Tan 微積分 2 極限 © 2011 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be scanned, copied or duplicated, or posted to a publicly accessible website, in whole or in part. 1

2.4 連續函數 連續函數 函數 s = f (t) = 4t 2 0  t  30 的圖形表示磁浮列車 在任一時間t 的位置 （2.1 節所討論的）， 其圖形展示於圖2.23。 圖2.23 s = f(t) = 4t2 表示磁浮列車在任一時間t 的位置 2 Tan/微積分-Ch2.4-p80 2

連續函數 觀察得知，此曲線沒有缺口或突然跳躍處。它告訴我們磁浮列車的位置隨著時間t 連續變化—它不可能瞬間不見，也不可能跳過延伸的軌道後再出現於其他地方。函數s是個連續函數（continuous function）的例子。 注意當畫此函數時，我們的筆都不用離開紙面。 Tan/微積分-Ch2.4-p80

連續函數 在實際應用上也會出現函數為不連續discontinuous）的情形。譬如：Heaviside 函數H 定義為 由H的圖形得知， 跳躍（圖2.24）。 圖2.24 Heaviside 函數在t = 0 時不連續 Tan/微積分-Ch2.4-p80

連續函數 假如把H 想成電路線的電流，則t = 0 表示在那時候電源被打開。 函數H 在0 處為不連續。 Tan/微積分-Ch2.4-p80

在一點的連續性 現在給連續一個正式的定義。 假如x = a + h 且注意到，當h 逼近0，x 逼近a，則得知f 在點a 連續的條件等價於 定義 在一點的連續性 令函數f 定義在含a 的開區間。假如 (1) 則稱f 在點a 連續（f is continuous at a）。 Tan/微積分-Ch2.4-p80~81

在一點的連續性 簡言之，當x 逼近a，f (x) 越來越接近f (a)，則稱f 在點a 連續。等價於假如x接近a，可得f (x) 接近f (a)，則稱f 在點a連續（圖2.25）。 圖2.25 當x 逼近a，f (x) 越來越接近f (a) Tan/微積分-Ch2.4-p81

在一點的連續性 假如f 定義在所有接近a 的點x 上，但是它並不滿足式(1)，則f 在點a 為不連續的（discontinuous at a）或f 在a 處有不連續點（discontinuity at a）。 Tan/微積分-Ch2.4-p81

例題 1 運用圖2.26 的函數圖形判斷函數f 是否在0, 1, 2, 3, 4 和5處連續。 圖2.26 f 的圖形 Tan/微積分-Ch2.4-p81

例題 1－解 因為 所以函數f 在0 連續。因為f (1)沒有定義，所以f 在1 不連續。因為 所以f 在2 不連續。因為 f 在3 連續。 Tan/微積分-Ch2.4-p81~82

例題 1－解 接著看到limx→4 f (x)不存在，所以f 在4 不連續。 cont’d 接著看到limx→4 f (x)不存在，所以f 在4 不連續。 最後limx→5 f (x) 因為不存在，所以f 在5 不連續。 Tan/微積分-Ch2.4-p82

在一點的連續性 參考例題1 的函數f。雖然f 在點1 和2 的極限存在，但是卻不連續。我們稱f 在那裡為可移除的不連續（removable discontinuity）。因為f 可在那裡定義或重新定義，使得f 變成連續。 譬如：假如f(1) = 1，則f 在點1 連續；假如重新定義f (2) = 2，則f 也變成在點2連續。 Tan/微積分-Ch2.4-p82

在一點的連續性 f 在點4 不連續，稱為跳躍不連續（jump discontinuity），而f在點4 不連續，稱為無窮不連續（infinite discontinuity）。 因為極限在跳躍點和無窮點是不連續的，毫無疑問地，不連續是無法透過函數在那裡給定義或重新定義來移除的。 Tan/微積分-Ch2.4-p82

端點連續 當定義連續時，我們假設f (x)在所有接近a 的點x 都有定義。 有時f (x)只定義在那些大於或等於a 的點x，或那些小於或等於a的點x。 譬如： 為定義在x  0，和 為定義在x  3。下面的定義涵蓋這些情形。 Tan/微積分-Ch2.4-p82

端點連續 定義 左連續和右連續 　　假如 (3a) 則稱函數f 在點a 右連續（f is continuous from the right at a）。 (3b) 則稱函數f 在點a 左連續（f is continuous from the left at a）（圖2.28）。 圖2.28 (a) f 在點a 右連續 (b) f 在點a 左連續 Tan/微積分-Ch2.4-p83

