矩阵多项式与可逆矩阵的确定 杨忠鹏，陈梅香，林志兴，晏瑜敏， 陈智雄， 张金辉,王海明,戴培培,曾闽丽 莆田学院数学系 福建省《高等代数》与《线性代数》课程建设第十三次研讨会 矩阵多项式与可逆矩阵的确定 杨忠鹏，陈梅香，林志兴，晏瑜敏， 陈智雄， 张金辉,王海明,戴培培,曾闽丽　 莆田学院数学系 2011.4.23 宁德

矩阵多项式与可逆阵的确定 问题的提出 问题的已有解法 问题解决的一种可行的解决方法

1.问题的提出 设 是关于 的 次多项式， 为 阶方阵，称 为A的m 次多项式。 （见[1,P45],[2,P7]等）。

由于学时的限制，与数学专业的教学相关，矩阵多项式的 定义在矩阵运算之后就作为正式的教学内容，这是有意义的， 是值得借鉴的处理方式。关于矩阵多项式本身的训练和例题习题 在“线性代数”教材并不多见。因此多数情况下，这样很有价值 的教学内容在某种意义上讲只是走了过场，或者有些教师就不讲 这个内容。这固然是学时限制所致，但缺乏有启发性的相关题目 也是一个重要的原因。

问题1.1.1(见[1,P5])设 阶方阵 证明 及 都可逆，求其逆。 满足 问题1.1.2 (见[7,例2.22])设 阶方阵 满足 证明 和 都可逆，求其逆。 问题1.1.3 （见[9,P52]） 设A满足

问题1.1.4（见[9,P52]） 设A 满足 问题1.1.5（见[11,P98]） 设A 为n阶矩阵，满足

问题1.1.6（见[12,P42 ]） 问题1.1.7（见[13 ，P57]）设 为n阶矩阵 问题1.1.8（见[2，例1.31]）已知n阶矩阵A 满足

问题1.1.9(见[6,P88])设 阶方阵 满足 证明 和 不同时可逆。 问题1.1.10(见[6,P88])设 阶方阵 满足 证明 和 不同时可逆，并求出它们的逆矩阵。 问题1.1.11（见[9,P51]）设A为n阶方阵，且 , 则 （C） A 必不可逆 （D） A+E必不可逆

问题1.1.12 设A 满足 问题1.1.13 设阶矩阵A满足矩阵方程 问题1.1.12曾作为2001年全国硕士生入学考试数学一的试题. 问题1.1.13曾作为1988年全国硕士生入学统一考试数学四的试题.

问题1.1.14（见 [8,P81]） 设 证明 A+3E为正交矩阵。 问题1.1.15（见[3，例7，P42]）若方阵A满足方程

证明A-KE（其中k为任意实数）可逆，并求它的表达式。 问题1.1.16（见[9,P52]） 设n阶矩阵A 满足 问题1.1.17（见[2，P56]）设 证明

问题1.2.1（见[7 ，例2.23]）设n阶矩阵A≠0 满足A3=0，证明E-A，A+E都可逆，并求逆。 问题1.2.2（见[2， 习题一（B），34]）设方阵A满足 A3-2A2+9A-E=0，问A,A-2E是否都是可逆矩阵? 如果是，求其逆。 问题1.2.3（见[21 ，P43,13（2）]，[22,P49,18(2)]）设A3=3A(A-E)，证明E-A都可逆，并求逆。

问题1.3.1 （见[4,习题1.4.9]，[5,P94]，[14,习题3,3-4]， [21,P34, 6], [22,P39,6]) 阶矩阵，若 （k为整数），证明 可逆，并写出 的表达式。 问题1.3.1曾是1990硕士生入学统一考试1990年数学三的试题（见[15，P333]），几乎所有的线性代数和高等代数教材都将问题1.3.1化为基本问题。

问题1.4.1（见[11，习题3.2.8]，[21,P50,3(2)]） 设Jn为所有元素全为1的n（>1)阶方阵，

2．问题的已有解法 下面抄录的[11]对问题1.1.5的解答： (1) 由题设条件移项得， 等式左边提出公因子A得， 则A为可逆矩阵，且

(2).将 作恒等变形

且有很好性质的情况下是可行的。当然像问题1.1.15- 1.1.17 这样的解法，对问题1.1.1-1.1.13中矩阵等式的系数为常数 且有很好性质的情况下是可行的。当然像问题1.1.15- 1.1.17 这样系数为字母的解决就得不那样容易了。

[7]给出了问题1.2.1的解法如下： 因为 且

后，问题就显得复杂了。

问题1.1.1-1.1.13都是由一个矩阵等式，来确定2或3个矩阵 的可逆性求相应矩阵。对给定的矩阵等式来说，能确定多少个 形如问题1.1.16和1.1.17描述的A-kE的可逆阵，这类问题就一般 性来说是相当有意义的。

3.问题解决的一种可行方法 已有文献都是将给定的矩阵等式，看成是矩阵的线性运算与 乘法运算的恒等变形，应用可逆矩阵的重要性质 来解答，基本上没有将教材上已经介绍的矩阵多项式与问题解决相 联系。 实际上第一节给出的问题中矩阵等式都是以矩阵多项式的形式 出现的。这样可以把问题看成是由给定矩阵A的化零多项式 来确定形如A-kE的可逆性及逆阵。

定理3.1 （3.1）

证明：由多项式的导数的性质及泰勒中值定理知 （3.2）

例3.2

定理3.3

这与A-kE可逆矛盾。

定理3.4 题设同于 定理3.1且设对 的带余除法式 （3.3） 如果 ，则 可逆且 （3.4） 这里多项式 g(x) 由（3.3）确定.

