对常见的二次曲线(面)通过其特殊的二次方程，我 第四章 二次曲面和二次曲线 对常见的二次曲线(面)通过其特殊的二次方程，我 们已经熟知各种性质，现在的问题是，除此之外还有多 少种二次曲线(面)?对个一般的二次方程(二元或三元)， 它所表示的曲线(面)是怎样的。本章拟这类问题展开讨 论。 为了简洁，特别是为了让读者更注重本章的思想 方法，本章利用了一些代数知识，请先参考本书末的附 录。

第四章 二次曲面和二次曲线 §1 坐标变换 §2 二次曲面和二次曲线方程的化简 §3 不变量 §4 中心,渐近方向 §5 二次曲面的直径面 、对称面,二次曲线的直径 、对称轴 §6 切线 ，切平面

§1 坐标变换 1.平面的坐标变换 2.空间的坐标变换

1.平面的坐标变换 如图4.1,因为 平面上给了两个仿射坐标系 我们研究同一个点(向量)在 和 下的坐 图4.1 我们研究同一个点(向量)在 和 下的坐 标之间的关系.设 在 下的坐标为 在 下的坐标分别是 点M在 和 下 的坐标分别为 和 . 如图4.1,因为 图4.1

所以 将(1.1)写成矩阵形式 或 (1.1)或(1.2)称为平面点的仿射坐标变换公式。

设向量 在 下的坐标为(u,v)，在 下的坐标 为 ，则 因此 将它写成矩阵形式 (1.3)或 称为平面向量的仿射坐标变换公式。

和 的坐标向量之间的关系为 形式上可写成 矩阵 称为从坐标系 到坐标系 的过渡矩阵 .

注: 和 为同定向的直角坐标系的充要条 件是A为正交矩阵且|A|=1，此时 ; 与 为反定向的直角坐标系的充要条件是A 为正交矩阵且|A|=－1，此时 A= 其中，0≤θ<2π。

设 和 均为右手直角坐标系 , 到 的转角(逆时针方向)为θ,则 若θ=0，则 （1.4）就是移轴公式。

若 与 重合，则 （1.5）就是转角为θ的转轴公式。 平面上的任一右手直角坐标变换都可以经 过移轴和转轴得到。

2.空间的坐标变换 设 是空间的两个仿 射坐标系，在 下， 的坐标为 (i=1,2,3）, 那么形式上有 设 是空间的两个仿 射坐标系，在 下， 的坐标为 (i=1,2,3）, 那么形式上有 其中矩阵A=( )称为从 到 的过渡矩阵，且是可逆的。 设点M在 和 下的坐标分别为 , O’在 下的坐标为 ，向量 在 和 下的坐标分 别为 那么使用平面的坐标变换公式 的推导方法可以得到

变换公式，公式(1.7)称为从 到 的空间向量的仿 射坐标变换公式。 公式（1.6）称为从 和 的空间点的仿 射坐标 变换公式，公式(1.7)称为从 到 的空间向量的仿 射坐标变换公式。 如果 ， 都是直角坐标系，则可以证明A是正交矩 阵。进一步，如果 ， 是同定向的，那么|A|=1;如果 与 是反定向的，那么|A|=－1。

例1 在平面上，设 轴， 轴在原坐标系中的 方 程分别为 3x-4y+1=0, 4x+3y-7=0, 且新、旧坐标系都是右手直角坐标系。求 到 的点 的坐标变换公式；直线 :2x-y+3=0在新坐标系中的方 程；直线 : 在原坐标系中的方程。 解 设原坐标系为 新坐标系为 解方程 得x=1,y=1.因此 在 中的坐标为（1，1）。 因为 轴的标准方程为：

所以 轴的方向数为4∶3，于是 的 坐标为： 或 (注: 轴所在的方向向量平行于 , 下面取 的 坐标 ；同样可得 的 坐标为 ;因此从 到 的点的坐标变换公 式为

在新坐标系中的方程为 即 从 到 的点的坐标变换公式为 在原坐标系中的方程为 即 2x-11y+14=0.