例題 3 Heaviside 函數 考慮Heaviside 函數H， 判斷f 在點0 是右連續且／或左連續。 解： 因為 且等於H(0) = 1，所以H 在點0 是右連續。 Tan/微積分-Ch2.4-p83

例題 3 Heaviside 函數－解 接著因為 且不等於H(0) = 1， 所以H 在點0 不是 左連續（圖2.29）。 圖2.29 Tan/微積分-Ch2.4-p83

區間上的連續 可能你已經注意到連續是「區域」性的概念；亦即我們稱f 在一點上連續。下面的定義告訴我們函數在區間上連續的意義。 定義 在開區間和閉區間上的連續 假如函數f 在(a, b) 區間內的每個點都連續，則稱f 在開區 間(a, b) 連續（f is continuous on an open interval）。假如函數f 在(a, b) 連續且也在點a 右連續和在點b 左連續，則稱f 在閉區間[a, b] 連續（f is continuous on a closed interval）。假如函數f 在(a, b) 連續且f 分別只在點a 右連續或只在點b 左連續，則稱函數f 在半開區間[a, b) 或(a, b] 連續（f is continuous on a half-open interval）。 Tan/微積分-Ch2.4-p83

例題 4 證明函數 在閉區間[– 2, 2] 連續。 解： 首先證明f 在(– 2, 2) 連續。令a 為(– 2, 2) 內的任意點。 證明函數　　　　 在閉區間[– 2, 2] 連續。 解： 首先證明f 在(– 2, 2) 連續。令a 為(– 2, 2) 內的任意點。 則用極限法則得到 即得證。 Tan/微積分-Ch2.4-p84

例題 4－解 接著證明f 在– 2 右連續和在2 左連續。再次運用極限的特性得到 和 即得證。 Tan/微積分-Ch2.4-p84

例題 4－解 f 的圖形展示於圖2.30。 圖2.30 函數 在[– 2, 2] 連續 Tan/微積分-Ch2.4-p84

區間上的連續 定理1 相加、相乘和相除後的連續 定理2 多項式和有理函數的連續 假如函數f 和g 在點a 連續，則下列函數也在點a 連續。 定理1 相加、相乘和相除後的連續 假如函數f 和g 在點a 連續，則下列函數也在點a 連續。 a. f ± g。 b. fg。 c. cf，其中c 為任意常數。 d. ，若g (a) ≠ 0 。 定理2 多項式和有理函數的連續 a. 多項式在( ∞ ,∞) 連續。 b. 有理函數在它的定義域連續。 Tan/微積分-Ch2.4-p84~85

區間上的連續 檢驗正弦和餘弦函數的圖形，可知它們在( ∞, ∞) 連續。 因為其他的三角函數是由這兩個函數所組成，所以其他的三角函數的連續性可由它們來決定。 定理3 三角函數的連續 函數sin x, cos x, tan x, sec x, csc x 和cot x 分別在它們的定義域連續。 Tan/微積分-Ch2.4-p85

區間上的連續 譬如：因為tan x = (sin x)/(cos x)，可知除使cos x = 0 的x 外，tan x 處處連續；亦即除/2 + n外，其中n 為整數。換言之，f (x) = tan x 在 連續。 Tan/微積分-Ch2.4-p85

合成函數的連續性 下面的定理說明如何求合成函數f  g 的極限，其中f 連續。 定理4 合成函數的極限 直覺上，定理4 似乎是合理的。因為當x 逼近a，g (x) 逼近L。因為f 在L 連續，只要g (x) 接近L，f (g (x)) 就接近f (L)，即為定理所陳述的。 定理4 合成函數的極限 假如函數f 在L 連續且limxa g (x) = L ，則 Tan/微積分-Ch2.4-p86

合成函數的連續性 由定理4 得知，連續函數的合成仍然為連續函數。 定理5 合成函數的連續性 定理5 合成函數的連續性 假如g 在點a 連續且f 在g (a) 處連續，則合成函數f  g 在 點a 連續。 Tan/微積分-Ch2.4-p86

例題 7 a. 證明h(x) = | x | 為處處連續。 b. 應用(a)的結果，求 解： a. 對於任意x， ，我們可將h 看成h = f  g，其中g(x) = x2且 。 現在g 在( ∞, ∞ ) 連續，且對所有x 在(∞, ∞)，g(x)  0。 Tan/微積分-Ch2.4-p86~87

