14.3.2公式法分解因式 1 .平方差公式 大井镇第二中学 高德金

学习目标：掌握使用平方差公式进行因式分解的方法，并能熟练使用平方差公式进行因式分解. 学习重点：掌握可用平方差公式分解因式的特点，并能使用平方差公式分解因式。 学习难点：使学生能把多项式转换成符合平方差公式的形式进行因式分解。

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知识回顾 1、什么叫多项式分解因式? 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的分解因式. 2、分解因式和整式乘法有何关系? 多项式的分解因式与整式乘法互为逆运算. 3、已学过哪一种分解因式的方法? 提公因式法

计算： 你能对以下多项式进行因式分解吗？ （1） x2-25 =(x+5)( x-5） （2）a2-b2 = (a+b)( a-b） 知识探究 计算： （1）（x+5)(x-5) =x2-25 （2）（a+b)(a-b) =a2-b2 你能对以下多项式进行因式分解吗？ （1） x2-25 =(x+5)( x-5） （2）a2-b2 = (a+b)( a-b）

) )( ( b a - + = 探究结论 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差。 两数之和乘以差， 记为： 整式乘法 ) )( ( 2 b a - + = 两个数的和与这两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差。 两数之和乘以差， 结果两数平方差。 记为：

b a - ) )( ( b a - + = 探究结论 平方差公式反过来： 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 2 b a - ) )( ( b a - + = 因式分解 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 两项式，平方差，两式之和乘以差， 无差交换前后项，奇迹出现抓住它。 应用：

典例分析 分解因式: （1）4x2–9 =(2x)2-32 =(2x+3)(2x-3) (2)(x+p)2 –(x+q)2 =[(x+p)+(x+q)][(x+p)–(x+q)] =(2x+p+q)(p–q)

试一试 判断下列各式是否可以运用平方差公式进行因式分解 ① x2 + 4 ② – 4x2 + y2 ③ x4 – 1 ④ x2 – x6 不可以 可以 可以 可以

试一试 尝试练习(对下列各式因式分解)： ① a2 - 9 = ___________________ ② 49 - n2 = __________________ ③ s2 - 4t2 = ________________ ④ 100x2 - 9y2 =_______________ (a+3)(a–3) (7+n)(7–n) (s+2t)(s–2t) (10x+3y)(10x–3y)

例题精讲 1. a3b-ab 分解因式 =ab (a2-1) = ab (a2_12) = ab (a+1)(a-1) 2. x4-y4 分解因式要注意什么问题？ 1. a3b-ab =ab (a2-1) = ab (a2_12) = ab (a+1)(a-1) 2. x4-y4 =(x2)2-(y2)2 =(x2+y2) (x2-y2) =(x2+y2)(x+y)(x-y)

做一做 把下列各式分解因式： (1) ax4 – a5 =a(x2+a2)(x+a) (x-a) (2) 2xy2 - 50x =a(x4-a4) =a(x2+a2)(x2-a2) =2x(y2-25) =2x(y+5)(y - 5)

用平方差公式进行简便计算: 1) 38²-37² 2) 213²-87² 3) 229²-171² 4) 91×89 1) 38²-37² 2) 213²-87² 3) 229²-171² 4) 91×89 解：1） 38²-37² =（38+37）（38-37）=75 解：2) 213²-87² =(213+87)(213-87) =300×126=37800

解：4） 91×89 =（90+1）（90-1） =90²-1=8100-1=8099 解：3） 229²-171² =（229+171）（229-171）=400×58=23200

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1.052-0.852 （怎样算？） 【方法一】1.052-0.852 =1.1025-0.7225=0.38 【方法二】1.052-0.852 =（1.05+0.85）（1.05-0.85） =1.9 0.2=0.38 【方法二较为简便】

课堂练习 1、把下列各式分解因式: (1)18a2-50 (2)-3ax2+3ay4 (3)(a+b)2-4a2 2、计算：25×1012－992×25 3、在实数范围内分解因式： ①x2-3 ②3x2-5

想一想？ 4. 对于任意的自然数n， (n+7)2-(n－5)2能被24整除吗? 为什么?

