第五章 二次型 学时：10学时。 教学手段： 基本内容和教学目的： 本章的重点和难点： 讲授和讨论相结合，学生课堂练习，演练习题与辅导答疑相结合。 基本内容和教学目的： 基本内容： 二次型的矩阵表示、标准型、唯一性、正定二次型。 教学目的： 1、了解二次型的概念，二次型的矩阵表示。 2、会化二次型为标准型，规范性。 3、掌握二次型的惯性定理，正定二次型。 本章的重点和难点： 重点：化二次型为标准型，规范性 。 难点：正定二次型。

5.1二次型的矩阵表示

一 问题提出 一次曲线：Ax + By + C = 0 (直线)； 一 问题提出 平面解析 一次曲线：Ax + By + C = 0 (直线)； 二次曲线：Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey = F → 经平移 变换化成为 au2 + buv + cv2 = d → 经旋转变换化成为 a/x/2 + b/y/2 = d/ (二次齐次多项式) → 可根据二次项系数 确定曲线类型（椭圆、抛物线、双曲线等）； 空间解析 一次曲面： Ax + By + Cz + D = 0 (平面)； 二次曲面： （平移后不含一次项）→ Ax + By + Cz + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz = G (18-19世纪上半期表示方法) → 通过方程变形，选定主轴方向为坐标轴，可化简为 a/x/2 + b/y/2 + c/z/2 = d/ → 据二次项系数符号确定二次曲面的分类

更一般的问题： 数域P上含n个变量x1,x2,…,xn的二次齐次多项式如何化成平方和形式，即标准型问题，是18世纪中期提出的一个课题 → 本章中心问题: 二、二次型的概念及性质 1.定义1 数域P上n元二次齐次多项式（近代表示式） f (x1, x2, …, xn) = a11x12 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + … + 2a1nx1xn + a22x22 + 2a23x2x3 + … + 2a2nx2xn + a33 x32 + …+ 2a3n x3xn …………… + ann xn2 称为P上n元二次型，简称二次型；当P = R时，为实二次型、 当P = C时，为复二次型.

*1 f (x1, x2, …, xn) 是 Pn→P 的n元函数； *2 f (x1, x2, …, xn) = a11x1x1 + a12x1x2 + … + a1nx1xn + a21x2x1 + a22x2x2 + … + a2nx2xn …………………………… + an1xnx1 + an2xnx2 + … + annxnxn = f (x1, x2, …, xn) = a11x12 + 2a12x1x2 + … + 2a1nx1xn + a22x22 + … + 2a2nx2xn ………… + annxnn .

1) 在二次型 f (x1, x2, …, xn) = X/AX中，矩阵A为对称矩阵； 2）把一阶矩阵A = (a)看成数a, 则一元二次型 *3 性质： 1) 在二次型 f (x1, x2, …, xn) = X/AX中，矩阵A为对称矩阵； 2）把一阶矩阵A = (a)看成数a, 则一元二次型 f (x) = a11x12 = (x1)/(a11)(x1) = X/AX； 3) 数域P上， f (x1, x2, …, xn) 与n阶对称矩阵一一对应. 证明分析： 由*2可知，任一二次型都对应某对称矩阵A，即*2给 出对应法则σ： f (x1, x2, …, xn) →A . 设f (x1, x2, …, xn) 在σ下对 应的对称矩阵为A，B，即 f (x1, x2, …, xn) = X/AX = X/BX，故知 A = B，即σ是 n 元二次型与 n 阶对称矩阵之间的映射. 设A是数域P上任一n阶对称矩阵，则X/AX的展开式显然是数域 P上的n元二次型，即σ是满射，而σ为单射则是显然的，故σ是 双射. □

2 线性替换 平面解析中，当坐标原点和中心重合时，有心二次曲线一般 方程为ax2 + 2bxy + cy2 = f (例：13x2 – 10xy +13y2 = 72), 将坐标轴 逆时针旋转θ0 (例：450),即有坐标旋转公式 y y / x/ x

