14.3.2公式法分解因式 1 .平方差公式 大井镇第二中学 高德金
学习目标:掌握使用平方差公式进行因式分解的方法,并能熟练使用平方差公式进行因式分解. 学习重点:掌握可用平方差公式分解因式的特点,并能使用平方差公式分解因式。 学习难点:使学生能把多项式转换成符合平方差公式的形式进行因式分解。
我的囍报,我设计! 正方形的囍报,用金色做装饰,其中,大正方形的边长为1.05米,小正方形的边长为0.85米,你能快速算出金色部分的面积吗? 囍报 会泽县大井镇第二中学2013年中考再创佳绩,获全县二类片区综合考评一等奖! 1.052-0.852 (怎样算?)
知识回顾 1、什么叫多项式分解因式? 把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做多项式的分解因式. 2、分解因式和整式乘法有何关系? 多项式的分解因式与整式乘法互为逆运算. 3、已学过哪一种分解因式的方法? 提公因式法
计算: 你能对以下多项式进行因式分解吗? (1) x2-25 =(x+5)( x-5) (2)a2-b2 = (a+b)( a-b) 知识探究 计算: (1)(x+5)(x-5) =x2-25 (2)(a+b)(a-b) =a2-b2 你能对以下多项式进行因式分解吗? (1) x2-25 =(x+5)( x-5) (2)a2-b2 = (a+b)( a-b)
) )( ( b a - + = 探究结论 平方差公式: 两个数的和与这两个数的差的乘积,等于这两个数的平方差。 两数之和乘以差, 记为: 整式乘法 ) )( ( 2 b a - + = 两个数的和与这两个数的差的乘积,等于这两个数的平方差。 两数之和乘以差, 结果两数平方差。 记为:
b a - ) )( ( b a - + = 探究结论 平方差公式反过来: 两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 2 b a - ) )( ( b a - + = 因式分解 两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 两项式,平方差,两式之和乘以差, 无差交换前后项,奇迹出现抓住它。 应用:
典例分析 分解因式: (1)4x2–9 =(2x)2-32 =(2x+3)(2x-3) (2)(x+p)2 –(x+q)2 =[(x+p)+(x+q)][(x+p)–(x+q)] =(2x+p+q)(p–q)
试一试 判断下列各式是否可以运用平方差公式进行因式分解 ① x2 + 4 ② – 4x2 + y2 ③ x4 – 1 ④ x2 – x6 不可以 可以 可以 可以
试一试 尝试练习(对下列各式因式分解): ① a2 - 9 = ___________________ ② 49 - n2 = __________________ ③ s2 - 4t2 = ________________ ④ 100x2 - 9y2 =_______________ (a+3)(a–3) (7+n)(7–n) (s+2t)(s–2t) (10x+3y)(10x–3y)
例题精讲 1. a3b-ab 分解因式 =ab (a2-1) = ab (a2_12) = ab (a+1)(a-1) 2. x4-y4 分解因式要注意什么问题? 1. a3b-ab =ab (a2-1) = ab (a2_12) = ab (a+1)(a-1) 2. x4-y4 =(x2)2-(y2)2 =(x2+y2) (x2-y2) =(x2+y2)(x+y)(x-y)
做一做 把下列各式分解因式: (1) ax4 – a5 =a(x2+a2)(x+a) (x-a) (2) 2xy2 - 50x =a(x4-a4) =a(x2+a2)(x2-a2) =2x(y2-25) =2x(y+5)(y - 5)
用平方差公式进行简便计算: 1) 38²-37² 2) 213²-87² 3) 229²-171² 4) 91×89 1) 38²-37² 2) 213²-87² 3) 229²-171² 4) 91×89 解:1) 38²-37² =(38+37)(38-37)=75 解:2) 213²-87² =(213+87)(213-87) =300×126=37800
解:4) 91×89 =(90+1)(90-1) =90²-1=8100-1=8099 解:3) 229²-171² =(229+171)(229-171)=400×58=23200
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1.052-0.852 (怎样算?) 【方法一】1.052-0.852 =1.1025-0.7225=0.38 【方法二】1.052-0.852 =(1.05+0.85)(1.05-0.85) =1.9 0.2=0.38 【方法二较为简便】
课堂练习 1、把下列各式分解因式: (1)18a2-50 (2)-3ax2+3ay4 (3)(a+b)2-4a2 2、计算:25×1012-992×25 3、在实数范围内分解因式: ①x2-3 ②3x2-5
想一想? 4. 对于任意的自然数n, (n+7)2-(n-5)2能被24整除吗? 为什么?
