黄桐城 上海交通大学安泰管理学院 版权所有 侵权必究 运 筹 学 黄桐城 上海交通大学安泰管理学院 版权所有 侵权必究

概述 　　运筹学（Operations Research）是用数学方法研究各种系统的最优化问题，运筹学强调发挥现有系统的效能，应用数学模型求得合理利用各种资源的最佳方案，为决策者提供科学决策的依据。 运筹学的内容有数学规划，运输问题，图与网络分析，排队论，存储论，决策论和对策论等，其中数学规划又包括线性规划，整数规划，非线性规划，目标规划和动态规划等， 　　虽然运筹学包括的内容较多，但是它们有两个共同的特点：一是以全局最优作为问题的基本出发点；二是通过建立数学模型，运用优化技术求得系统最合理的运营方案。由于各种系统的运营机制和性能不尽相同，它们的数学模型也各不相同，从而形成了运筹学的不同分支。

所以可对运筹学做如下概括： １，运筹学的研究对象是各种系统， ２，运筹学的研究目的是实现系统的最优化，求得合理利用各种资源的最优方案， ３，运筹学的研究方法是运用数学语言来描述实际系统，通过建立数学模型和优化技术求得系统运营的最优解。 ４，运筹学的研究动机是为决策者提供科学决策的依据。 　 运筹学在工业，农业，商业，物流，经济计划，人力资源，军事等行业都有着非常广泛的应用。有人曾对世界上500家著名的企业集团或跨国公司进行过调查，发现其中95%曾使用过线性规划，75%使用过运输模型，90%使用过网络计划技术，90%使用过存储模型，43%使用过动态规划。 　 由此可见运筹学一门应用性很强的学科。特别是随着计算机技术的不断发展，计算机成为运筹学最强有力的运算工具，运筹学越来越显示出其广泛的使用价值。

　 运筹学这一名词最早出现于1938年。当时英，美等国盟军在与德国的战争中遇到了许多错综复杂的战略和战术问题难以解决，比如 １，防空雷达的布置问题：英美等国为了对付德国的空袭配备了先进的雷达作为防空系统的一部分，但是由于雷达系统的布置不甚合理，通过防空演习发现实际效果并不理想， ２，护航舰队的编队问题：英美等国需要对本国的商船队配备护航舰队，以防止德国潜艇的攻击，这里有一个如何合理编队才能使商船队一旦遭受德国潜艇攻击时损失最少的问题。 　 为了应付上述各种复杂问题，英美等国逐批召集不同专业背景的科学家，在三军组织了各种研究小组，研究的问题都是军事性质的，在英国称为“Operational Research”，其他英语国家称为“Operations Research”，意思是军事行动研究。这些研究小组运用系统优化的思想，应用数学技术分析军事问题，取得了非常理想的效果。

　　二次大战以后，在军事运筹小组中工作过的一部分科学家开始转入民用部门，他们把对军事系统最优化的研究成果拓展到各种民用系统的研究上。 　 1947年美国数学家G.B.Dantzig在研究美国空军资源配置时,提出了求解线性规划的有效方法—单纯形法。二十世纪五十年代初，应用计算机求解线性规划获得成功。 　 至五十年代末，一些工业先进国家的大型企业已经较普遍地使用运筹学方法解决在生产经营管理中遇到的实际问题，并取得了良好的效果，至六十年代中期，运筹学开始应用于一些服务性行业和公用事业。 　 同时很多国家成立了运筹学研究学会，一些大学的相关专业也陆续设置了运筹学的有关课程。专门发表运筹学研究论文的刊物开始出版，运筹学的理论研究日趋成熟，在实际应用上则日趋广泛。

