二次曲面 二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面． 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面形状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．

§4.4 椭球面 由方程出发可得椭球面的一些简单性质 对称性：对称平面（主平面） 对称轴（主轴） 对称中心（中心） §4.4 椭球面 由方程出发可得椭球面的一些简单性质 对称性：对称平面（主平面） 对称轴（主轴） 对称中心（中心） 截距与顶点：顶点，轴，半轴

§4.4 椭球面 y x z o c 截痕法 用z = h截曲面 b 用y = m截曲面 用x = n截曲面 a

椭球面的方程 椭球面 椭球面与三个坐标面的交线： 主截线（主椭圆）

椭球面与平面 的交线为椭圆 其顶点的变动轨迹呢？ 同理与平面 和 的交线也是椭圆. 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.

椭球面的参数方程 其中

椭球面的几种特殊情况： 旋转椭球面 由椭圆 绕 轴旋转而成． 方程可写为 旋转椭球面与椭球面的区别： 与平面 的交线为圆.

截面上圆的方程 球面 方程可写为

§4.5 双曲面 一、概念 (1) 单叶双 曲 面 在空间直角坐标系中，由方程 §4.5 双曲面 (1) 单叶双 曲 面 一、概念 在空间直角坐标系中，由方程 所表示的曲面，叫做单叶双曲面, 此方程叫做单叶双曲面的标准方程.

方程 与 表示的曲面也是单叶双曲面.

二、性质 1. 对称性 中心 ： 坐标原点（1个）; 主轴 ： x轴、y轴和z轴（3条）; 主平面： xOy面、yOz面和zOx面（3个）. 2. 截距和顶点 则z 轴上没有顶点； x=0, y=0 → z无解, x=0, z=0 → y = ±b, 则y轴上有顶点: （0，±b ，0）（2个）； z=0, y=0 → x = ±a, 则x轴上有顶点: （±a，0，0）（2个）.

3.主截线 实轴为y轴, 虚轴为z轴; : 双曲线 (1) 实轴为x轴, 虚轴为z轴; (2) : 双曲线 (3) : (腰椭圆）.

4.平行截线 无论h取何值，此方程组总表示在平面: 上的椭圆， 它的两半轴为： 与 此时椭圆的两轴端点 （± ，0， h） 与 （0， ± ， h） 分别在两条主截线 （双 曲线）上， 且所在平面与腰椭圆平行.

若用平行于xoz的平面y=h来截割单叶双曲面呢？P.162-163 结论：单叶双曲面可以看成是由一个椭圆变动其大小和位置而产生的，在变动中这个椭圆始终保持：所在平面平行于xOy面，且两轴的端点分别沿着yOz和zOx面上的主截线（双曲线）滑动。 若用平行于xoz的平面y=h来截割单叶双曲面呢？P.162-163

主双曲线（yoz面） 三、图形 主双曲线 （xoz面） 腰椭圆（xoy面）

主双曲线 （yoz面） 主双曲线 （xoz面） 腰椭圆 （xoy面）

（2）双叶双曲面 一、定义 在直角坐标系下，由方程 表示的图形，叫做双叶双曲面，此方程称为双叶双曲面的标准方程 二、性质 对称性：三个坐标平面，三个坐标轴，坐标原点 顶点与截距：与x,y轴都不相交，与z轴交于（0，0，±c）

x y o z 双叶双曲面的图形 主截线

平行截线 其中 双曲面可以看成是由一个椭圆其大小位置变动产生的，在变动中，保持所在平面平行于x0y平面，且两轴的端点分别沿着主截线滑动

四、总结 单叶双曲面的图形可由一族椭圆生成，由这个无界的曲面可联想到宇宙的广袤。因此，在美国有一座天文馆，就建成单叶双曲面的形状，其设计师就是由彗星的椭圆、双曲线轨道联想到这幅探索宇宙空间的精美图画。这充分表现了设计者极高的数学素质和审美意识。

