第四章 多维随机变量及其分布

在上一章中,我们研究了单一的随机变量,引出了刻划它的概率特性的若干概念和性质，从而使描述随机现象变得清晰而简洁。但是在许多随机试验中，每次试验的结果需要同时使用几个随机变量来表达。例如，要考察一次射击的弹着点时，需要用两个量(纵坐标、横坐标)来表示。又如，在考察一个“服务台”的情况，需要同时考察每个“顾客”到达时刻、等待时间和被服务的时间，等等。

这样对于每个样本点，试验结果必须用一个随机向量 (X1(ω),X2(ω),...,Xn(ω))∈Rn 来表示。对于这样的随机向量，不仅要研究各自的特性，又要研究它们之间的各种关系，后者有时尤为重要，因此需将它们作为整体来研究。

§1 多维随机变量及其分布

前面我们讨论的随机试验中单独的一个随机变量，又称为一维随机变量；然而在许多实际问题中，常常需要同时研究一个试验中的两个甚至更多个随机变量。 例如 E：抽样调查15-18岁青少年的身高X与体重Y，以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况。

Ω X=X(ω) X(ω) ω Ω Y=Y(ω) ω Y(ω)

一、多维随机变量及其分布函数的概念 定义 如果每次试验的结果对应着一组确定的实数(ξ1,…,ξn),它们是因随机试验结果不同而变化的n个随机变量，并且对任何一组实数x1，…，xn,事件“ξ1≤xl,…,ξn≤xn”有着确定的概率，则称n个随机变量的整体(ξ1,…,ξn)为一个n维随机变量(或n维随机向量)。

F(x1，…..,xn)=P(ξ1≤x1,…,ξn≤xn) 其中（x1，…..,xn) ∈Rn 为n维随机变量(ξ1，…,ξn)的联合分布函数或分布函数。

类似于一维的场合，可以证明n维随机变量的分布函数的一些性质；

不过此时我们需要研究的不仅仅是X及Y各自的性质， 更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关系。 在这一章中，我们以后着重研究二维随机变量及其分布，更高维随机变量的情况于二维随机变量相类似。 不过此时我们需要研究的不仅仅是X及Y各自的性质， 更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关系。

因此,我们将二者作为一个整体来进行研究,记为(X,Y),称为二维随机向量。 X=X(ω) Ω X(ω) ω Y=Y(ω） Y(ω) 类似于对一维R.v.的学习，对于二维随机变量，我们也将讨论如何通过分布函数、分布律及概率密度等概念来描述其取值的概率规律性，并认识几种常见的分布。

可能取哪些值？ 取这些值的概率分布情况? 二维随机变量(X,Y)的取值可看作平面上的点 （x，y） A (a,b) 下列表示的都是随机事件： {(X,Y)=(a,b)},{X=a,Y=b} {X<a,Y≤b}, {(X,Y) D}等 研究二维R.v.的中心问题： 可能取哪些值？ 取这些值的概率分布情况?

例1 袋中2白球3黑球，从其中随机地取两次，每次取一只，在不放回抽样下，记X、Y分别为第一、第二次取到的黑球个数。 (0,0),(0,1),(1,0),(1,1) P{(X,Y)=(0,0)}= ? ? P{两次都取到白球} … …

几何意义 (X,Y)平面上的随机点。  随机点（X,Y）落在以 点(x,y)为顶点而位于该 点左下方的无穷矩形域 G内的概率。

2）0F（x，y）1,且F(+,+)=1, F(-,-)=F(-,y)=F(x,-)=0 二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)的性质 1 ) F(x,y）分别关于x和y为不减函数。 2）0F（x，y）1,且F(+,+)=1, F(-,-)=F(-,y)=F(x,-)=0 3） F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0） 即F(x,y)分别关于x和y右连续。 4) P{x1Xx2,y1Yy2}=F(x2,y2)-F(x2,y1) - F(x1,y2)+ F(x1,y1)0 (即为随机点(X,Y)落在矩形{x1Xx2,y1Yy2}中的概率)