　　我国运筹学的研究始于五十年代中期，当时由钱学森教授将运筹学 从西方国家引入我国，以华罗庚教授为首的一大批科学家在有关企事业 单位积极推广和普及运筹学方法，在建筑，纺织，交通运输，水利建设和邮电等行业都有不少应用。关于邮递员投递的最佳路线问题就是由我国年轻的数学家管梅谷于1962年首先提出的，在国际上统称为中国邮递员问题。我国运筹学的理论和应用研究在较短时间内赶上了世界水平。 　　如今对运筹学的研究大致在三个领域发展：运筹学应用，运筹科学和运筹数学。一般的共识是，运筹学的研究不能忘记其原有的应用性强的特色，必须强调多学科的交叉联系和解决实际问题的研究。我们面临的很多系统通常涉及到大量的经济，技术，社会，政治和心理等综合因素，这些综合因素受到人的影响和干预，存在非结构性的复杂问题，仅用数学模型是很难加以描述和解决的。总之随着社会的不断发展和进步，实践将对运筹学提出更新更多的研究课题，运筹学正处于不断发展，不断进步的时期。

线性规划问题及其数学模型 线性规划的图解法 线性规划的标准形式 标准型线性规划的解的概念 线性规划的基本理论 第一章 线性规划的基本概念 线性规划问题及其数学模型 线性规划的图解法 线性规划的标准形式 标准型线性规划的解的概念 线性规划的基本理论

线性规划问题及其数学模型 问题的提出： 在生产管理的经营活动中，通常需要对“有限的资源”寻求“最佳”的利用或分配方式。 　有限资源：劳动力、原材料、设备或资金等 　最佳：有一个标准或目标，使利润达到最大或成本达到最小。 有限资源的合理配置有两类问题 　如何合理的使用有限的资源，使生产经营的效益达到最大； 　在生产或经营的任务确定的条件下，合理的组织生产，安排经营活动，使所消耗的资源数最少。

与规划问题有关的数学模型总有两部分组成： 　约束条件：反映了有限资源对生产经营活动的种种约束，或者生产经营必须完成的任务； 　目标函数：反映生产经营者在有限资源条件下希望达到的生产或经营的目标。

例１，某制药厂生产甲、乙两种药品，生产这两种药品要消耗某种维生素。生产每吨药品所需要的维生素量，所占用的设备时间，以及该厂每周可提供的资源总量如下表所示： 每吨产品的消耗 每周资源总量 甲 乙 维生素（公斤） 30 20 160 设备（台班） 5 1 15 　　已知该厂生产每吨甲、乙药品的利润分别为5万元和2万元。但根据市场需求调查的结果，甲药品每周的产量不应超过4吨。问该厂应如何安排两种药品的产量才能使每周获得的利润最大？

定义x1为生产甲种药品的计划产量数，x2为生产乙种药品的计划产量数。 每吨产品的消耗 每周资源总量 甲 乙 维生素（公斤） 30 20 160 设备（台班） 5 1 15 单位利润（万元） ２ 定义x1为生产甲种药品的计划产量数，x2为生产乙种药品的计划产量数。 　目标： 使总利润　　　　　　 Z=5x1+2x2 极大化 　约束： 每周资源总量的限制， 30x1+20x2≤160 　　　　 5x1+ x2 ≤15 　　　　甲种药品每周产量不应超过4吨的限制 　　　　　　　 x1≤4 　　　　计划生产数不可能是负数， x1≥0 x2≥0

这是一个如何合理的使用有限的资源，使生产经营的效益达到最大的数学规划问题。 每吨产品的消耗 每周资源总量 甲 乙 维生素（公斤） 30 20 160 设备（台班） 5 1 15 单位利润（万元） ２ 数学模型为 s.t. （subject to) (such that) 　这是一个如何合理的使用有限的资源，使生产经营的效益达到最大的数学规划问题。 　在满足一组约束条件的限制下，寻求决策变量x1，x2的决策值，使目标函数达到最大值。

已知甲、乙两种原料的成本分别是每公斤3元和2元，厂方希望总成本达到最小，问如何配置该产品？ 甲 乙 A 12 3 4 B 2 C 15 5 化学成分含量（%） 产品中化学成分的最低含量 （%） 甲 乙 A 12 3 4 B 2 C 15 5 化学成分

