时, E  n/2m ~ E与n成正比，与m成反比 若n=10, m=40, D87.5% (89.4%) 提高效率的途径： 增加m

模型推广(改进) 若法1中m增加一倍,哪种办法好? 增加m 法1. 增加一个周期内通过工作台的钩子数m 其它条件不变 法2. 在原来放置一只钩子的地方放置两只钩子 若法1中m增加一倍,哪种办法好? 法1: E  n2/6m2 法2: E  n/4m

（三）允许缺货的存储模型 一 、 问题的提出 在商店里，若存储商品数量不足，会发生缺货现象， 就失去销售机会而减少利润；如果存量过多，一时 售不出去，会造成商品积压，占用流动资金过多且 周转不开，这样也要造成经济损失．那么如何制定 最优存储策略呢？这就面临着市场需求的随机性问 题，试建立数学型，制定最优存储策略．

二、模型假设 允许缺货，缺货费为 C2 需求是连续的、均匀的,需求速度R为常数 t时间的需求量 Rt 每次定货量不变，定货费C3 不变

Q T O S 存储量与时间关系图

三 、模型建立 假设最初存储量为 可以满足 时间段的需求 平均存储量为 平均缺货量为 在t时间内所需存储费： 在t时间内的缺货费： 订货费：

三 、模型建立 平均总费用： 求最佳存储策略,使平均总费用最小. 四、模型求解 利用多元函数求极值的方法求解

四、模型求解 利用多元函数求极值的方法求解

四、模型求解 结果分析 当C 2很大时（不允许缺货） 两次订货间隔时间延长

四、模型求解 结果分析 在不允许缺货的情况下 订货量 在允许缺货情况下，存储量只需达到 时间内的最大缺货量

五 、 模型的分析与推广 这里的模型是在假定需求是连续均匀的， 且需求速度为常数. 事实上在大多实际问题中需求速度是随机的， 这样模型的使用受到了一定的局限．

不允许缺货例题 例 一鞋店平均每天卖出110双鞋，批发手续为 每次200元，每双鞋每存储一天的费用为0.01元， 问该鞋店多少天批发一次最好，进货量为多少？ （天） 最佳进货周期 进货量 （双 ）

（四） 报童最佳订购报纸模型 一 、 问题的提出 在日常生活中，经常会碰到一些季节性强、更新快、不易保存等特点的物品，因此在整个的需求过程中只考虑一次进货的问题． 这就产生一种两难局面：定货量过多，出现过剩，会造成损失；定货量少，又可能失去销售机会，影响利润． 报童就面临这种局面.报童每天早晨从邮局买报纸在街上零售，到晚上卖不完的报纸可退回邮局，每份得赔钱，那么报童每天应该订购多少份报纸．

二 、 模型假设 （1） 邮局有足够的报纸可供报童购买； （2） 当天的报纸卖不出去，到明天就没有人再买； （3） 每份报纸在当天什么时候卖出是无关紧要的； （4） 报童除了从邮局买报所需费用以外,其它费用一概不计。

三 、 模型建立 卖出报纸的数量 分布律为 1、供过于求: 平均损失费为 随机变量 分析：每天从邮局订购Q份报纸，每卖出一份报纸能挣k分钱； 每退回邮局一份报纸，得赔h分钱。 1、供过于求: 平均损失费为

三 、 模型建立 2、供不应求: 平均损失费为 总的平均损失费用 模型 优化模型

四、 模型求解 用差分法求解 从中解出Q．

四、 模型求解 用差分法求解 得 即 于是得最佳订货量

五、 模型的分析及推广 从报童赢利的最大期望出发，求得最佳订购量 定期定量定货 一般情况，上一阶段未出售的货物可以在第二阶段继续出售，这时只要将第一阶段未出售的货物数量作为第二阶段初的存储量，仿照上述方法可求得最佳存储策略．

（五） 随机人口模型 背景 对象 一个人的出生和死亡是随机事件 平均生育率平均死亡率 一个国家或地区 确定性模型 出生概率死亡概率 一个家族或村落 随机性模型 X(t) ~ 时刻 t 的人口, 随机变量. 对象 Pn(t) ~概率P(X(t)=n), n=0,1,2,… 研究Pn(t)的变化规律；得到X(t)的期望和方差

模型假设 若X(t)=n, 对t到t+t的出生和死亡概率作以下假设 1)出生一人的概率与t成正比，记bnt ;出生二人及二人以上的概率为o(t). 2)死亡一人的概率与t成正比，记dnt ;死亡二人及二人以上的概率为o(t). 3)出生和死亡是相互独立的随机事件。 进一步假设 bn与n成正比，记bn=n , ~出生概率； dn与n成正比，记dn=n，~死亡概率。

建模 为得到Pn(t) P(X(t)=n),的变化规律，考察Pn(t+t) =P(X(t +t)=n). 事件X(t +t)=n的分解 Pn-1(t), bn-1t X(t)=n-1, t内出生一人 Pn+1(t), dn+1t X(t)=n+1, t内死亡一人 Pn(t), 1-bnt -dn t X(t)=n, t内没有出生和死亡 其它(出生或死亡二人，出生且死亡一人，… …) o(t)

建模 微分方程 bn=n，dn=n (t=0时已知人口为n0) ~一组递推微分方程——求解的困难和不必要 转而考察X(t)的期望和方差

基本方程 X(t)的期望 求解 n-1=k n+1=k

求解 r ~ 增长概率 比较：确定性指数增长模型 r ~ 平均增长率 X(t)的方差 E t n0 X(t)的方差 E(t)+(t) E(t)-(t) X(t)大致在 E(t)2(t) 范围内（ (t) ~均方差） - = r  D(t) ,  D(t)