例2 在右手直角坐标系中，判断曲面 S: 是什么曲面. 解 考虑三个平面 2x+y+z=0, x-y-z=0, y-z=0, 它们的法向量分别是 : 易知它们两两垂直，因而可以作为新的坐标系的三个 坐标轴的方向向量。 因为

所以 依次构成右手系.因此取 分别 是新右手直角坐标系的坐标向量 , 即 三个平面的交点(0，0，0)作为新右手直角坐标系的原 点，因而从旧系到新系的点的坐标变换为: 由此可得 :

曲面S在新的右手直角坐标系下的方程为: 即 故S是双曲抛物面。

例3 在平面右手直角坐标系中，方程 表示椭圆,作变换 得方程 已不能 反应原方程表示曲线的某些几何性质。

§2 二次曲面和二次曲线方程的化简 上节的例2已经提醒我们，对于一个较复杂的二次 方程，有望通过坐标变换将其化简，从而可剖析其所对 §2 二次曲面和二次曲线方程的化简 上节的例2已经提醒我们，对于一个较复杂的二次 方程，有望通过坐标变换将其化简，从而可剖析其所对 应的曲面。 从本节开始我们着重在右手直角坐标系下讨论一 般的二次曲面方程。

§2 二次曲面和二次曲线方程的化简 1. 定义和记号 2. 代数理论 3. 二次曲面分类

1. 定义和记号 记空间中二次曲面的一般方程为 (2.1) 其中 不全为0. 记F(x,y,z)的二次部分为 (2.2)

利用矩阵的乘法可以把F(x,y,z)，Φ(x,y,z)写成 下列形式 : 记 , .

分别称为二次曲面F(x,y,z)=0和Φ(x,y,z)的矩阵， 它们是实对称的。 记 则 A 可以分块 写成 : 二次曲面的方程(2.1)可表示成 : Φ(x,y,z)可以表示为:

记: 则有:

2.代数理论 由代数知识知道(参见附录)，实对称矩阵可用正交 矩阵对角化。即对实对称矩阵 ，存在正交矩阵T，使 为对角矩阵，且对角线上的元素为 的特征值 即方程: 的根,它们全为实数.因此:

对二次曲面的方程(2.3)，我们作如下的右手直角坐 标变换，保持原点不动，从旧坐标系 到新坐标系 的过渡矩阵为T,即: 将(2.5)代入二次曲面的方程(2.3)中得:

记 .因此经过直角坐标变换(2.4) ， 曲面方程变为 : (2.6) 由以上知道，我们总能找到适当的右手直角坐标 系使二次曲面的方程具有(2.6)的形式。因而不妨设二 次曲面的方程就是(2.6)的形式，并将方程中的符号 “ ” 去掉。

3.二次曲面分类 在(2.6)的基础之上，通过配方，再作移轴，就可 将方程(2.6)进一步化简，并了解其所对应的曲面。 情形1 都不为0. 作移轴:

则有: 令常数项为 , 得: (2.7) (1) 1° 同号 ,则同于形式 虚椭球面

2° 异号,则同于形式: 单叶双曲面 (2) 3° 同号,则同于形式: 椭球面 4° 异号,则同于形式: 双叶双曲面 (3) 5° 同号,则同于形式: 一个二重点

6° 异号,则同于形式: 二次锥面 情形2 中只有一个为0.不妨设 , 作移轴: 则有 (2.8)

(1) ,再作移轴: 那么(2.8)化简为: (2.9) 7° 则同于形式: 椭圆抛物面 8° 则同于形式: 双曲抛物面

(2) 则(2.8)变为: (2.10) 9° 同号但与 异号 ,则同于形式: 椭圆柱面 10° 同号,则同于形式: 虚椭圆柱面 11° 则同于形式: 双曲柱面

(3) 12° 则同于形式: 一对相交于一条 实直线的虚平面 13° 则同于形式: 一对相交平面 情形3 中有两个为0.不妨设 作移轴:

则有 (2.11) (1) 中至少有一个不为0,作变换: 通过此变换,(2.11)可化简成形式: 14° 抛物柱面

（2） 15° 与 异号,则同于形式: 一对平行平面 16° 与 同号,则同于形式: 一对虚的平行平面 17° , 则同于形式: 一对重合平面 综合以上结论,我们有 定理2.1 选取适当的坐标系，二次曲面方程总 可以化简为以下五个简化方程中的一个 (1) (2)

(3) (4) (5) 二次曲面总共有17种曲面. 类似于空间二次曲面的讨论，读者自行研究平 面上的二次曲线方程有如下结论。记平面上的二次曲 线方程为 :