*1 线性替换的矩阵表示：X = CY，C称为线性替换(4)的矩阵； 当C可逆时，称(4)为非退化（可逆）线性替换；C不可逆时，称 定义2 将变量 x1, x2, …, xn 用 y1, y2, …, yn 线性表示的变换 称为由x1, x2, …, xn 到 y1, y2, …, yn 的线性替换（简称变量的线性替换）. *1 线性替换的矩阵表示：X = CY，C称为线性替换(4)的矩阵； 当C可逆时，称(4)为非退化（可逆）线性替换；C不可逆时，称 (4)为退化（非可逆）线性替换，其中

*2 性质： 4) 若C可逆，则X = CY是可逆线性替换，且Y = C－1X也是可逆的线性替换； 5) f (x1, x2, …, xn) = X/AX 是 P 上的 n 元二次型，经线性替换 X = CY 化成 f (x1, x2, …, xn) = Y/BY ，则 B = C/AC . 证明： f (x1, x2, …, xn) = X/AX = (CY)/A(CY) = Y/(C/AC)Y = Y/ BY. 由于 B/ = (C/AC)/ = C/A/C// = C/AC = B → Y/BY 是 P 上 n 元二次 型，且 B = C/AC 成立. □ 6) 二次型的秩在变量的线性替换下保持不变（性质5的推论） 证明： 如5), 在线性替换X = CY下f (x1, x2, …, xn) = X/AX = Y/BY → B = C/AC , C可逆 → A，B的秩相同，即二次型X/AX 与 Y/BY 的秩相同 → 题设结论成立. □ 性质5给出矩阵之间的一种相互关系，故引入以下概念 →

三 矩阵的合同关系 定义2 数域P上 n 阶矩阵 A，B 称为合同的，如果存在P上的 n 阶可逆矩阵 C，使得 B = C/AC . 三 矩阵的合同关系 定义2 数域P上 n 阶矩阵 A，B 称为合同的，如果存在P上的 n 阶可逆矩阵 C，使得 B = C/AC . *1 合同的性质： 7) 矩阵合同是Mn(P) = {A│A为P上n阶矩阵} 上的等价关系, 即 (1) 合同具有自反性 （ A = E/AE，即A与A合同 ）； (2) 合同具有对称性 （ B = C/AC → A = (C－1)/BC－1 ）； (3) 合同具有传递性 （ A1 = C1/AC1，A2 = C2/A1C2 → A2 = C2/ (C1/AC1)C2 = (C1C2)/A(C1C2) ）. 8) 线性替换X = CY下 f (x1, x2, …, xn) = X/AX = Y/BY, 因B = C/AC, 故： X = CY为可逆线性替换时，二次型 X/AX 与 Y/BY的矩阵合同; → 为用矩阵来研究这类二次型的变换奠定了基础，提供了思路；

9) 合同的矩阵具有相同的秩； 10) 与对称矩阵合同的矩阵仍是对称矩阵. 证明： 9) 设A, B合同，即B = C/AC, 且C可逆，故A, B同秩. 10) 设A/ = A，B = C/AC， C可逆→ B/ = (C/AC)/ = C/AC = B. □ *2 为什么在变换二次型时，总要求用非退化的线性替换（即C为可逆矩阵）？ 事实上，当X = C/ Y 是非退还的线性替换时， 可得 Y = C －1X 成立， 故原二次型 X/AX 与变换后的二次型 Y/BY 是可以互化的，这样就使我们从变换所得二次型 Y/BY 的性质可以推知原来二次型X/AX的性质.

5.2标准型 中心问题： 讨论用非提化的线性替换化二次型成最简形式，即平方和的形式： d1x12 + d2x22 + … + dnxn2

定理1 数域 P 上任一二次型都可经过非退化的线性替 换变成平方和的形式 d1x12 + d2x22 + … + dnxn2 (1) f (x1, x2 , …, xn) = a11x12 +2a12x1x2 +2a13x1x3 +…+2a1nx1xn + a22x22 +2a23x2x3 +…+2a2nx2xn ………………… + annxn2 证明： （配方法） 对 n 进行数学归纳. n = 1： f (x1) = a11x12, 已是(1)的形式，命题成立. 假定 n－1 时命题成立，现证 n 时命题成立. 分以下情形讨论： 1) aii ( i = 1, 2, …, n )中至少有一个非0，如a11≠0 → a11x12 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + … + 2a1nx1xn = a11[x12 + 2a11－1 (a12x2 + a13x3 + … + a1nxn)] * A2 + 2AB + B2 = (A+B)2

