圆的方程复习
[小问题·大思维] 1．方程x2＋y2＋2x－2y＋3＝0是圆的一般方程吗？为什么？ 提示：此方程不表示圆的一般方程． ∵D2＋E2－4F＝22＋(－2)2－4×3＝－4＜0. ∴此方程不表示任何图形． 2．方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时需要具备 什么条件？ 提示：需同时具备三个条件：①A＝C≠0；②B＝0； ③D2＋E2－4AF>0.
[例1] 判断下列方程是否表示圆，若是，化成标准方程． (1)x2＋y2＋2x＋1＝0； (2)x2＋y2＋2ay－1＝0； (3)x2＋y2＋20x＋121＝0； (4)x2＋y2＋2ax＝0.
(3)原方程可化为：(x＋10)2＋y2＝－21＜0，故方程不表示任何曲线，故不能表示圆． (4)原方程可化为(x＋a)2＋y2＝a2. ①当a＝0时，方程表示点(－a,0)，不表示圆； ②当a≠0时，方程表示以(－a,0)为圆心，半径为|a|的圆，标准方程为(x＋a)2＋y2＝a2.
悟 对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆；也可以由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F是否为正，确定它是否表示圆．
1．求下列圆的圆心和半径． (1)x2＋y2－x＋y＝0； (2)x2＋y2＋2ax－2ay＋a2＝0.(a≠0)
[例2] 已知△ABC三个顶点的坐标为A(1,3)，B(－1，－1)，C(－3,5)，求这个三角形外接圆的方程．
悟 待定系数法是求圆的一般方程的常用方法，先设出圆的一般方程，再根据条件列出方程组求出未知数D，E，F，当已知条件与圆心和半径都无关时，一般采用设圆的一般方程的方法．
2．求过点A(2，－2)，B(5,3)，C(3，－1)的圆的方程．
已知定点A(a,2)在圆x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0的外部，求a的取值范围． ∴a2＋4－2a2－3×2＋a2＋a＞0，∴a＞2. [错因] 本题错解的根本原因在于没有把握住圆的一般式方程的定义．二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时，需D2＋E2－4F＞0，所以，本题除了点在圆外的条件以外，还应注意方程表示圆这一隐含条件．