记 经过类似于二次曲面方程的化简过程可以得到: 定理 平面上的二次曲线方程可化简为以 下三个简化方程之一： (1) (2) (3) 二次曲线共分为9种，它们的方程形式如下： (1) 椭圆:

(2) 虚椭圆: (3) 交于一实点的二虚直线: (4) 双曲线: (5) 两条相交直线: (6) 抛物线: (7) 一对平行直线: (8) 一对虚平行直线: (9) 一对重合直线:

§3 不变量 在前面两节的讨论中，我们已经无意识地默认了这样的结论：“ 即在直角坐标系下二次曲面(线)经过直角 §3 不变量 在前面两节的讨论中，我们已经无意识地默认了这样的结论：“ 即在直角坐标系下二次曲面(线)经过直角 坐标变换后并没有改变其几何性质。”从代数的角度看, 经过直角坐标变换后 ，其方程的形式已可能变得面目 全非，但决定曲面(线)几何特征的内蕴性一定不会改变，这就是曲面(曲线)的不变量。

§3 不变量 1. 不变量 2. 利用不变量化简二次曲面与二次曲线方程

1. 不变量 定义3.1 由曲面(曲线)方程的系数给出的函数，如 果在经过任意一个直角坐标变换后，它的函数值不变， 1. 不变量 定义3.1 由曲面(曲线)方程的系数给出的函数，如 果在经过任意一个直角坐标变换后，它的函数值不变， 就称这个函数是该曲面(曲线)的一个正交不变量，简 称不变量。 设二次曲面的方程为(2.1)或(2.3)，记

定理3.1 是 二次曲面的不变量. 证明: 作任意一个直角坐标变换: (3.1) 其中, T 是正交矩阵.将(3.1)代入二次曲面方程 (2.3)得到:

(3.2) (3.2)就是在新坐标系下的二次曲面的方程,即: 因为T为正交矩阵，即 ,所以对任意实数λ，有: 另外:

因此得: 将上式两边展开得: 由λ的任意性得: 于是 是二次曲面的不变量.

我们称方程 (3.3) 为二次曲面的特征方程，它的根称为二次曲面的 特征根. 由定理2.1知道特征方程和特征根在任意直角 坐标变换下都是不变的。设三个特征根为 则由 根与方程的系数关系有: 除了以上不变量外，我们还有以下半不变量的概念， 我们记:

定理3.2 在保持原点不动的直角坐标变换(即坐标 旋转变换)下， 是不变量，称为半不变量。 证明: 设直角坐标变换为 ,其中，T是正交 矩阵。我们考虑如下二次曲面(3.4)式:

其中λ是任意实数。经过坐标变换 后，(3.4) 将变为(3.5)式: 其中, 是二次曲面 的矩阵 经过坐标变换 后的二次曲面方程的矩 阵.由定理3.1知 是不变量,因此: (3.6)

而 因此比较 (3.6)式两边的λ 和 的系数知道: 于是 在保持原点不动的直角坐标变换下是不 变的。 对于二次曲线方程(2.12),记: 我们同样可以得到:

定理 是二次曲线的不变量. 定理 当 时, 是二次曲线的不 变 量.

2.利用不变量化简二次曲面与二次曲线方程 由定理2.1我们从五个简化方程出发，用不变量来描 述它们。有下面的定理： 定理3.3 二次曲面用不变量表示它的简化方程如下： (1) 当 时, (2) 当 时, (3) 当 时,

(4) 当 时, (5) 当 时, 其中 分别为二次曲面的非零特征根。 我们只给出(1)的证明。设 是曲面的特征 根。 对应于 此时 由特征方程的根与系数的关系立即知道:

于是简化方程可写成: 同样，对二次曲线也有 定理 二次曲线用不变量表示它的简化方程如 下： (1) 当 时, (2) 当 时, (3) 当 时, 其中， 分别是二次曲线的非零特征根。 例1 化简方程

并指出它是什么曲面。 解: 先写出它的系数矩阵: 计算它的不变量:

其特征方程: 解得: 于是,简化方程为 该二次曲面为椭球面. 例2: 化简方程: 并指出它是什么曲面. 解: 二次曲面的系数矩阵: 计算不变量

特征方程为: 特征根为： 于是,简化方程为: 该曲面是双曲柱面.

