第六章 二次型

第一节　二次型的基本概念 定义1 系数在实数域 R中的含有 n 个变量的二次齐次多项式 称为实二次型，简称为二次型.

例如 都是二次型. 不是二次型. 下面我们利用矩阵理论，将二次型表示成矩阵形式.

取 则 于是二次型可以表示为

令 于是二次型又可表示为 称 A为二次型的矩阵，显然A为实对称矩阵

由上面的讨论我们知道，二次型与实对称矩阵之间存在 一一对应的关系．因此，我们把实对称矩阵A叫做 二次型的矩阵，也把二次型叫做实对称矩阵A的二次型， 矩阵A的秩称为二次型的秩.

例1 求二次型 f 的秩. 解 所以二次型 f 的秩为3.

例2 求实对称矩阵 A 所对应的二次型. 解

例3 将二次型 写成矩阵形式. 解 这种只含平方项，不含交叉相成项的二次型， 称为二次型的标准形.

一般地，对于二次型 要消掉其中的交叉项，也就是要寻找线性变换 其中C为n阶方阵，使上式化为标准型

例如：给定二次型

定义2 称两组变量 的如下关系 (1) 为由变量 的 线性变换. 令 则线性变换可记作

并称 其中 C 称为线性变换 的系数矩阵. 若 C 非奇异，则称线性变换 为非奇异线性变换。 为 X = CY 的逆变换. 正交线性变换是非奇异线性变换.

定义2 设A，B是两个n阶方阵，如果存在可逆矩阵C，

显然两矩阵间的合同关系具有以下性质： （1） 反身性 ； （2） 对称性若 ，则 ； （3） 传递性若 ， ，则 . 注 1. 若A 与 B相似，则A与B等价; 2. 若A与B合同，则A与B等价.

定理1　二次型经可逆线性变换后化为新的二次型， 且新二次型与原二次型的秩相等. 证 设 经过非奇异线性变换 X=CY， 化为 ，由于C为可逆矩阵，故R(B)=R(A).

定理2　设A，B是实对称矩阵，则A与B合同的充分必要

第二节　化二次型为标准形 本节我们讨论如何通过可逆线性变换

一、正交变换法 推论1 .任何实对称矩阵都与一个对角矩阵合同. 定理4 任给二次型 总有正交变换 使f 化为标准形.

其中 是矩阵A的特征值. 推论2 任何二次型都可经可逆线性变换化成标准形.

例1 设实对称矩阵A= ,试用一个正交变换 将二次型 化为标准型 =(λ-1)2(λ+2)=0, 解　A的特征方程为 |λE-A|= 解得 当 时，解方程组(-2E-A)X=0，得基础解系 当 时，解方程组(E-A)X=0，得基础解系

作正交线性变换X=QY,得原二次型的标准型 β3=α3- β2= + = 再将 单位化，得 , γ3= γ1= , γ2= 由 构成正交矩阵 . Q=(γ1,γ2,γ3)= , . , 作正交线性变换X=QY,得原二次型的标准型

二、配方法 例2. 将二次型化为标准型 解:

令 即 则 (原二次型的标准型)

f =2x1x2+2x1x3-6x2x3为标准形，并求所用的变换矩阵. 例3　用配方法化二次型 f =2x1x2+2x1x3-6x2x3为标准形，并求所用的变换矩阵. x1=y1+y2， x2=y1-y2， x3=y3， z1=y1-y3， z2=y2-2y3， z3=y3， y1=z1+z3， 即 y2=z2+2z3， y3=z3， 令

y1=z1+z3， y2=z2+2z3， y3=z3， 习题六1(2),2(1),4(1),5(1),6(1)(只用配方法）

三、初等变换法（略） 根据定理4，任一二次型 都可找到可 逆变换 将其化为标准形，即存在可逆矩阵C 使 为对角矩阵. 而任一可逆矩阵都可写成若 干初等矩阵的乘积，即存在初等矩阵 使 于是

上式说明：对于实对称矩阵A相继施以初等列变换，同时施以同种初等行变换，矩阵A就合同于一个对角矩阵. 由此得到化二次型为标准形的初等变换法： (1) 构造 矩阵 就对 施行一次同种的初等列变换； (2) 当A化为对角矩阵时，E就变为所求的可逆矩阵C； (3) 得到可逆变换矩阵C及二次型的标准形.

f=2x1x2+2x1x3-6x2x3为标准形，并求所用的变换矩阵. 例4　用初等变换法化例3中的二次型 f=2x1x2+2x1x3-6x2x3为标准形，并求所用的变换矩阵. 解　二次型f的矩阵为 于是 =

这样，矩阵A就化为了对角矩阵，相应的二次型化成 了标准形 f = 所用的变换矩阵为 -

比较教材例3和例4的结果可以看到，选取的变换 矩阵不 同，化出的二次型的标准形一般也不同， 但有两点是相同的： 一是标准形中平方项的个数相同. 另一个就是标准 形中正平方项和负平方项的 个数相同数.