由此我们联想到圆柱面在建筑艺术上的应用：圆柱面是由与一条定圆相交且垂直于此定圆所在平面的一族直线产生的轨迹，因而既具有圆的柔软性，又具有直线的坚硬性，融刚直与柔软于一体。正是这种特有的性质，世界上众多的建筑尤其是体育馆都建成圆柱形（如上海的万体馆等），这种建筑形状所包含的审美内容是丰富的，它是团结、友谊的显现（圆的意义），又是力量、意志的象征（直线的意义），即奥林匹克精神。

上海万体馆 近景 夜景

§4.6 抛物面 一、椭圆抛物面 由方程得出的一些简单性质： 对称性： 对称于xoz，yoz平面，对称于z轴，没有对称中心 顶点：(0，0，0) .

x z y 截痕法 用z = a截曲面 用y = b截曲面 用x = c截曲面

椭圆抛物面方程 椭圆抛物面 用截痕法讨论： （1）用坐标面 与曲面相截 截得一点，即坐标原点 原点也叫椭圆抛物面的顶点.

与平面 的交线为椭圆. 当 变动时，这种椭圆的中心都在 轴上. 与平面 不相交. （2）用坐标面 与曲面相截 截得主抛物线

与平面 的交线为抛物线. 顶点 它的轴平行于 轴. 2 （3）用坐标面 ， 与曲面相截 均可得主抛物线.

椭圆抛物面的图形如下： x y z o z x y o

特殊地：当 时，方程变为 旋转抛物面 （由 面上的抛物线 绕 z 轴旋转而成的） 与平面 的交线为圆. 当 变动时，这种圆的中心都在 轴上. 特殊地：当 时，方程变为 旋转抛物面 2 （由 面上的抛物线 绕 z 轴旋转而成的） 与平面 的交线为圆. 当 变动时，这种圆的中心都在 轴上.

一、双曲抛物面（马鞍面） 由方程得到的一些性质： 对称性：xoz，yoz和z轴， 无对称中心

一、双曲抛物面（马鞍面） x z y 截痕法 用z = a截曲面 用y = 0截曲面 用x = b截曲面 .

双曲抛物面（马鞍面） 用截痕法讨论： 图形如下： x y z o

已知轨迹求方程： 矢量式参数方程； 1.求出 坐标式参数方程； 2.写出 3. 转化 为普通方程。

已知方程， 求空间轨迹： 参数方程 数参数 （一个参数为曲线， 1. 两个参数为曲面。） 2. 普通方程 看形式 （联立方程组为 曲线， 单独一个方程 为曲面。）

(<u<+, <t<+) 1. 只有一个参数t, 表示空间曲线。 (<u<+, <t<+) 2. 有两个参数u、t, 表示空间曲面。

1. 联立方程组的形式， 表示曲线。 x=0 2. 单独一个方程， 表示曲面 （平面）。 判断： （1） （2）

1.常见曲面 图形 → 方程 方程 → 图形 2.二次曲面 (1)对称性 (2)顶点 (3)主截线 (4)平行截线

§4.7 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线 直纹曲面：由一族直线构成的曲面， 例子：柱面，锥面 称构成曲面的那族直线为曲面的一族直母线 §4.7 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线 直纹曲面：由一族直线构成的曲面， 例子：柱面，锥面 称构成曲面的那族直线为曲面的一族直母线 想想前面介绍的椭球面，双曲面，抛物面中那些含有直线？

单叶双曲面 双曲抛物面 想想直线在哪里出现？ 可以证明这两个曲面可由一族直线构成，所以它们是直纹面

单叶双曲面的二族直母线：u族直母线和v族直母线 u族直母线 其中w,u不全为0. v族直母线 其中t,v不全为0.

单叶双曲面上的任一点，两族直母线中各有一条直母线通过这点 单叶双曲面直母线的性质 定理：单叶双曲面上异族的任意两直母线必共面 而同族的任意两直母线异面

双曲抛物面的二族直母线： 为什么不用两个参数呢？

双曲抛物面上的任一点，两族直母线中各有一条直母线通过这点 双曲抛物面直母线的性质 定理：双曲抛物面上异族的任意两直母线必相交 同族的两条直母线异面 同族的全体直母线平行于同一平面

例 求过单叶双曲面 上的点（6,2,8）的直母线方程 求通过直纹面z=xy上点(1,1,1)的直母线方程