§4 中心,渐近方向 通过化简后的二次方程，我们已经较清楚地弄清二 次方程所表示的是何种曲面(线)，但我们还不能确定其 §4 中心,渐近方向 通过化简后的二次方程，我们已经较清楚地弄清二 次方程所表示的是何种曲面(线)，但我们还不能确定其 在空间中所处的位置，如对称中心，对称轴，对称面 ( 如果有的话)等等，另外诸如渐近线(面)，切线(面)等也 是我们关注的对象。

§4 中心,渐近方向 1. 二次曲面与直线的相关位置 2. 曲面的中心

1. 二次曲面与直线的相关位置 设二次曲面的方程为: (4.1) 其中, 是对称矩阵, 记:

称为函数F(x,y,z)的梯度向量. 设直线 过点 ,方向向量为 ,则 直线 的参数方程为: (4.2) 将(4.2)代入(4.1),我们得:

即 (4.3) 我们来讨论方程(4.3) : (1).当 时(4.3)的判别式: 1° 当Δ>0时， 与S有两个不同的实交点； 2° 当Δ=0时， 与S有两个相同的实交点； 3° 当Δ<0时， 与S没有实交点，有一对共轭的虚 交点。 (2).当 时: 1° 当 时， 与S有唯一的实交点； 2° 当 时， 与S没有交点；

3° 当 时， 在S 上。 定义4.1 满足 的方向X:Y:Z叫做S 的渐近方向.否则称为S的非渐近方向. 由以上讨论知具有渐近方向的直线或与S没有交点， 或有唯一交点或整条直线在S上。 由曲面渐近方向的定义可得到经过一固定点 ，以二次曲面的渐近方向为方向的所有直线构成的曲面方 程是: 它是二次齐次方程，因而是以 为顶点的锥面，锥面上 每一条母线的方向都是二次曲面的渐近方向。此锥面 称为二次曲面的渐近方向锥面。

2. 曲面的中心 定义4.2 点C称为二次曲面S的中心，如果S上任意一 定理4.1 是S的中心的充要条件是: 点 关于C的对称点 仍在S上。 2. 曲面的中心 定义4.2 点C称为二次曲面S的中心，如果S上任意一 点 关于C的对称点 仍在S上。 定理4.1 是S的中心的充要条件是: 即 证明: 必要性 设 是S的中心,任取S的非 渐近方向 ,过C点且以 为方向的直线与S必 有两个(实、重合、虚的)交点 (i=1,2).由于C 为S的中心,所以C为线段 的中点。. 的方程为:

设 对应的参数为 (I=1,2),则 于是由方程4.3及韦达定理给出: 即 (4.5) (4.5)对一切的非渐近方向都成立,故 。 充分性.若 满足(4.4),作移轴 使C为新坐标系的原点,得到S的新方程: (4.6) (4.6)中用 分别代替 方程不变,所 以C是S的中心. 由定理4.1看出二次曲面的中心坐标是方程组

的解.它的系数矩阵与增广矩阵分别为 : 由线性方程组有解判别定理知道: (1).当 即 方程组有唯一解，因 而S有唯一中心，这种二次曲面称为中心曲面. (2).当 方程组的解构成一条直线，即这 条直线上的点都是S的中心，这样的二次曲面称为线心曲 面。 (3).当 方程组的解构成一个平面，即此 平面上的点均为S的中心，称此曲面为面心曲面 . (4). 当 ,方程组无解，即曲面S没有中心， 称此曲面为无心曲面 . 线心曲面、面心曲面及无心曲面统称为非中心曲面。

命题4.1 二次曲面为中心曲面的充要条件是 ；二 次曲面为非中心曲面的充要条件是 。 例1 椭球面 与单叶、双叶双曲面 是中心曲面，中心均为原点O(0,0,0)。 解 椭球面的不变量 单叶、双叶双曲 面的不变量 因而它们都是中心曲面。中 心都满足方程 故 中 心 均 为 原 点 O(0，0，0)。

例2 抛物面 是无心曲面. 解: 易知 , 因而抛物面是非中心曲面。因为 所以抛物面没有中心。 例3 曲面 是线心曲面. 解: 此方程组的解为 y=0,z=0。因此中心构成直线，即x轴， 故曲面为线心曲面。

对二次曲线Г而言，渐近方向和中心的概念可以类似 地定义，有关的结论也是相仿的。中心满足方程组 (4.7) (4.7) )的系数矩阵和增广矩阵分别为 : (1).当 即 (4.7)有唯一解, 即Г有唯一中心，称Г为中心曲线。例如椭圆、双曲线。 (2).当 (4.7)的解组成一直线，称Г为 线心曲线。例如两平行直线。 (3).当 , （4.7）没有解，即Г没有中心， 称Г为无心曲线，例如抛物线。

