3.7 切线长定理

1.理解切线长的概念，掌握切线长定理． 2.学会运用切线长定理解有关问题． 3．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想．

如下左图，借助三角板，我们可以画出PA是⊙O的切线. 1.如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？ 如下左图，借助三角板，我们可以画出PA是⊙O的切线. 2.这样的切线能画出几条？ 3.如果∠P=50°,求∠AOB的度数. B A 130° O P 50°

. 如何用圆规和直尺 作出这两条 A 切线呢？ P O B 思考：已画出切线PA,PB，A,B为切点，则∠OAP=90°, 连接OP，可知A,B 除了在⊙O上，还在怎样的圆上?

A · P O O B

切线长概念 过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长. 切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？ A O · P B 切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？

A B 比一比： 切线与切线长 O P 切线和切线长是两个不同的概念： 1.切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.

折一折 A 1 P O 2 B 思考：已知⊙O切线PA，PB，A，B为切点，把圆沿着直线OP对折,你能发现什么?

证一证 A P O B 请证明你所发现的结论. PA=PB ∠OPA=∠OPB 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点， ∴OA⊥PA，OB⊥PB.即∠OAP=∠OBP=90°， ∵ OA=OB，OP=OP， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB， ∠OPA=∠OPB.

A O P B 切线长定理 过圆外一点，所画的圆的两条切线的长相等. 几何语言: ∵PA，PB分别切⊙O于A，B，∴PA=PB,OP平分∠APB.

PA =PB 反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法 ∠OPA=∠OPB

试一试 若连接两切点A，B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明. B O P OP垂直平分AB A 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点， ∴PA=PB，∠OPA=∠OPB. ∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线. ∴OP垂直平分AB.

C 若延长PO交⊙O于点C，连接CA，CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明. B CA=CB P O A 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点， ∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB. 又∵ PC=PC. ∴△PCA≌△PCB ，∴BC=AC.

想一想 A 反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形. P O B （1）分别连接圆心和切点 （2）连接两切点 （3）连接圆心和圆外一点

探究：PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，直线OP交⊙O于点D，E，交AB于点C. （1）写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA，OB ⊥PB AB⊥OP （2）写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC

△AOP≌△BOP， △AOC≌△BOC， △ACP≌△BCP （3）写出图中所有的全等三角形 △AOP≌△BOP， △AOC≌△BOC， △ACP≌△BCP （4）写出图中所有的等腰三角形 △ABP，△AOB A C D E O P B

【例题】 【例1】△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF，BD，CE的长. 【解析】 设AF=x,则AE=x ∴CD=CE=AC-AE=13-x， BD=BF=AB-AF=9-x. 由BD+CD=BC可得 13-x+9-x=14， 解得x=4. ∴ AF=4 cm, BD=5 cm, CE=9 cm.

【例题】 【例1】如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O分别相切于点L，M，N，P， 求证：AD+BC=AB+CD. 证明：由切线长定理得 AL=AP，LB=MB，NC=MC，DN=DP, ∴AP+MB+MC+DP=AL+LB+NC+DN, 即AD+BC=AB+CD， 补充：圆的外切四边形的两组对边 的和相等． D M O P B A L

【跟踪训练】 【解析】设OA=xcm； 在Rt△OAP中，OA=xcm，OP=OD+PD=（x+2）cm，PA=4cm, 1.如果PA=4cm,PD=2cm,求半径OA的长. 由勾股定理，得 PA2+OA2=OP2， 4 x x 2 即42+x2=(x+2)2, 整理，得x=3. 所以，半径OA的长为3cm.

2.设△ABC的边BC=8，AC=11，AB=15，内切圆⊙I和BC,AC,AB分别相切于点D,E,F. 求AE,CD,BF的长. A x y z x y z 【解析】设AE=x，BF=y，CD=z, F E I . x+y=15, y+z=8, x+z=11, x=9, y=6, z=2, 则 解得 C B D 答：AE ,CD ,BF的长分别是9,2,6.

1．（珠海·中考）如图，PA,PB是⊙ O的切线， 切点分别是A,B，如果∠P＝60°,那么∠AOB等 于（ ） C A.60° B.90° C.120° D.150°

2.（杭州·中考）如图，正三角形的内切圆半径为1， 那么这个正三角形的边长为（ ） A．2 B．3 C． D．

【解析】选D.如图所示，连接OA,OB，则三角形AOB是 直角三角形，且∠OBA=90°,∠OAB=30°,又因为内切 形的边长为 . A B

【解析】易证EQ=EA, FQ=FB,PA=PB. 3.已知：如图,PA,PB是⊙O的切线，切点分别是A,B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA,PB于E,F点，已知PA=12cm，求△PEF的周长. F 【解析】易证EQ=EA, FQ=FB,PA=PB. ∴ PE+EQ=PA=12cm, PF+FQ=PB=PA=12cm. ∴周长为24cm.

通过本课时的学习，需要我们掌握： 切线的6个性质： （1）切线和圆只有一个公共点. （2）切线和圆心的距离等于圆的半径. （3）切线垂直于过切点的半径. （4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点. （5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心. （6）切线长定理.

我之所以比笛卡儿看得远些， 是因为我站在巨人的肩上. —牛顿