原料 化学成分含量（%） 产品中化学成分的最低含量（%） 甲 乙 A 12 3 4 B 2 C 15 5 单位成本（元） ３ ２ 定义x1，x2分别为每公斤产品中甲，乙两种原料的数量， 目标：使总成本　　　　 Z=3x1+2x2 极小化 约束：配料平衡条件， x1+x2=1 　　　产品中A、B、C三种化学成分的最低含量 　　　　　　　　　　 12x1+3x2≥4 　　　　　　　　　　 2x1+3x2≥2 　　　　　　　　　　 3x1+15x2≥5 　　　非负性条件 x1≥0,x2≥0

这是一个原料配制问题，是在生产任务确定的条件下，合理的组织 生产，使所消耗的资源数最少的数学规划问题。 化学成分含量（%） 产品中化学成分的最低含量（%） 甲 乙 A 12 3 4 B 2 C 15 5 单位成本（元） ３ ２ 化学成分 数学模型： s.t. 这是一个原料配制问题，是在生产任务确定的条件下，合理的组织 生产，使所消耗的资源数最少的数学规划问题。 满足一组约束条件的同时，寻求变量x1和x2的值使目标函数取得最小 值。

分析：在长度确定的原料上截取三种不同规格的圆钢，可以归纳出8种不同的下料方案： 例３，某铁器加工厂要制作100套钢架，每套要用长为2.9米，2.1米和1.5米的圆钢各一根。已知原料长为7.4米，问应如何下料，可使材料最省？ 　分析：在长度确定的原料上截取三种不同规格的圆钢，可以归纳出8种不同的下料方案： 圆钢（米） Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ 2．9 1 2 2．1 3 1．5 4 料头（米） 0.1 0.2 0.3 0.8 0.9 1.１ 1.4 问题归纳为如何混合使用这8种不同的下料方案，来制造100套钢架，且要使剩余的料头总长为最短。

设xj表示用第j种下料方案下料的原料根数，j=1,2…8, 目标：使料头总长度 圆钢（米） Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ 2．9 1 2 2．1 3 1．5 4 料头（米） 0.1 0.2 0.3 0.8 0.9 1.１ 1.4 设xj表示用第j种下料方案下料的原料根数，j=1,2…8, 目标：使料头总长度 Z=0.1x2+0.2x3+0.3x4+0.8x5+0.9x6+1.1x7+1.4x8极小化 约束：三种规格圆钢根数 　 x1+2x2+ x4+ x6 =100 　　　　　　　　　　　 　2x3+2x4+x5+ x6+3x7=100 3x1+x2+2x3+3x5+x6+4x8=100 　　　非负取整条件　　 　　xj≥0 (j=1,2…8)且取整数

数学模型 s.t. 这是一个下料问题，是在生产任务确定的条件下，合理的组织生产， 使所消耗的资源数最少的数学规划问题。 圆钢（米） Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ 2．9 1 2 2．1 3 1．5 4 料头（米） 0.1 0.2 0.3 0.8 0.9 1.1 1.4 数学模型 s.t. 这是一个下料问题，是在生产任务确定的条件下，合理的组织生产， 使所消耗的资源数最少的数学规划问题。 满足一组约束条件的同时，寻求变量x1至x8的值,使目标函数取得最 小值。 且为整数

线性规划的一般数学模型 线性规划模型的特征： （1）用一组决策变量x1，x2，…xn表示某一方案，且在一般情况下， 变量的取值是非负的。 　　变量的取值是非负的。 （2）有一个目标函数，这个目标函数可表示为这组变量的线性函数。 （3）存在若干个约束条件，约束条件用决策变量的线性等式或线 　　性不等式来表达。 （4）要求目标函数实现极大化（max）或极小化（min）。 　满足上述4个特征的规划问题称为线性规划问题

线性规划的模型的一般形式: 目标函数 满足约束条件 通常称 为决策变量， 为价值系数， 为消耗系数, 为资源限制系数。 　 线性规划的模型的一般形式: 　 目标函数 　　满足约束条件 通常称 为决策变量， 为价值系数， 　　　　　　　　 为消耗系数, 　　　　　为资源限制系数。