定义4.3 对中心曲面(中心曲线)而言，通过中心并 具有渐近方向的直线称为渐近线。以二次曲面的中心为 顶点的渐近方向锥面称为二次曲面的渐近锥面。

§5 二次曲面的直径面 、主径面, 二次曲线的直径 、主轴 §5 二次曲面的直径面 、主径面, 二次曲线的直径 、主轴 1.二次曲面的直径面 2.二次曲面的主径面，二次曲线的直径、主轴

1. 二次曲面的直径面 定义5.1 二次曲面上两个点的连线段称为二次曲 定理5.1 二次曲面的沿非渐近方向 面 的一条弦 . 1. 二次曲面的直径面 定义5.1 二次曲面上两个点的连线段称为二次曲 面 的一条弦 . 定理5.1 二次曲面的沿非渐近方向 的所有平行弦的中点轨迹在一个平面上，平面方程为 , 即 (5.1) 或

定义5.2 二次曲面沿非渐近方向X∶Y∶Z的平行 由(4.5)知 的中点坐标满足 即: 将上式展开整理,得: 由于 所以 不全为0,于是(5.1)表示一个 平面. 定义5.2 二次曲面沿非渐近方向X∶Y∶Z的平行 弦中点所在的平面称为二次曲面共轭于方向X∶Y∶Z的 直径面。

推论5.1 假如二次曲面S的中心存在，那么S的 任何直径面一定通过S的中心。进一步，线心曲面的任 何直径面通过它的中心直线，面心曲面的直径面就是它 的中心平面。 如果方向X∶Y∶Z是二次曲面的渐近方向，那么 平行于它的弦不存在。但是如果 不全为零，那么方程 仍表示一平面，为了方便，把 此平面叫做共轭于渐近方向X∶Y∶Z的直径面。如果 (5.2) 那么 不再表示任何平面. 定义5.3 满足(5.2)的渐近方向X∶Y∶Z称为二次 曲面的奇异方向，简称奇向。

因为 由(5.2)及齐次线性方程组有非零解的条件立即得到。 定理5.3 二次曲面S的奇向平行于S的任何直径面。 定理5.2 二次曲面有奇向当且仅当 。 由(5.2)及齐次线性方程组有非零解的条件立即得到。 定理5.3 二次曲面S的奇向平行于S的任何直径面。 证明: 设 是S的奇向．任取S的一直径面： 因为

又 为S的奇向，所以 代入上式有: 故奇向平行于S的任何直径面。 例1 求单叶双曲面 的直径面. 解: 因为 所以它没有奇向。任取一 一方向X∶Y∶Z， 那么 故共轭于X∶Y∶Z的直径面方程是

例2 求椭圆抛物面 的直径面. 解: 因为 所以有奇向。 因为 所以奇向为0∶0∶1。任取非奇方向X∶Y∶Z， 那 么又由 故共轭于 X∶Y∶Z的直径面方程为: 显然它平行于奇向 0∶0∶1。

命题5.1 (1)奇向与任何方向都共轭； 定义5.3 如果两方向 ， 满足 (5.3) 或 那么这两个方向称为一对共轭方向。 定义5.3 如果两方向 ， 满足 (5.3) 或 那么这两个方向称为一对共轭方向。 由此定义我们立即得到 命题5.1 (1)奇向与任何方向都共轭； (2)方向 与非奇向X∶Y∶Z共轭当且仅当 与共轭于X∶Y∶Z的直径面平行。 定义5.4 二次曲面S的两直径面的交线称为S的一条 直径，两条沿共轭方向的直径称为S的一对共轭直径。

对中心曲面而言，过中心的任何平面都是直径面(留作 习题)，因而过中心的每一条直线都是S的直径。

定义5.5 平面π称为二次曲面S的对 2. 二次曲面的主径面， 二次曲线的直径、主轴 称面，如果对于任意点 ∈S，它关于π 的对称点 ∈S。 2. 二次曲面的主径面， 二次曲线的直径、主轴 定义5.5 平面π称为二次曲面S的对 称面，如果对于任意点 ∈S，它关于π 的对称点 ∈S。 定义5.6 与共轭方向垂直的直径面称 为主径面。

