福建省中、高考学科教师“说题”视频资源征集评选活动 数学说题 用函数观点看方程（组）与不等式 厦门五中 郭美颜

试题来源 试题来源 试题背景 考点分析 解题思路 选自2013年厦门市中考数学试题第22题.

试题背景 试题来源 试题背景 考点分析 解题思路 人民教育出版社2008年3月第2版八年级上册第14 章习题14.3拓广探索第11题.

试题背景 试题来源 试题背景 考点分析 解题思路 这道考题与教材习题的背景完全一样，只是改变 了条件和问答方式。

考点分析 考查的知识点：本题所涉及的知识点是一次函数 的图象及性质、方程与不等式. 考查的数学能力：本题以实际问题为背景，考查 试题来源 试题背景 考点分析 解题思路 考查的知识点：本题所涉及的知识点是一次函数 的图象及性质、方程与不等式. 考查的数学能力：本题以实际问题为背景，考查 学生能否运用一次函数的图象和性质解决实际问 题的能力.其实质上是考查学生能否将图形信息 转化成用数学符号表达的能力. 考查的数学思想方法：数形结合思想方法、函数 与方程思想方法、分类讨论思想方法.

解题思路 解题思路 试题背景 试题来源 考点分析 题意分析： 图象上每个点的横坐标表示某一时刻x(单位:分)，纵坐标表示某一时刻容器中的水量y (单位:升)． 从某时刻开始的3分钟内只进水不出水．图象中可以直观看出： 在 0—3分钟时，容器内的水量由0升逐渐增加到15升(水量的最大值); 在随后的9分钟内即进水又出水．图象中可以直观看出： 在3—12分钟时，容器内的水量由15升逐渐减少到0升（显然，出水量大于进水量）； 当容器内的水量大于5升时，求时间 的取值范围. 图象中可以直观看出：就是求图象上位于直线y=5 的上方部分的点的横坐标x的取值范围．

解题思路 解题思路 试题背景 试题来源 考点分析 解题思路分析： 图象是由两条线段组成的一条折线，对变量y与x不能用同一个解析式表示。因此，两条线段对应着两个函数，且都是一次函数．分两种情况讨论： （1）当0 ≤ x ≤3时，设y= Kx，把点（3，15）代入求得： K=5 ，则此时y与x 之间的关系式为y= 5x ． 方法1：当y ＞5时， 5x ＞5，解得x ＞1 ． ∴ 1＜x ≤3 ． 方法2：∵ K=5 ＞0， ∴ y随x增大而增大 又∵当y =5时，x=5， ∴ x ＞1 ． 从图象中可以直观看出： 就是求函数y= 5x（ 0 ≤ x ≤3 ）的图象上纵坐标大于5的点的横坐标x的取值范围．

解题思路 解题思路 试题背景 试题来源 考点分析 （2）当3＜x ≤12时，设y= ax+b，把点（3,15）和点（12,0） 代入求得： a= ，b=20 则此时y与x 之间的关系式为y= ． 方法1：当y ＞5时， ＞5，解得x ＜9 ． ∴ 3＜ x ＜9 方法2：∵ K= ＜ 0， ∴ y随x增大减小 又∵当y =5时，x=9， ∴ 3＜ x ＜9 ． ∴ 1＜ x ＜9 ． 综合（1）（2）所述：当容器内的水量大于5升时， 1＜ x ＜9. 从图象中可以直观看出： 就是求函数 （3＜x ≤12 ）的图象上纵坐标大于5的点的横坐标x的取值范围．

解题方法归纳 本题的解法有两种，第一种方法可以利用不等式组的方法求解，学生较易理解。但第二种方法更具一般性，它需要学生用函数观点来分析问题和解决问题，深刻理解一次函数与不等式之间的关系。所以它的意义不单纯是求解，而是为学生今后高中的函数学习打下良好的基础,构建和发展知识间的内在联系。

延伸与变式 变 背 景 本题只是改变了背景与问题,其实质上考查的知识点和能力并没有改变.解决问题的方法也与本次中考试题相类似. 某药品是一种抗菌素新药，经过多年的动物实验之后,首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度 y（微克/毫升)与服药后时间x(时)之间的函数关系如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式. （2）若血液中药物浓度不小于4(微克/毫升)时为治疗有效期， 求治疗有效期有多少小时？. 本题只是改变了背景与问题,其实质上考查的知识点和能力并没有改变.解决问题的方法也与本次中考试题相类似.

变式分析 变 式 题 本题改变了背景,同时将后面2小时后的函数改为反比例函数,其实考查的知识点与思想方法是相同的,但解题方法中的不等式方法不能用,只能用函数的性质来解决问题.

拓展延伸 延 伸 题 本题改变了背景, 本质上考查的也是相同的知识点,只是对于函数在40天后的关系式不能从图象上直接用待定系数法求出,而应依据题意求,难度上有所提升.

拓展延伸 延 伸 题

反思及感悟 1．让学生学会用变化和对应的眼光分析、解决问题，是初高中衔接的关键，也为学生的可持续学习打下良好的基础. 2．作为教师应深刻领会教材的意图，把握《用函数观点看方程（组）与不等式》这一章节教学内容的尺度.应加强知识间的横向和纵向的联系，发挥函数对其他相关内容的统领作用，把一次函数与学过的方程、不等式等统一起来，使得新旧知识融会贯通，从而进一步体会函数概念的重要性．

——毕达哥拉斯 在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么！ 3．教学中应着力培养学生良好的思维品质，提高学生灵活地分析解决问题的能力，而不是沉溺于题海．数学题目千变万化，可万变不离其宗，在对一道题目的理解上做到知其然，且知其所以然，就可以触类旁通，从而达到“举一反三”的目的． 因此，应充分挖掘课本习题的潜在功能，通过变式训练或一题多解的训练，让学生走出题海，减轻课业负担． 在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么！ ——毕达哥拉斯

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