千古绝技 “割圆术” 刘 徽 的 大 智 慧 王能超 华中科技大学 0805

给我一个支点，我就能撬动地球。 西方古代数学之神 阿基米德

观阴阳之割裂，总算术之根源。 东方古代数学之神 刘徽

中华文明难道是可“忽略” 的吗 M.Kline 《古今数学思想》被 誉为“古今最好的一部数学史” 该书高度赞誉古希腊文明 同时贬低中华文明 “希腊人在文明史上首屈一指，在数学史上至高无上。” “阿基米德是古代最伟大的数学家。他的几何学是古希腊数学的顶峰。” 1908－1992 “为着不使资料漫无边际，我忽略了几种文化，例如中国的文化，因为他们的工作对于数学思想的主流没有重大影响。”

内容提要 扑朔迷离的千古疑案 博大精深的千古奇文 神奇玄妙的千古绝技 刘徽：古代数学之神 这份报告旨在说明 刘徽在1800年前提出的“割圆术”达到了古今难以逾越的学术高度 扑朔迷离的千古疑案 博大精深的千古奇文 神奇玄妙的千古绝技 刘徽：古代数学之神

数学史上一道千古难题 圆是最基本 最常见的几何图形 大小不同的圆中 存在具有普适意义的“不变量” 圆是最基本 最常见的几何图形 大小不同的圆中 存在具有普适意义的“不变量” 圆周率 = 圆周长/直径 = 圆面积/半径 2 数学不变量是重要的数学生长点 在古代 计算高精度的圆周率意义重大： 衡量一个数学家的数学才能 反映一个国家 一个民族的数学发展水平 标志一个地区 一个时代科学技术的发达程度

群星璀璨的数学奇观 在近代数学史上 大多数数学家都亲自动手计算过圆周率 都亲身体验过 求值的艰辛 在近代数学史上 大多数数学家都亲自动手计算过圆周率 都亲身体验过 求值的艰辛 (法)韦达(1540—1603)割圆到393 216边形 准确到小数点后10位 (德)鲁道夫(1540-1610)割圆到 264 边形 准确到小数点后35位 鲁道夫数 铭刻墓碑上 直到19世纪 (英)尚克斯耗时15年 将 算到707位 并刻在墓碑上 后计算机验算528位起出错

圆周率精确计算的先驱者 上古普遍流行“周三径一”的说法 认为圆的周长是其直径的3倍 这样有 史称古率 从现有的史料来看 首创圆周率精密计算的是古希腊的阿基米德(约公元前287－前212年) 阿基米德用正96边形逼近圆周 求得 公元前3世纪 古希腊遭到罗马人的摧残 叙拉古王国灭亡 古希腊文明衰落 西方圆周率计算就此沉寂一千多年

焚书坑儒留下历史空白 在阿基米德被罗马士兵野蛮杀害的公元前212年 秦始皇正耀武扬威地巡视着那空前规模的大帝国 大一统的秦王朝屹立在世界的东方 秦始皇在全国统一了度量衡 刘徽据秦汉量器测算发现 当时所使用的圆周率约为 3.14 中国上古时代科技相当发达 然而关于圆周率的记载却是一片空白 这是否与秦始皇的焚书坑儒有关呢?

扑朔迷离的千古疑案 公元 5 世纪 南北朝祖冲之 准确到小数点后 7 位 称雄千年的一项数学成就 祖冲之算法称“缀术” 缀术千年失传 公元 5 世纪 南北朝祖冲之 准确到小数点后 7 位 称雄千年的一项数学成就 祖冲之算法称“缀术” 缀术千年失传 中国古代最辉煌的数学成就 竟是一桩千古疑案

华罗庚先生的评说（1963年） 华罗庚 《高等数学引论》 第4章§5 “祖冲之计算圆周率的方法”指出“祖冲之从圆的内接正六边形和外切正六边形出发。显然圆夹在这两个六边形之间，再做内接的和外切的正12边形、正24边形、… ，边数愈多，内接的和外切的正多边形就愈接近圆的面积。” 华先生认为 祖冲之实际上是沿袭了阿基米德的做法

钱宝琮先生的推测（1963年） 钱宝琮《中国数学史》指出 “《缀术》失传，祖冲之推算圆周率的方法难以详考。” 钱先生指出 如果直接用内接与外切正多边形逼近圆周 为要获得祖冲之的圆周率 要割到 24576 边形 钱先生认为 祖冲之的“缀术”是继承了魏晋刘徽的“割圆术” 他推测“祖冲之写了数十篇专题论文， 附缀于刘徽注的后面，叫它‘缀述’。” 按钱先生的理解 “缀术” 是割圆术的补充说明

博大精深的千古奇文 魏晋刘徽《九章算术注》（公元263年） 创建中华数学的理论体系 《九章》圆田术：圆面积=半周长×半径 刘徽圆田术注 约1800字 后世称 “割圆术” 上篇（263字） 深邃的极限思想 中篇（1264字）高明的逼近方法 下篇（159字） 玄妙的加速技术

刘徽是怎样割圆的 割之弥细 失之弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆合体 而无所失矣

深邃的极限思想 “中国的牛顿”? 古希腊人在精神上对“无穷”怀有恐惧 阿基米德的著作总是谨慎地回避“取极限” “割圆术” 涵盖大学高等数学教材中 有关数列极限的基本知识 诸如 极限的定义 收敛性的判别 无穷小量概念等 近代数学之王 牛顿 1643—1727 “中国的牛顿”?

