第8章 回归正交试验设计 Orthogonal Regression Design

正交设计：优方案只能限制在已定的水平上，而不是一定试验范围内的最优方案 回归正交设计（orthogonal regression design） ： 可以在因素的试验范围内选择适当的试验点 用较少的试验建立回归方程 能解决试验优化问题 不适合非数量性因素

8.1 一次回归正交试验设计及结果分析 建立试验指标（y）与m个试验因素x1，x2，…，xm之间的一次回归方程 例：m＝3时，一次回归方程： 8.1 一次回归正交试验设计及结果分析 建立试验指标（y）与m个试验因素x1，x2，…，xm之间的一次回归方程 例：m＝3时，一次回归方程： y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3＋b12x1x2＋b13x1x3＋b23x2x3 其中x1，x2，x3表示3个因素；x1x2，x1x3，x2x3表示交互作用 若不考虑交互作用，为三元一次线形回归方程： y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3

8.1.1 一次回归正交设计的基本方法 （1）确定因素的变化范围 以因素xj为例： 设xj 的变化范围为[xj1， xj2] 8.1.1 一次回归正交设计的基本方法 （1）确定因素的变化范围 以因素xj为例： 设xj 的变化范围为[xj1， xj2] xj1为xj的下水平 xj2为xj的上水平 xj0为xj的零水平： xj0＝ (xj1＋ xj2)/2 因素xj的变化间距Δj： Δj＝上水平－ 零水平＝xj2－xj0 Δj= (xj2 － xj1)/2

（2）因素水平的编码 编码（coding）：将因素xj的各水平进行线性变换： zj：因素xj的编码 ，称为规范变量 xj：自然变量 上水平xj2的编码 ：zj2＝1 下水平xj1的编码：zj1＝－1 零水平xj0的编码：zj0＝0

编码目的： 使每因素的每水平在编码空间是“平等”的，规范变量zj的取值范围都是[－1，1] 编码能将试验结果y与因素xj（j＝1，2，…，m）之间的回归问题，转换成试验结果y与编码值zj之间的回归问题

（3）一次回归正交设计表 将二水平的正交表中“2”用“－1”代换 ，例：

回归正交设计表的特点： 任一列编码的和为0 任两列编码的乘积之和等于0

（4）试验方案的确定 表头设计 ： 可参考正交设计的表头设计方法 交互作用列的编码等于表中对应两因素列编码的乘积 零水平试验（中心试验 ）

8.1.2 一次回归方程的建立 总试验次数为n ： n＝mc＋m0 mc：二水平试验次数 m0：零水平试验次数 一次回归方程系数的计算： 8.1.2 一次回归方程的建立 总试验次数为n ： n＝mc＋m0 mc：二水平试验次数 m0：零水平试验次数 一次回归方程系数的计算： 常数项：a 一次项系数：bj 交互项系数： bjk

j＝1，2，…，m j＞k, k＝1，2，…，m－1 说明： 求得的回归系数直接反映了该因素作用的大小 回归系数的符号反映了因素对试验指标影响的正负

8.1.3 回归方程及偏回归系数的方差分析 8.1.3.1 无零水平试验时 ①平方和： 总平方和： 一次项偏回归平方和 ： 8.1.3 回归方程及偏回归系数的方差分析 8.1.3.1 无零水平试验时 ①平方和： 总平方和： 一次项偏回归平方和 ： 交互项偏回归平方和： 回归平方和 ： 残差平方和 ：

②自由度 dfT＝n―1 各种偏回归平方和的自由度＝1 回归平方和的自由度 ： 残差自由度：

③均方 ④F检验： 回归方程显著性检验 偏回归系数显著性检验 ： 判断因素或交互作用对试验的影响程度 经检验不显著的因素或交互作用应归入残差，重新检验 可直接从回归方程中剔除这些一次和交互项

例8-1： （1）因素水平编码

（2）正交表的选择和试验方案的确定

（3）回归方程的建立 m0＝0，n＝mc＝8 计算表 计算各回归系数 写出y与规范变量zj的回归方程 根据偏回归系数绝对值大小，确定因素和交互作用主次 根据偏回归系数正负，得到各因素对试验指标的影响方向 （4）方差分析 （5）回归方程的回代：得到试验指标y与自然变量xj的回归方程

8.1.3.2 有零水平试验时 目的：进行回归方程的失拟性（lack of fit）检验 （要求m0≥2 ） 失拟性检验：为了检验一次回归方程在整个研究范围内的拟合情况 失拟性检验步骤：

设m0次零水平试验结果为y01，y02，…，y0m0 ①重复试验误差： 平方和： 重复试验误差的自由度： ②回归方程失拟部分： 失拟平方和 ： 失拟平方和自由度：

③失拟检验 ： 对于给定的显著性水平α（一般取0.1） 当FLf＜Fα（dfLf，dfe1）时，就认为回归方程失拟不显著，失拟平方和SSLf是由随机误差造成的，所建立的回归方程是拟合得很好 例8-2