线性规划的图解法 适用于求解两个变量的线性规划问题 图解法的基本步骤 例4,利用例1说明图解法的主要步骤， 例1的数学模型为 s.t.

x2 5x1+x2=15 10 x1=4 C B( 2, 5) 5 5x1+2x2=5 30x1+20x2=160 ▽Z O 1 A 5 10 15 x1

线性规划图解法的基本步骤： （1）建立以x1,x2为坐标轴的直角坐标系，画出线性规划 问题的可行域, （2）求目标函数 Z=C1x1+C2x2 的梯度▽Z =（c1,c2）, （3）任取等值线 C1x1+C2x2=Z0, 沿梯度▽Z正方向平移, （若是极小化问题，则沿负梯度方向-▽Z平移）， 求等直线将离未离可行域时与可行域的交点。 （4）若交点存在，则该点坐标就是最优解 。

图解法的几种可能结果 (1）有唯一最优解，如例1。 （2）有无穷多最优解 如例1中的目标函数设为 maxZ=10x1+2x2 则目标函数等值线10x1+2x2=Z 与第二约束 5x1+x2≤15 的边界线平行。将等值线沿梯度▽Z =（10，2）正方向平移 至B点时与可行域OABC的整条边界线AB重合。 这表明线段AB上的每一点都使目标函数取得同样的最大值， 因而都是最优解。

x2 5x1+x2=15 10 x1=4 C B（2，5） 5 10x1+2x2=5 30x1+20x2=160 ▽Z O 1 A 5 10 15 x1

st. （3） 无界解（或称无最优解） 无界解是指线性规划问题的最优解无界。 若是极大化问题，则可使目标函数值Z→+∝, 有无界解的线性规划问题的可行域通常是无界区域，但反之则不必然。 例5，试用图解法求解下列线性规划问题 st.

x2 -2x1+x2=2 4 3 2 -▽Z=(3,2) x1-3x2=3 -1 O 2 3 4 x1 -1 O

（4）无可行解 某些线性规划问题的可行域是空集，既不存在满足所有约束条件的点，这时问题无可行解，当然更谈不上最优解了。 在实际中出现这种情况可以认为资源条件无法满足人们的要求，既不存在可行方案。

线性规划的标准形式 标准线性规划模型 线性规划问题的标准形式： （1.3） s.t   其中(1.1)为目标函数，(1.2)为约束条件，(1.3)为非负条件， 为称呼方便，有时将(1.3)也称为约束条件。 （1.1） （1.2） （1.3）

紧凑格式： s.t. 向量格式： 其中 称为价值向量， 为决策变量向量， 为决策变量xj所对应的消耗系数向量， 为资源向量。

矩阵格式： 其中 为m×n阶矩阵 为价值向量， 为决策变量向量， 为资源向量。

非标准形式线性规划问题的标准化 （1）极大化与极小化 ： 若 ，令 ，则有 原目标函数 。 (2) 线性不等式与线性等式： 若 ，令 ，则有 原目标函数 。 (2) 线性不等式与线性等式： 其中 为非负松弛变量， 其中 为非负剩余变量。

(3) 非负变量与符号不受限制的变量 若 xi的符号不受限制，则可引进非负变量xi1,xi2，令 例6，将下述线性规划问题化为标准型 符号不受限制 解：令　　　　,可将目标函数化为max型， 令　　　　　,其中

标准型线性规划的解的概念 考虑一个标准的线性规划问题： s.t 其中Ｃ为n维行向量， Ｘ是n维列向量， ｂ是m维列向量， 　　　考虑一个标准的线性规划问题： 　　　 s.t 其中Ｃ为n维行向量， Ｘ是n维列向量， ｂ是m维列向量， Ａ是m×n阶矩阵，假定满足m≤n，且Ｒ(Ａ)=m，