例題 7－解 同時f 在[0, ∞) 連續。 由定理5 得知h = f  g 在( ∞, ∞)連續。 b. 由(a) 絕對值函數的連續性和定理4，得到 Tan/微積分-Ch2.4-p87

中間值定理 由磁浮列車在平直延伸的單軌上移動的模型，得知列車不可能瞬間消失且不可能跳躍式地移動。 Tan/微積分-Ch2.4-p87

中間值定理 換言之，列車在到達s1 和s2 之前不可能沒有經過s1 和s2 之間的任何位置（圖2.32）。 為了用數學方式描述此事實，記得磁浮列車的位置函數與時間的關係為 s = f (t) = 4t 2 0  t  30 圖2.32 磁浮列車位置 Tan/微積分-Ch2.4-p87~88

中間值定理 假設磁浮列車t1 的位置為s1 且t2 的位置為s2（圖2.33） 圖2.33 若 ，則至少有 ，其中 ，使得 若 ，則至少有 ，其中 ，使得 Tan/微積分-Ch2.4-p88

中間值定理 則若 為磁浮列車所經過在s1 和s2 之間的位置，則至少有一時間 在t1 和t2之間，使得列車的位置為 ；亦即 。 這個討論帶出了中間值定理的主旨。 Tan/微積分-Ch2.4-p88

若f 在[a, b] 連續且f (a)  M  f (b)，則最少存在數c，其中a  c  b，使得f (c) = M 中間值定理 定理6 中間值定理 假如函數f 在閉區間[a, b] 連續且M 為介於f (a) 和f (b) 之間的任意數，則[a, b] 區間內至少存在數c，使得f (c) = M（圖2.34）。 (a) f (c) = M (b) f (c1) = f (c2) = f (c3) = M 圖2.34 若f 在[a, b] 連續且f (a)  M  f (b)，則最少存在數c，其中a  c  b，使得f (c) = M Tan/微積分-Ch2.4-p88

中間值定理 為了說明中間值定理，再次觀察磁浮列車的例子（見2.1 節圖2.1）。 列車起始位置為f (0) = 0 且其試跑終點位置為f (30) = 3600。 圖2.1 一個磁浮列車沿著高架單軌鐵道移動 Tan/微積分-Ch2.4-p88

中間值定理 此外，函數f 在[0, 30] 連續。故中間值定理保證如果隨意取介於0和3600 之間的數（例如400）為磁浮列車的位置，則至少存在 介於0 和30 之間，使得列車位 。 為求 ，我們得解方程式 ，或 得到 （注意 必須介於0 和30 之間）。 Tan/微積分-Ch2.4-p88~89

中間值定理 下個定理是中間值定理的直接結果。它不僅說明函數f 的零點存在（方程式f (x) = 0 的根），且提供逼近它的基礎。 Tan/微積分-Ch2.4-p89

假如f (a) 和f (b) 不同號，則最少存在一個數c，其中a < c < b，使得f (c) = 0 中間值定理 定理7 連續函數的零點存在 假如函數f 在閉區間[a, b] 連續且f (a) 和f (b) 不同號，則方程式f (x) = 0 至少有一解落在(a, b) 區間；亦即，函數f 在(a, b)區間內至少有一個零點（圖2.35）。 圖2.35 假如f (a) 和f (b) 不同號，則最少存在一個數c，其中a < c < b，使得f (c) = 0 Tan/微積分-Ch2.4-p89

例題 9 令 f (x) = x3 + x – 1。 因為f 為多項式，所以f 處處連續。 注意f (0) = –1 和f (1) = 1，定理7 保證方程式f (x) = 0 至少有一根落在(0, 1)。 再次應用定理7，可更準確地找到它的根，如下：求f (x)在[0, 1] 中間點的值。 因此 f (0.5) = –0.375 Tan/微積分-Ch2.4-p89

例題 9 因為f (0.5) < 0 且f (1) > 0，由定理7 得知有一根落在(0.5, 1)。 重複此程序：求f (x) 在[0.5, 1] 中間點的值，即 所以 f (0.75) = 0.171875 因為f (0.5) < 0 和f (0.75) > 0，由定理7 得知有一根落在(0.5, 0.75)。這些步驟可重複。 Tan/微積分-Ch2.4-p89~90

例題 9 表2.5 是由九個計算步驟得到的結果。 由表2.5得知它的根大約為0.68，準確度為兩位小數點。 持續此步驟夠多次後， 我們可隨意地求得想要 的準確度的根。 表2.5 Tan/微積分-Ch2.4-p90