=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)0 P(x1Xx2,y1Yy2) =F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)0

二、离散型随机变量 1、定义 若二维 R.v.(ξ,η）的所有可能的取值是有限对或可列无限对,则称（ξ,η ）是二元离散型随机变量。 中心问题：① (ξ,η)可能取哪些值？ ② 它取这些值的概率分别 为多少？

（xi,yj)

P{ξ =xi,η =yj}= pij （i，j=1,2,……） 2、二维D.R.v.（ξ，η）的分布律 表达式形式： P{ξ =xi,η =yj}= pij （i，j=1,2,……） 表格形式： η y1 　y2　 y3　．．． ξ x１　 p11 p12 p13 ．．． x２ p21 p22 p23 ．．． 满足1）

3、由分布律求联合分布函数 显然 F(x,y)=P{Xx,Yy}= 也就是把X取值中小于等于x的xi同时Y取值中小于等于y的yj所对应的所有的pij都加起来！ 你能否想象得出，二元函数F(x,y)的图形是什么样子？？

（xi,yj) (x,y)

三、二维连续型随机变量

下面主要研究概率密度函数f(x,y) 1、定义：若存在非负函数f(x,y),使对任意实数x,y,二维随机变量(X,Y)的分布函数 这是一个广义 的二次积分耶！ 则称（X，Y）是连续型二维随机变量。f(x,y)称为二维随机变量（X，Y）的概率密度函数， 也称为随机变量X和Y的联合概率密度函数。 下面主要研究概率密度函数f(x,y)

2、f(x,y)的性质： 几何解释？ 即二维随机点（X，Y）落在平面区域G内的概率P{(X,Y)∈G}之值等于以G为底,以曲面z=f（x，y）顶的曲顶柱体体积

例2 一盒圆珠笔芯，其中有3支蓝笔芯，2支红笔芯，4支黑笔芯，从中随机抽取2支，设X表示取出的蓝笔芯数，Y表示取出的红笔芯数，求(1)(X,Y)的联合分布律； （2） P{X+Y≤1}；（3）P{X+Y≤1|X=0}。 解：(1)X，Y的所有可能取值为0，1，2. P00=P{X=0，Y=0}表示取出的2支笔芯全是黑笔芯的概率。从全部9支笔芯中任取2支，有36种方法，而从4支黑笔芯中取一支共有6种方法，因而P00=6/36，类似地，可以算出其它各种情形的概率，列成表如下：

X Y 0 1 2 0 6/36 8/36 1/36 1 12/36 6/36 0 2 3/36 0 0 (2) P{X+Y≤1}=P{X=0,Y=0}+P{X=0,Y=1} +P{X=1，Y=0} =P00+P01+P10 =6/36+8/36+12/36 =13/18

(3)P{X+Y≤1|X=0}= P{X+Y≤1,X=0}/P{X=0} =(P{X=0,Y=0}+P{X=0,Y=1})/P{X=0} 而P{X=0}=P{X=0，Y=0}+P{X=0，Y=1} +P{X=0，Y=2} =6/36+8/36+1/36=5/12 所以P{X+Y≤1|X=0}= (7/18)/(5/12)=14/15

例3 设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为 其中A，B，C为常数，试求 （1） A，B，C的值； （2） （X，Y）的联合密度函数； 解：由联合分布函数的性质，有

(2) (X,Y)的联合概率密度函数为

例4 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为 其中A为常数,试求(1)A的值；(2)(X,Y)的联合分布函数；(3)P{X+Y≤2}；(4)P{X<Y}.

例5 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为 Y=x2 其中k为常数,试求(1)k的值； (2）P{Y<X/2}. D D0 X 解(1)如图仅在区域D上有

(2)将（X，Y）看成是平面上随机点的坐标，事件{Y<X/2}={(X,Y)∈D0} ，其中D0是直线y=x/2与上面区域D相交的下方的有界区域。因此，有