第三节 惯性定理和正定二次型 一、 惯性定理 同一二次型化为标准形，由于采用的可逆变换不同而使标准形不同，也就是说，二次型的标准形不是唯 第三节　惯性定理和正定二次型 一、 惯性定理 同一二次型化为标准形，由于采用的可逆变换不同而使标准形不同，也就是说，二次型的标准形不是唯 一的，那么这些不同的标准形又有什么关系呢？ 二次型的标准形的标准型可以表示成如下形式： 其中 ＞0(i=1，2，…，r). (6.5)

定理5 二次型f经过不同的可逆变换化为标准形后， 二次型的标准形保持其正平方项个数和负平方项 个数不变的特性，称为实二次型的惯性. 因此，常称定理5为惯性定理. 二次型f的标准形（6.5）中正平方项的个数p称为 二次型的正惯性指数，负平方项的个数r-p称为负 惯性指数. 正惯性指数与负惯性指数的和为r，恰等于 二次型f的秩. 若对二次型f的标准形（6.5）进一步作可逆变换

则二次型可以化为如下形式 称(6.6)式为二次型f的规范形.

显然，将一个标准形化为规范形的过程中，二次 型的正平方项个数和负平方项个数也保持不变. 于是 由惯性定理及上节定理4可以得到： 推论1　任意实二次型都可以通过可逆线性变换化 为规范形，且规范形是唯一的. 利用矩阵的语言，推论1可以叙述为： 推论2　任意实对称矩阵A合同于对角矩阵 　　 　　　　 且p与r-p是由A唯一确定的.

称上述对角矩阵Λ为实对称矩阵A的规范形. 于是有： 推论3　实对称矩阵A与B合同的充分必要条件是 A与B有相同的规范形.

二、二次型的有定性 定义3 设二次型 ，如果对于任意的 非零向量 都有 ，则称 为正定（负定）二次型，其矩阵A称为正定 （负定）矩阵. 如果对于任意的 非零向 量 都有 ，则称 为半正定（半负定）二次型，其矩阵A称为半正定 （半负定）矩阵.

定理6 二次型 正定的充分必要条件是 定理7 可逆线性变换不改变二次型的正定性.

定理9　 设n元二次型 正定，则 (1) A的主对角元素 (2) A的行列式 证明 （略） n元二次型 正定的充分必要条件是 定理10　 A的各阶顺序主子式全大于零，即 证明 （略）

定理7知，总可以通过可逆线性变换将二次型 化为标准型来判定其正定性. 定理8 ，则下列命题等价： 设n元二次型 (1)f 为正定二次型； (2) 的正惯性指数为n， f (3)存在可逆矩阵P，使得 (4)A的特征值全大于零. 证明 （略）

习题六 10(1),11

,则下列命题等价： 定理11 设n元二次型 (1) f为负定矩阵 (2) f的负惯性指数为n (3) 存在可逆矩阵P，使得 A的特征值全小于零； (4) (5) A的奇数阶顺序主子式全小于零，偶数阶顺序 主子式全大于零，即

证明（ 略）

定理12 设n元二次 ,则下列命题等价: (1) f为半正定矩阵； (2) f的正惯性指数为 (3) 存在不可逆矩阵P，使得 (4) A的特征值全大于等于零，但至少有一个等于零; A的各阶主子式大于或等于零，即 (5) 但至少有一个主子式等于零.

三、 应用示例（略） 多元函数极值的理论是微分学中应用很广泛的内容，但在一般的微积分教科书中仅对二元函数取极值的充分条件进行了讨论，对于两个以上变量的情形不作介绍.　下面以三元函数为例，将矩阵与二次型的理论、方法应用于极值研究.对于n元函数，读者可得到类似的结果.

例3　设三元函数y=f(x1，x2，x3)在点X0=()的邻域内具有二阶连续偏导数，则f(x1，x2，x3)在X=X0处的二阶泰勒展开式为 其中α为 的高阶无穷小量.

若记 f(X)=f(x1，x2，x3)， f(X0)=f( )， ΔX=( )T，

则上述二阶泰勒展开式可简记为 在上式中，称gradf(X0)为函数f(X)在X=X0处的梯度，H(X0)为f(X)在X=X0处的黑塞（Hesse）矩阵，它们分别是由f(X)在X=X0处的一阶偏导数构成的n维行向量和二阶偏导数构成的n阶实对称矩阵.

f(X)-f(X0)≈(ΔX)TH(X0)ΔX. 与二元函数类似，f(X)在X=X0处取得极值的必要条件是gradf(X0)=0. 当gradf(X0)=0时，若ΔX≠0，且‖ΔX‖充分小时，则可略去泰勒展开式中的高阶无穷小量.　于是有 f(X)-f(X0)≈(ΔX)TH(X0)ΔX.

由此可见，f(X0)是否为f(X)的极值，取决于二次型（ΔX）TH(X0)ΔX的符号 由此可见，f(X0)是否为f(X)的极值，取决于二次型（ΔX）TH(X0)ΔX的符号.　因此，由二次型与极值的概念，三元函数取得极值的充分条件可叙述为，当H(X0)为正定矩阵时，f(X0)为f(X)的极小值；当H(X0)为负定矩阵时，f(X0)为f(X)的极大值.　并且还可得知，当H(X0)为半正（负）定矩阵时，f(X0)是否为f(X)的极值需进一步确定；当H(X0)为不定矩阵时，f（X0）不是f(X)的极值.