线性规划问题解的概念： (1) 可行解。满足约束条件(1.5)，(1.6)的解 称为线性规划问题的可行解。 　　线性规划问题解的概念：      (1) 可行解。满足约束条件(1.5)，(1.6)的解　 　称为线性规划问题的可行解。 　　　可行解集　　　　　　　　　　　　称为线性规划问题的可行域。      (2) 最优解。使目标函数（1.4)达到最优值的的可行解称为最优解， 　最优解常用 表示。      (3) 基。若Ｂ是Ａ中m×m阶非奇异矩阵，即|Ｂ|≠0，则称Ｂ是线性规 　划问题的一个基。

一个线性规划的基通常不是唯一的，但是基的个数也不会超过 　　若Ｂ是线性规划问题的一个基，那么Ｂ一定是由m个线性无关的列向量组成，不失一般性，可设 　　称 　　　 为基向量， 　　与基向量　　相对应的变量　　　　　　　　称为基变量。 一个线性规划的基通常不是唯一的，但是基的个数也不会超过 　 个。一旦线性规划的基确定了，那么相应的基向量、基变量和非 　 基变量也就确定了。

(4) 基本解。设B是线性规划的一个基，若令n-m个非基变量等于0，则 有一个基就可以求得一个基本解。 由基的有限性可知，基本解的个数也不会超过 个。 由于基本解中的非零分量可能是负数，所以基本解不一定是可行的。 (5) 基本可行解。满足非负条件的基本解称为基本可行解 （简称基可行解）。与基本可行解对应的基成为可行基。 基本可行解的非零向量的个数小于等于m，并且都是非负的。 由于基本可行解的数目一般少于基本解的数目，因此可行基 的数目也要少于基的数目。 当基本可行解中有一个或多个基变量是取零值时，称此解为 退化的基本可行解。

线性规划问题各种解的关系可用文氏图表示， 可行解 基本解 基本 可行 解

例7、求下列约束方程所对应的线性规划的所有基本解， 基本可行解。 s.t 解：化为标准形式 为2×4阶矩阵。 且R(A)=2,所以该线性规划基的个数≤ =6个 取 , 为基变量， 若令非基变量 ， 约束方程组为 可得对应的基本解 是一个基本可行解。

按相同步骤，可求得线性规划其他4个基： 对应基本解 是一个基本可行解。 对应基本解 是一个基本可行解。 对应基本解 不是一个基本可行解。 　　按相同步骤，可求得线性规划其他4个基： 对应基本解 是一个基本可行解。 对应基本解 是一个基本可行解。 对应基本解 不是一个基本可行解。 对应基本解 是一个基本可行解。

若利用图解法画出线性规划的可行域，如图， D 4 B C A O 4 8

线性规划的基本理论 由图解法的步骤，可以从几何的角度得出以下两个结论： （1）线性规划问题的可行域是一个有界或无界的凸多边 　　由图解法的步骤，可以从几何的角度得出以下两个结论： （1）线性规划问题的可行域是一个有界或无界的凸多边 　　形，其顶点个数是有限个。 （2）若线性规划问题有最优解，那么最优解一定可在可 　　行域的某个顶点上找到。

几个基本概念 （1）凸集：设k是n维欧式空间的一个点集，若任意两点 　X(1)∈k, X(2)∈k的连线上的一切点αX(1)+ (1-α)X(2)∈k 　( 0<α<1),则称k为凸集。 连接几何形体中任意两点的线段仍完全在该几何形体之中。 有限个凸集的交集仍然是凸集。

（2）凸组合：设X(1)，X(2)，…，X(k)是n维欧式空间中的k个点， 若存在μ1, μ2,…, μk满足0≤μi≤1,( i=1,2,…,k), 使　X=μ1X(1)+μ2 X(2)+…μk X(k)， 则称X为X(1)，X(2)，…，X(k)的凸组合。 凸集k中任意两点X(1)，X(2)连线上的任一点X都是X(1)与X(2)的一个凸组合。 (3) 顶点：设k为凸集，X∈k,若X不能用X(1)∈k,X(2)∈k两点的 一个凸组合表示为X=αX(1)+ (1-α)X(2),其中0<α<1 ， 则称X为k的一个顶点。