证明：由带余除法的性质知（3.3）中 ，且 是多项式，这样当 时， 这说明 可逆，结论成立 。

除式为一次因式的带余除法，有更为简单“综合除法” 的形式。这样将矩阵多项式与化零矩阵等式相结合，可实 施以下的步骤： 对给定的化零矩阵等式，得相关的化零多项式 ； 由泰勒中值定理或综合除法给出 的等价表示 （3.3）； 如果 ，则 可逆，且逆阵可 由（3.1）或（3.4）确定。

例3.5 问题1.1.5中矩阵 的化零多项式为 （1） ， 由定理3.1知 可逆。 （2） 由（3.1）得

例3.6 问题1.2.1的化零多项式为 ， 从 ， 和定理3.1知 , 都 可逆。

例3.7 问题1.1.11中矩阵 的化零多项式 知对任意实数 ，总有 ，因此从定理3.1知 是可逆的，从 和 （3.1）知

问题1.1.17也可用类似的方法解决，从A 的化零多项式 知 由定理 知对任意正整数 来说 可逆，且从 和 (3.1) 知

例3.8 问题1.2.2的化零多项式 用 去除 得综合除法 因此 ，由定理3.3知 是可逆的，且 ，

例3.9设 阶矩阵 满足 （k为正整数），则 由定理3.1和 的化零多项式为 ， 知 可逆，且从（3.1）和 知

为 这样 ，所以 的化零多项式。 从 和定理3.1知 是可逆的， 由（3.1）得

例3.11 问题1.1.7： 为 实矩阵，且 证明： 是正交矩阵。 证明： 为实对称矩阵 的化零多项式， 从 和定理3.1知 可逆，且

对n阶矩阵A，若有常数a,b存在，使得 称A为由a,b所确定的二次矩阵（见[17,18]） 或 时， 当 或 即为通常的幂等矩阵或对合矩阵。

由幂等矩阵、对称矩阵的特殊结构，特别是应用的广泛， 现行的线性代数，很多将这两类矩阵作为教学内容，并 且有 定理3.5 （见[1,P110],[2,p109]等） 当 时 （3.5） 当 时 （3.6）

定理3.6 设 为 阶矩阵满足 如果 ，则 证明：由（ 3.5 ）和（ 3.6）得

应用二次矩阵与其化零多项式的性质，很容易将幂等矩 阵（算子）的性质推广到更一般的情况。

参考文献 [1].同济大学应用数学系编.线性代数（第四版），高等教育出版社，北京，2004年4月. [2].陈建龙，周建华，韩瑞珠，周后行.线性代数，科学出版社，北京，2009年1月. [3].吴赣昌.线性代数（理工类），中国人民大学出版社， 北京，2006年6月. [4].同济大学应用数学系编.线性代数.清华大学出版社，北京，2007年5月 [5].居于马，林翠琴 .线性代数学习指南，清华大学出 版社，北京 2005年9月. [6].居于马，林翠琴.线性代数简明教程，清华大学出版社，北京 2006年7月. [7].邓辉文.线性代数 线性代数简明教程，清华大学出版社，北京 2008年7月.

[8].樊复生.线性代数典型题典,东北大学出版社.沈阳，2004年3月. [9].俞正光，刘坤林，谭泽光，葛余博. 线性代数通用辅导讲义,线性代数简明教程，清华大学出版社，北京 2007年4月. [10].上海交通大学数学系.线性代数，科学出版社，北京，2007年. [11].陈维新. 线性代数简明教程（第二版），清华大学出版社，北京, 2006年1月. [12]陈怀琛， 高淑萍，杨威 .工程线性代数电子工业出版社，北京,2007年7月. [13].曹重光，于宪君，张显. 线性代数 （经管类），科学出版社，北京，2009年 [14].郝志峰，谢日瑞，方文波，汪日强.线性代数（修订版）高等教育出版社，北京,2010年1月.

[15].黄光谷，胡启旭，向晓亚，石先军. 考研数学题典,华中科技大学出版社, 武汉,2003年5月. [16].陈文灯，黄先开.考研数学复习指南（理类）,世界图书出版公司，北京 2008年2月. [17] .M. Aleksiejczyk, A. Smoktunowicz. On Properties of Quadratic Matrices. Math.Panno，2000，11 ： 239-248. [18] F. Bunger, F. Knuppel, K.Nielsen. The Product of Two Quadratic Matrice. Linear Algebra Appl，2001， 331：31-41. [19] J.H. Wang, Sums and Products of Quadratic Matrices. Linear Algebra Appl.，1995，229：127-149. [20] Zhongpeng Yang, Xiaoxia Peng, Meixiang Chen, Chunyuan Deng, J. J. Koliha, Fredholm stability results for linear combinations of m-potent operators, to appear in Operators and Matrices.

[21].黄廷祝，成孝予. 线性代数,高等教育出版社, 2009. [22].黄廷祝，成孝予. 线性代数与空间解析几何,高等教育出版社, 2008.

谢 谢！