由此定义知，若π是S的主径面，则S的某 一组平行弦 的 中点经过此平面π，且这组 平行弦与π垂直。设与主径面共轭的方向 为X∶Y∶Z， 于是π的方程为 或

因为X∶Y∶Z与π垂直，所以X∶Y∶Z与 共线， 即 令比值为λ，故 (5.4) 写成矩阵形式:

或 因为X，Y，Z不全为0，所以由齐次线性方程组有非零 解的条件得: (5.5) 定义5.6 二次曲面S的奇向及S的主径面的法向称为 S的主方向。 由(5.4)和(5.5)知道，二次曲面S的主方向为矩阵 的特 征方向。由此给出了求S的主方向的方法： (1)先求出 的特征根， (2)再将特征根代入(5.4)求出主方向。

命题5.2 二次曲面的不同特征根对应的主方向互相 由(5.4)知，λ=0对应的主方向是S的奇向，非零特征 根对应的主方向为S的非渐近方向，因为 求出主方向X∶Y∶Z后，代入 得到与其共轭的主 径面(与特征根λ对应的主径面)： (5.6) 由代数知识知道: 命题5.2 二次曲面的不同特征根对应的主方向互相 垂直。 对于二次曲线而言，同样有弦的概念，直径、对称 轴、主轴的定义对应于二次曲面的直径面、对称面、主径 面，奇向、共轭方向、共轭直径与主方向可类似地定义 (请读者写出)。

定理 二次曲线的沿非渐近方向X∶Y的所有平行 相应的结论有： 定理 二次曲线的沿非渐近方向X∶Y的所有平行 弦的中点轨迹在一条直线上，直线方程为 或 定理 二次曲线有奇向当且仅当 。 定理 二次曲线Г的奇向平行于Г的任何直径。 它们的证明留作习题。 命题 (1)奇向与任何方向共轭； (2)方向 与非奇向X∶Y共轭当且仅当 与共轭 于X∶Y的直径平行。

命题 二次曲线的不同特征根对应的主方向互 相垂直。 求二次曲线的主方向和主轴的步骤是类似的。 例3 求二次曲面 的主方向和主径面。 解: 二次曲面的矩阵 特征方程为

特征根为4，3，0。 (1) 将λ=4代入 得: 解得主方向X∶Y∶Z=1∶0∶(-1)，计算 ,因而主径面为 4(x-z)+0=0, 即: (2) 将λ=3代入 得: 解得主方向X∶Y∶Z=1∶(-1)∶1，计算

主径面为 3(x-y+z)-3=0, 即 x-y+z-1=0. (3) 将λ=0代入 得: 解得主方向X∶Y∶Z=1∶2∶1,它是奇向，与之共轭的 直径面不存在。 例4 求二次曲面 2xy+2xz+2yz+9=0 的主方向和主径 面。 解: 二次曲面的矩阵

特征方程 特征根为 -1,-1,2。 (1) 将λ=-1代入 ，得:

即X+Y+Z=0，因而平行于平面x+y+z=0的方向均为主 一切平面均为主径面。 2) 将λ=2代入 得: 解得主方向X∶Y∶Z=1∶1∶1, ，主径面 2(x+y+z)+0=0， 即 x+y+z=0. 下面我们来找出方程化简中的直角坐标变换。

由于二次曲面的每个特征根至少对应一个主方向。因 此二次曲面至少有三个主方向。我们选取其中三个两两 垂直的主方向并且将它们单位化，设为 这样它 们就可作为三个坐标向量。 因为 ，其中 是特征根, 是对应于 的 单位主方向, 的坐标写成列向量的形式,所以有: 作矩阵 即以单位主方向的坐标排成T的 列， 则T为正交矩阵且

故作直角坐标变换 后，二次曲面的方程就化简 为 再经过一个适当的移轴(即选取适当的点为新的坐标原点) ，就可得到用不变量表示的简化方程。 对于中心曲面，选取中心作为新的坐标原点，对于 线心和面心曲面任取一中心作为新的坐标原点，对无心曲 面选取曲面的顶点(对称轴与曲面的交点)为新的坐标原 点。 比如例4中，它是中心曲面，其中心为(0，0，0)， λ=－1对应的主方向平行于平面x+y+z=0，选两个互相 垂直的主方向1∶(－1)∶0, 1∶1∶(－2), λ=2对应的主 方向为 1∶1∶1。因为：