线性规划的基本定理 定理1：若线性规划问题存在可行域，则其可行域 是一个凸集。 　　　　　　　　　　　　　　是一个凸集。  证明：为了证明满足ＡＸ=ｂ，Ｘ≥0的所有点（可行解）组成的几何体是凸集，只要证明Ｄ中任意两点任意两点　　　　连线上的一切点均满足线性约束条件既可。 　　任取　　　　　　　，满足 则对任意的　　　　　　　　　　　　　有　 　　又因为　　　　　　　均≥0，所以　 由此可知，　　　　　　　　　　即Ｄ是凸集。

引理1：线性规划问题的可行解 是基本可行解的充要条件是Ｘ的正分量所对应的系数列向量线性无关。 证明：必要性：因为Ｘ是基本解，由基本解的定义，Ｘ的非零分量所对应的系数列向量线性无关，又因为Ｘ是可行解，由基本可行解的定义，非零分量均是正的，所以Ｘ的正分量所对应的系数列向量线性无关。 充分性：设Ｘ是线性规划问题的可行解，且正分量　　　　　　所对应的列向量　　　　　也线性无关，则必有k≤m,若k=m，则　 　　　　　刚好构成一个基，　　　　　　　　　　　为相应的基本可行解。若k<m，则由线性代数知识，一定可以从其余的n-k个系数列向量中取出m-k个与　　　　　　构成最大线性无关向量组，其对应的基本可行解恰好为Ｘ，不过此时的Ｘ是一个退化的基本可行解。

定理2：设线性规划问题的可行域 　　　　　　　　　　　　　　　　　，则Ｘ是Ｄ的一个 顶点的充分必要条件是Ｘ为线性规划问题的基本可行解。 证明思路：必要性：由引理1，若X是D的一个顶点，要证明X是线性规划的一个基本可行解，只要证明Ｘ的正分量　　　　　　所对应的系数列向量线性无关。 用反证法，倘若Ｘ的正分量所对应的系数列向量　　　　线性相关，则可以在Ｄ中找到两点　　　　，使　　　　　　　，与Ｘ是Ｄ的顶点矛盾　　　　　 　　充分性：若Ｘ是线性规划的一个基本可行解，要证明Ｘ是可行域Ｄ的一个顶点， 　　仍用反证法，倘若Ｘ不是可行域Ｄ的顶点 ，可以证明Ｘ的基变量所对应的系数列向量　　　　　线性相关，与X是基本可行解矛盾。

例8、已知线性规划问题的约束条件为 　　试讨论可行域顶点和基本可行解之间的对应关系。 解:可行域 　为四维凸多面体，可以推得在四维空间中有3个顶点， 　Ａ=(0,0,10,10)，Ｂ=(0,10,0,10)，Ｃ=(10,0,0,0)。 　这3个顶点与线性规划的5个基本可行解的对应关系如下： 　顶点Ａ对应以x3,x4为基变量的基本可行解； 　顶点Ｂ对应以x2,x4为基变量的基本可行解； 　顶点Ｃ对应x1,x2;x1,x3和x1,x4为基变量的退化基本可行解，

一个线性规划问题，如果它的所有基本可行解都是非退化的，那么 称这个线性规划是非退化的，只有在这种情况下，顶点和基本可行解 之间才是一一对应的。 定理3：若可行域D非空有界，那么线性规划问题的目标函数一定可以 在可行域D的顶点上达到最优值。 本定理称为线性规划的基本定理， 证明的思路是：因为可行域非空有界，所以线性规划一定有最优解， 倘若 不是顶点，且目标函数在该点处取到最优值 ，则必能找到可 行域的一个顶点 ，使目标函数在的值也等于 。 定理3并不排除在一个非顶点上有一个最优解的可能性。但是在一个 给定的线性规划问题的所有最优解中，至少有一个是顶点。 如果可行域无界，则线性规划问题可能无最优解。 如果目标函数同时在两个顶点上达到最优解，那么不难证明在这两个 点的凸组合上也达到最优解，这时线性规划问题有无穷多最优解。