这节课你有何收获？ 1.具有的两式（或）两数平方差形式的 多项式可运用平方差公式分解因式。 2.公式a² - b² = (a+b)(a-b)中的字母 a , b可 以是数，也可以是单项式或多项式。 3.若多项式中有公因式，应先提取公因式， 然后再进一步分解因式。 4.分解因式要彻底。

) )( ( b a - + = 这节课你有何收获？ 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差。 两数之和乘以差， 整式乘法 ) )( ( 2 b a - + = 两个数的和与这两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差。 两数之和乘以差， 结果两数平方差。 记为：

b a - ) )( ( b a - + = 这节课你有何收获？ 平方差公式反过来： 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 2 b a - ) )( ( b a - + = 因式分解 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 两项式，平方差，两式之和乘以差， 无差交换前后项，奇迹出现抓住它。 应用：

作业： 1、教科书P119—120习题14.3第2题。 2、分解因式: 3、化简： 4、在实数范围内分解因式：

再见

课后检测： 【例题】 【例1】把下列各式分解因式： （1）25－16x2. （2）9a2－b2. 【解析】 （1）25－16x2 =（3a+b)(3a－b） =（5+4x)(5－4x）.

课后检测： 【例2】把下列各式分解因式: （1）9（m+n）2－（m－n）2. （2）2x3－8x. 【解析】 =[3(m +n)+(m－n)][3(m +n)－(m－n)] =（3 m +3n+ m－n)(3 m +3n－m +n） =（4 m +2n)(2 m +4n） =4（2 m +n)(m +2n）.

有公因式时，先提公因式，再考虑用公式. （2）2x3－8x. （2）2x3－8x =2x（x2－4） =2x（x+2)(x－2）.

课后检测： 【跟踪训练】 1.下列各式能否用平方差公式分解？如果能分解，分解成什么？ ①x2+y2 ② x2-y2 ③ -x2+y2 不能 能，x2-y2=(x+y)(x-y) 能，-x2+y2=y2-x2=(y+x)(y-x) 不能

课后检测： 2.判断下列分解因式是否正确. （1）（a+b）2－c2=a2+2ab+b2－c2. （2）a4－1=（a2）2－1=（a2+1)·(a2－1). 【解析】（1）不正确. 本题错在对分解因式的概念不清，左边是多项式的形式，右边应是整式乘积的形式，但（1）中右边还是多项式的形式，因此，最终结果是未对所给多项式进行因式分解.

课后检测： 2.判断下列分解因式是否正确. （1）（a+b）2－c2=a2+2ab+b2－c2. （2）a4－1=（a2）2－1=（a2+1)·(a2－1). 【解析】 （2）不正确.错误原因是因式分解不彻底，因为a2－1还能继续分解成（a+1）（a－1）.应为：a4－1=（a2+1）（a2－1） =（a2+1）（a+1）（a－1）.

课后检测： 3.分解因式： （1）x4-y4. （2）a3b-ab. 【解析】 (1)x4-y4 =（x2)2-(y2)2 分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止. =(x2+y2)(x2-y2) =(x2+y2)(x+y)(x-y). (2)a3b-ab=ab(a2-1) =ab(a+1)(a-1).

课后检测： 1.（杭州·中考）分解因式 m3 - 4m = . 【解析】m3 – 4m =m(m+2)(m-2). 答案：m(m+2)(m-2)

课后检测： 2.(江西·中考)因式分解:2a2－8＝___________. 【解析】 原式= 答案：

课后检测： 3.(珠海·中考)因式分解: =______. 【解析】先提公因式，再利用平方差公式分解因式；即ax2-ay2=a（x2－y2） =a（x+y）（x－y） 答案:a(x+y)(x－y)

课后检测： 5.（盐城·中考）因式分解: =______. 【解析】 原式=（x+3）(x-3). 答案:（x+3）(x-3) 【解析】x3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1). 答案: x(x+1)(x-1) 5.（盐城·中考）因式分解: =______. 【解析】 原式=（x+3）(x-3). 答案:（x+3）(x-3)

课后检测： 6.利用因式分解计算： 1002-992+982-972+962-952+… +22-12. 【解析】 原式=（100+99)(100-9)+(98+97)(98-97）+… +(2+1)(2-1) =199+195+191+… +3 =5 050.