所以向量(1，－1,0),(1,1, －2),(1,1,1) 两两垂直且构成右 手系，将它们单位化得 因此作右手直角坐标变换

则方程化简为 即 它是单叶双曲面。 寻找直角坐标变换的另一方法，是找三个两两垂直的 主径面作为新的坐标面。

在例4中， 对应的主方向为 轴方向，则对应 的主径面为 面，即 =0,其方程为： x+y+z=0。 在 对应的主方向中任取两个互相垂直的 ，比如1∶(－1)∶0, 1∶1∶(－2)，它们分别作为 轴 和 轴的方向，则对应的主径面为 y'Oz'(x'=0), z'Ox'(y'=0)。 它们的方程为 : x-y=0, x+y-2z=0. 然后将它们的法向量单位化，就有右手直角坐标变换:

或 在此坐标变换下，简化方程就是用不变量来表示的 方程。

例3中的简化方程为 三个主方向分别为1∶0∶(－1), 1∶(－1)∶1, 1∶2∶1。 因为 所以，(1，0, －1), (1, －1,1), (1,2,1)构成 左手系，那么(1,0, －1)，(－1,1, －1), (1,2,1)构 成右手系。取它们的单位向量 分别为 轴， 轴， 轴的方向。因而对应 的主径面

x-z=0, -x+y-z+1=0 分别为 面， 面。 轴的方程为: 轴与曲面的交点为(1，1，1)，以此点为新坐标系的 分别为 面， 面。 轴的方程为: 轴与曲面的交点为(1，1，1)，以此点为新坐标系的 原点，因而作右手直角坐标变换 将它代入曲面方程中化简，由(3.2)有

现在

所以在以上坐标变换下，简化方程为

§6 切线、切平面 定义6.1 如果直线 与二次曲面S有两个重合的交 点或 在S上，则称 为S的切线，交点称为切点。 §6 切线、切平面 定义6.1 如果直线 与二次曲面S有两个重合的交 点或 在S上，则称 为S的切线，交点称为切点。 设直线 过点 ∈S，方向为X∶Y∶Z， 则由(4.3)得 与S有两个重合的交点当且仅当 在S上 当且仅当 故经过 ∈S的直线 是S的切线当且仅当 (6.1)

(1) 不全为零 由直线 的方程(4.2)有 X∶Y∶Z= 将此代入(6.1)得 (6.2) (6.2)表示一个平面，即过点 ∈S的所有切线上的 点构成一个平面。 定义6.2 二次曲面S上一点处的所有切线上的点构 成的平面称为S的 切平面 ，此点称为 切点。 (2) 此时(6.1)成为恒等式，它对任何方向都满足，故过 点 的任何一条直线都是S的切线。

命题6.1 定义6.3 若过点 ∈S的每一条直线都是S的切 线，则称点 是S的奇异点 。S的非奇异点，称为S的 正 常点 。 由以上的讨论知道 命题6.1 (1)正常点处有唯一的切平面，方程为(6.2)。 (2) 为奇异点当且仅当 如果 ,则过 的切线 不可能在S上，故 过 的直线 为S的切线当且仅当

定义6.4 若过 ∈S的直线 与 处的切平 对切线 上的任意点(x,y,z)都有 将之代入(6.3)中得 它是关于 的二次齐次方程，即 它是关于 的二次齐次方程，即 表示以 为顶点的二次锥面，称为S的 切锥 。 定义6.4 若过 ∈S的直线 与 处的切平 面垂直，则称直线 为S在 处的 法线 。 由此定义得法线方程 (6.4)

对二次曲线Г而言，切线、法线、正常点、奇异点同 样地定义。过正常点 ∈Г，方向为X∶Y的直 线为Г的切线当且仅当 由此得切线方程为 法线方程为 过曲线Г外的一点 的直线为Г的切线当且仅当

因而切线上的点(x,y,z)满足 (6.6) (6.6)的左端是 的二次齐次多项式或零多 项式。若为前者，当它可以分解为两个实系数一次因式 的乘积时，便得到过 的两条直线，如果这两条直线 的方向为非渐近方向，则它们是过 的Г的切线；如果 这两条直线的方向是渐近方向，则过 的Г的切线不 存在。当它在实数范围内不能分解时，则过 没有Г的 实切线；若为后者，则过 的任意直线均为Г的切 线。