2) 所有aii = 0(i =1, 2,…, n), 但至少有一个a1j≠0 (j = 2,…, n) → 不失普遍性，不妨设a12≠0 → 令

定理2 数域 P上任一对称矩阵合同于对角矩阵

定理2的意义： 化n元二次型X/AX成标准型问题 寻找一个可逆矩阵C，使得A与对角矩阵D在C下合 同（D=C/AC），而定理2说明这样的C一定存在 → 如何找到这个C即为进一步要解决的问题： P上n元二次型全体 Mn (P) A f (x1, …,xn) X=CY B=C/AC B C=?时，B= D？

§5.3 唯一性

问题提出：二次型f (x1, x2, x3)=2x1x2+2x1x3－6x2x3经过不同的线性替换，其结果不同 → X=C1W 下，f = 2w12－2w22 + 6w32； X=C2Y 下，f = 2y12－2－1y22 +2×3－1y32 . 其中

回顾上一节内容，有以下事实成立： 同一二次型在不同线性替换下的矩阵合同. P上n元二次型全体 Mn (P) A X=C1W B1 A f (x1, …,xn) X=CY B=C/AC B C=?时，B= D？

问题： 同一二次型 f 在恰当的可逆线性替换下的矩阵是对角矩阵，但不同的这样的可逆线性替换下的对角矩阵不同，即所化成的标准型不唯一 . n元二次型全体 Mn(P) A f (x1,…, xn) X=C1W D1 D2 X=C2Y 问题：如何处理，可将二次型所化成的标准型唯一确定？

一 二次型的秩 *1 A，B(∈Mn(P))合同 ↔ 存在可逆矩阵C，B = C/AC → 因C可逆，故 r(A) = r(B) ，即合同矩阵的秩相等； *2 原二次型 X/AX 经 X = CY (C可逆) 化成新二次型Y/ BY, 则A，B合同 → 新、旧二次型的矩阵秩相同，即可逆的线性替换不改变原二次型的矩阵的秩，该秩刻画了二次型的一种本质属性 → 引入以下概念： 1. 定义： 二次型 f (x1, x2, …, xn) = X/AX 中矩阵A的秩称为二次型 f 的秩； 2. 性质： 1) 可逆线性替换不改变二次型的秩；

二 复二次型 （复数域C上的二次型） 1. 规范型： z12 + z22 + … + zr2 称为复二次型的规范型. 2. 定理3 任一复二次型经适当的可逆线性替换可化成 规范型，且规范型唯一. * 该定理的矩阵语言描述：任一秩为 r 的复对称矩阵合同于一个对角矩阵

证明： 设复二次型 f = X/AX , r(A) = r → 存在可逆线性替 换X= C1Y(C1可逆) , 使f = X/AX = (C1Y)/A(C1Y) =Y(C1/AC1 )Y = d1y12 + … + dryr2 (di=1,…,r, 1≤r≤n) → 取可逆线性替换

(复对称矩阵按合同关系可分为n+1个不同的类)； 复二次型共有n+1个不同的类型,其秩为决定因素. 3. 两复对称矩阵合同的充要条件是其秩相等 (复对称矩阵按合同关系可分为n+1个不同的类)； 复二次型共有n+1个不同的类型,其秩为决定因素.

三 实二次型 z12 ＋…＋zp2－zP+12…－zr2 称为实二次型的规范型 → 规范型完全由 p, r 所确定 (其中r为二次型的秩，它确定了规范型中非零项的个数，p 确定了规范型中正、负项的个数）. 定理4（惯性定理） 任一实二次型经适当的可逆线性替换可化成规范型，且规范型唯一.