8.2 二次回归正交组合设计 回归方程的建立： 根据最小二乘法原理得到正规方程组 求解正规方程组，得回归系数 要求：试验次数＞回归方程的项数 8.2 二次回归正交组合设计 回归方程的建立： 根据最小二乘法原理得到正规方程组 求解正规方程组，得回归系数 要求：试验次数＞回归方程的项数 回归正交组合设计：在一次回归正交试验设计的基础上再增加一些特定的试验点，通过适当的组合形成试验方案

8.2.1 二次回归正交组合设计表 （1）二元二次回归正交组合设计试验方案 二元二次回归方程： 试验方案

正交组合设计的三类试验点及次数： 二水平试验： 全实施：mc＝2m 1/2实施：mc＝2m－1 1/4实施：mc＝2m－2 星号试验： 与原点（中心点）的距离都为γ mγ＝2m 零水平试验： 各因素水平编码都为零时的试验 试验次数m0

二元二次回归正交组合设计

（2） 三元二次回归正交组合设计试验方案 三元二次回归方程： 试验方案

三元二次回归正交组合设计

星号臂长度γ与因素数m，零水平试验次数m0及二水平试验数mc有关 （3）星号臂长度与二次项的中心化 ①星号臂长度 星号臂长度γ与因素数m，零水平试验次数m0及二水平试验数mc有关 γ的确定 公式计算

参考表8-18 二次回归正交组合设计γ值表 m0 因素数m 2 3 4（1/2实施） 4 5（1/2实施） 5 1 1.000 1.215 1.353 1.414 1.547 1.596 1.078 1.287 1.483 1.607 1.662 1.147 1.471 1.664 1.724 1.210 1.525 1.719 1.784 1.267 1.575 1.771 1.841 6 1.320 1.623 1.820 1.896 7 1.369 1.668 1.868 1.949 8 1.711 1.914 2.000 9 1.457 1.752 1.958 2.049 10 1.498 1.792 2.097

(二次项编码)－(二次项编码算术平均值) ②二次项的中心化 对二次项的每个编码进行中心化处理 ： (二次项编码)－(二次项编码算术平均值) 二元二次回归正交组合设计编码表 试验号 z1 z2 z1 z2 z12 z22 z1’ z2’ 1 1/3 2 －1 3 4 5 －2/3 6 7 8 9

8.2.2 二次回归正交组合设计的应用 （1）基本步骤 ①因素水平编码 试验因素的水平被编为－γ，－1，0，1，γ 8.2.2 二次回归正交组合设计的应用 （1）基本步骤 ①因素水平编码 试验因素的水平被编为－γ，－1，0，1，γ 变化间距：Δj＝上水平－零水平＝零水平－下水平

因素水平的编码表 规范变量zj 自然变量xj x1 x2 … xm 上星号臂γ x1γ x2γ xmγ 上水平1 x12＝x10＋Δ1 xm2＝xm0＋Δm 零水平0 x10 x20 xm0 下水平－1 x11＝x10－Δ1 x21＝x20－Δ2 xm1＝xm0－Δm 下星号臂－γ x－1γ x－2γ x－mγ 变化间距Δj Δ1 Δ2 Δm

②确定合适的二次回归正交组合设计 参考表8-22 ③试验方案的实施 正交表的选用 因素数m 选用正交表 表头设计 mc mγ 2 L4（23） 1，2列 22＝4 4 3 L8（27） 1，2，4列 23＝8 6 4（1/2实施） 1，2，4，7列 24－1＝8 8 L16（215） 1，2，4，8列 24＝16 5（1/2实施） 1，2，4，8，15列 24－1＝16 10 5 L32（231） 1，2，4，8，16列 25＝32 ③试验方案的实施

④回归方程的建立 常数项：a 一次项偏回归系数bj ： 交互项偏回归系数bkj ： 二次项偏回归系数bjj ：

⑤回归方程显著性检验 平方和： 总平方和： 一次项偏回归平方和： 交互项偏回归平方和： 二次项偏回归平方和： 回归平方和： 残差平方和：

自由度： dfT＝n―1 各种偏回归平方和的自由度：1 回归平方和的自由度： 残差平方自由度：

回归系数的检验：

⑥失拟性检验 ⑦回归方程的回代 ⑧最优试验方案的确定: 回归方程的“规划求解” 根据极值的必要条件： … （2）例8-3

8.3 二次回归正交旋转组合设计 （1）基本概念 回归旋转正交设计： 规范变量空间（编码空间）内，与试验中心点（零水平点）距离相等的球面上 8.3 二次回归正交旋转组合设计 （1）基本概念 回归旋转正交设计： 规范变量空间（编码空间）内，与试验中心点（零水平点）距离相等的球面上 各点回归方程预测值的方差相等 （2）三类试验点 二水平试验mc mγ=2m，m为因素数 零水平试验m0，参考表8-28确定

（3）回归正交旋转组合设计编码表 二次项中心化：按公式（8-34） （4）数据处理 与回归正交组合设计相同

8.4 Excel在回归正交设计的应用 8.4.1 利用Excel建立回归正交设计编码表 回归分析 最优试验方案的确定