阿基米德的双侧逼近 内接多边形 弱近似 外切多边形 强近似 用内接外切正 96 边形逼近圆周 求得

高明的逼近方法 弱近似 内接多边形 强近似 破缺的外切多边形 计算量节省一半 用内接正 3072 边形逼近圆周 求得 史称 徽率

割圆计算的刘徽算法 动态的二分演化过程 (倍增过程) 取 递推计算 证明基于勾股定理 1800年前 用算筹实施的一项伟大的计算工程 取 递推计算 证明基于勾股定理 1800年前 用算筹实施的一项伟大的计算工程 标准的计算机程序 勾 股 弦 小弦 小股 小勾

一份珍贵的文化遗产 用算筹实施的一项伟大的计算工程 标准的计算机程序 简单的重复生成复杂 《割圆术》这篇千古奇文提供了一个绝好的机会 让今人亲眼瞧一瞧 刘徽这位古代数学泰斗 在1800年前 是怎样实施一项伟大的计算工程 进而提炼出割圆术这个千古绝技的

刘徽的奇思妙想 双侧逼近 立足于偏差 加速逼近 关键在于松弛因子 的选择 刘徽适当选取 考察加速公式 其中数据 很粗糙 阿基米德早已掌握

神奇玄妙的千古绝技 刘徽令 并取半径100寸 求得 故有 刘徽据此断定 用极其粗糙的数据加工出高精度的结果 石破天惊的伟大成就

破解“缀术”之谜 刘徽加速技术 组合技术 祖冲之算法自称“缀术” 汉字 “缀” 有两层涵义 校正技术 缀合 即 组合 缀补 即 修补 校正 祖冲之算法自称“缀术” 汉字 “缀” 有两层涵义 缀合 即 组合 缀补 即 修补 校正 结论：祖冲之的 “缀术” 源于刘徽的 “割圆术” 组合技术 校正技术

差之毫厘，失之千里 千古辉煌 留给了两百年后的祖冲之 修改松弛因子 加速公式 n 96 3.14103 1951 3.14159 2534 千古辉煌 留给了两百年后的祖冲之 n 96 3.14103 1951 3.14159 2534 192 3.14145 2472 3.14159 2646 384 3.14155 7608

神机妙算“割圆术” 15世纪 阿拉伯人阿尔·卡西 割到 805 306 368 （8亿多） 边形 精确到小数点后17位 运用刘徽的加速技术 15世纪 阿拉伯人阿尔·卡西 割到 805 306 368 （8亿多） 边形 精确到小数点后17位 运用刘徽的加速技术 调用数学软件Mathematica进行符号演算 利用直到 384 边形的数据 加工出的 值准确到小数点后18位

追踪混沌 非线性迭代 倍周期分叉过程 确定 需要求解某个 阶非线性方程组 当 增大时计算量急剧增长

一蹴而就创奇迹 运用刘徽的加速技术 加速算法： 人工手算胜过超级计算 k 1 3. 000000 0000<0> 3. 000000 0000<0> 3.571993 214<1> 2 3.449489 7428<0> 3.569872 702<3> 3 3.544090 3506<1> 3.569994 417<5> 4 3.564407 2661<2> 3.569945 550<6> 5 3.568759 4196<2> 3.569945 667<8> 6 3.569691 6098<3>

刘徽：古代数学之神 深邃的极限思想 走到了微积分的大门口 高明的逼近方法 一项伟大的计算工程 玄妙的加速技术 达到了古今不可逾越的学术高度

专著《千古绝技“割圆术”》 引论 文章千古事 上篇 衔接高等数学的金桥 中篇 会通计算数学的古道 下篇 攀登未来数学的天梯 结语 篇终接混茫 华中科技大学出版社 2000年 第一版 引论 文章千古事 上篇 衔接高等数学的金桥 中篇 会通计算数学的古道 下篇 攀登未来数学的天梯 结语 篇终接混茫

林群院士的评说 “我认为王教授 的发现是数学史上的重大事件。…… 因此我毫无保留的给予崇高的评价。” 两种方法 殊途同归

高效算法“十年磨一剑” 1946年 ENIAC机问世 1955年 Romberg 加速算法 1965年 FFT 快速算法 1976年 CRAY-1 并行算法 80年代初 银河巨型机研制成功 用于石油物探数据处理 1985年 国防科技大学讲学 1986年 全国计算数学研究会讲座 1988年 出版专著《数值算法设计》 算法设计基本原理 简单重复生成复杂 高效算法基本技术 规模逐次减半的二分技术

新时代呼唤 “新科学” Stephen Wolfram 1959年 生 15岁 发表粒子物理学术论文 22岁 被授予美国“天才人物奖” 研制 Mathematica 致富 隐姓埋名 潜心探索 “复杂性” 十余年 2002年5月 推出鸿篇巨著《一种新科学》该书用丰富的计算机实验证明 “ 简单的重复生成复杂 ” 声称 “宇宙原理只是区区几行程序代码”

“新科学” 期盼 “新思维” 基本原理 简单的重复生成复杂 信息科学 需要 中华数学 中华数学 必将 大放异彩 基本原理 简单的重复生成复杂 Wolfram 元胞自动机 人工生命 人工宇宙 1 0-1 二分演化机制 高效算法 高效网络 … 近三年高等教育出版社出版相关著作 两本教材 一本专著 信息科学 需要 中华数学 中华数学 必将 大放异彩

爱因斯坦的迷茫 西方科学发展以数学演绎和科学实验这两个伟大成就为基础。 ‘‘在我看来，中国的贤哲没有走上这两步，那是用不着惊奇的。 要是这些发现果真都作出来了，那倒是令人惊奇的事。”

激扬中华先贤大智慧 复兴先贤伟业 重振中华雄风 探究中西文明大碰撞 激扬中华先贤大智慧 复兴先贤伟业 重振中华雄风

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