惯性定理的意义 *1 实二次型的标准型虽不唯一，但由于标准型到规范 型的变换中，非零项的个数，正(负)项个数并未发生变 定义3 实二次型的规范型中正平方项的个数 p 称为该二次型的正惯性指数；负平方项的个数 r－p 称为该二次型的负惯性指数；其差 p －(r－p) = 2p－r 称为该二次型的符号差. *1 实二次型的标准型虽不唯一，但由于标准型到规范 型的变换中，非零项的个数，正(负)项个数并未发生变 化 → 据惯性定理中规范型的唯一性可知： 实二次型的标准型中的非零项个数及正(负)项个数由秩 和正(负)惯性指数唯一确定，即在不考虑系数数值差异 的前提下，实二次型的标准型唯一确定；

*2 定理3、4的矩阵语言描述 → 定理5：

*3 称二次型 X/ AX 与 Y/BY 可互化，如果存在可逆的线性替换 X = CY，使得B = C/AC → 1) X/ AX 与 Y/BY可互化当且仅当A，B合同； 2) 设数域 P 上 n 元二次型全体构成集合 M(P)，则二次型的互化关系是 M(P) 的一个等价关系. 证明： 1) 显然. 2) X = EX，有A = E/AE → X/AX 与 X/ AX可互化； X/ AX 与 Y/BY 可互化, 显然Y/BY 与X/ AX 可互化； X/ AX 与 Y/BY 可互化, Y/ BY与 Z/DZ 可互化 → 有可逆线性替换 X = C1Y, Y = C2Z, 使 B = C1/AC1, D = C2/BC2 →有可逆线性替换 X = C1C2Z，使D = (C1C2)/A (C1C2) → X/ AX 与 Y/BY 可互化 →命题成立. □ 互化意义： 若存在X = CY,C可逆，且B=C/AC → Y = C-1X, A = (C/)-1BC-1 = (C-1)/BC-1 → X/AX = (CY)/A(CY) = Y/(C/AC)Y = Y/BY； Y/BY = (C-1X)/B(C-1X)=X/((C-1)/BC-1)X =X/AX

复二次型全体M(C) 复对称矩阵全体M(C) 3) 复二次型按可互化分成 n + 1 个不同的类(型). 证明： 复二次型 X/AX, Y/BY 可互化 ↔ A, B合同 ↔ A, B的 秩相等 ↔ 复二次型 X/AX, Y/BY 的秩相等. 而秩的所有可能 的结果为 r = 0, 1, …, n ,共 n + 1种 → 命题成立. □ f , g可互化, 即同一类型 →共n+1个不同类型 复二次型全体M(C) 复对称矩阵全体M(C) A g(y1,…,yn) B f (x1,…,xn)

* 用矩阵语言描述该性质： 复对称矩阵按合同分类共有 不同的类

实二次型全体M(R) 1 ……… r n－1 n r个正项 r－1个 …… 1个 0个

5.4正定二次型

一 正定二次型的概念 定义1 实二次型 f (x1, …, xn) 是正定的，如果对任意不 一 正定二次型的概念 定义1 实二次型 f (x1, …, xn) 是正定的，如果对任意不 全为零的 c1, …, cn∈R， f (c1, …, cn)＞0； 实二次型 f (x1, …, xn) 是负定的，如果对任意不 全为零的c1, …, cn∈R， f (c1, …, cn)＜0； 实二次型 f (x1, …, xn) 是不定的，如果对任意不 全为零的c1, …, cn∈R， f (c1, …, cn)有时＞0, 有时＜0 ； 正定二次型的矩阵称为正定矩阵； f (x1, …, xn) = x12 + … + xn2 是正定二次型； f (x1, …, xn) = d1x12 + … + d2xn2 是正定的充要条件为 di＞0, i = 1, 2, … , n .

二 正定二次型的判定 1. 定理6 实二次型 f(x1, …, x)正定的充要条件是其正惯性指数为n.

*2 正定矩阵的行列式大于0. 证明： A正定 → 存在可逆矩阵C (|C|≠0), 使得A = C/C → |A| = |C/||C| = |C|2＞0 .

例 判别以下二次型是否正定？

三 半正定二次型 定义7 实二次型 f (x1, …, xn) 称为半正（负）定的，如 三 半正定二次型 定义7 实二次型 f (x1, …, xn) 称为半正（负）定的，如 果对于任意一组不全为零的实数 c1, …, cn 都有 f (x1, …, xn)≥0（ f (x1, …, xn) ≤0） 成立； 如果 f (x1, …, xn) 既不是半正定的，又不是半负定 的，则称其为不定的. （见P236习题9）： 行的取法与列的取法一致的k 级子式称为k级主子式，如