这节课你有何收获? 1.具有的两式(或)两数平方差形式的 多项式可运用平方差公式分解因式。 2.公式a² - b² = (a+b)(a-b)中的字母 a , b可 以是数,也可以是单项式或多项式。 3.若多项式中有公因式,应先提取公因式, 然后再进一步分解因式。 4.分解因式要彻底。
) )( ( b a - + = 这节课你有何收获? 平方差公式: 两个数的和与这两个数的差的乘积,等于这两个数的平方差。 两数之和乘以差, 整式乘法 ) )( ( 2 b a - + = 两个数的和与这两个数的差的乘积,等于这两个数的平方差。 两数之和乘以差, 结果两数平方差。 记为:
b a - ) )( ( b a - + = 这节课你有何收获? 平方差公式反过来: 两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 2 b a - ) )( ( b a - + = 因式分解 两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 两项式,平方差,两式之和乘以差, 无差交换前后项,奇迹出现抓住它。 应用:
作业: 1、教科书P119—120习题14.3第2题。 2、分解因式: 3、化简: 4、在实数范围内分解因式:
再见
课后检测: 【例题】 【例1】把下列各式分解因式: (1)25-16x2. (2)9a2-b2. 【解析】 (1)25-16x2 =(3a+b)(3a-b) =(5+4x)(5-4x).
课后检测: 【例2】把下列各式分解因式: (1)9(m+n)2-(m-n)2. (2)2x3-8x. 【解析】 =[3(m +n)+(m-n)][3(m +n)-(m-n)] =(3 m +3n+ m-n)(3 m +3n-m +n) =(4 m +2n)(2 m +4n) =4(2 m +n)(m +2n).
有公因式时,先提公因式,再考虑用公式. (2)2x3-8x. (2)2x3-8x =2x(x2-4) =2x(x+2)(x-2).
课后检测: 【跟踪训练】 1.下列各式能否用平方差公式分解?如果能分解,分解成什么? ①x2+y2 ② x2-y2 ③ -x2+y2 不能 能,x2-y2=(x+y)(x-y) 能,-x2+y2=y2-x2=(y+x)(y-x) 不能
课后检测: 2.判断下列分解因式是否正确. (1)(a+b)2-c2=a2+2ab+b2-c2. (2)a4-1=(a2)2-1=(a2+1)·(a2-1). 【解析】(1)不正确. 本题错在对分解因式的概念不清,左边是多项式的形式,右边应是整式乘积的形式,但(1)中右边还是多项式的形式,因此,最终结果是未对所给多项式进行因式分解.
课后检测: 2.判断下列分解因式是否正确. (1)(a+b)2-c2=a2+2ab+b2-c2. (2)a4-1=(a2)2-1=(a2+1)·(a2-1). 【解析】 (2)不正确.错误原因是因式分解不彻底,因为a2-1还能继续分解成(a+1)(a-1).应为:a4-1=(a2+1)(a2-1) =(a2+1)(a+1)(a-1).
课后检测: 3.分解因式: (1)x4-y4. (2)a3b-ab. 【解析】 (1)x4-y4 =(x2)2-(y2)2 分解因式,必须进行到每一个多项式都不能再分解为止. =(x2+y2)(x2-y2) =(x2+y2)(x+y)(x-y). (2)a3b-ab=ab(a2-1) =ab(a+1)(a-1).
课后检测: 1.(杭州·中考)分解因式 m3 - 4m = . 【解析】m3 – 4m =m(m+2)(m-2). 答案:m(m+2)(m-2)
课后检测: 2.(江西·中考)因式分解:2a2-8=___________. 【解析】 原式= 答案:
课后检测: 3.(珠海·中考)因式分解: =______. 【解析】先提公因式,再利用平方差公式分解因式;即ax2-ay2=a(x2-y2) =a(x+y)(x-y) 答案:a(x+y)(x-y)
课后检测: 5.(盐城·中考)因式分解: =______. 【解析】 原式=(x+3)(x-3). 答案:(x+3)(x-3) 【解析】x3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1). 答案: x(x+1)(x-1) 5.(盐城·中考)因式分解: =______. 【解析】 原式=(x+3)(x-3). 答案:(x+3)(x-3)
课后检测: 6.利用因式分解计算: 1002-992+982-972+962-952+… +22-12. 【解析】 原式=(100+99)(100-9)+(98+97)(98-97)+… +(2+1)(2-1) =199+195+191+… +3 =5 050.