第二章 行列式 行列式的定义与性质 行列式的计算 Cramer 法则 解线性方程组的消元法 消去法的应用

第一节 行列式的定义与性质 问题的引出 n阶行列式的定义 行列式的性质

一.问题的引出 首先来看行列式概念的形成 问题的提出： 求解二、三元线性方程组 引出 二阶、三阶行列式

1. 二阶行列式 二元线性方程组： （回顾高中时的二阶与三阶行列式） 当 时，方程组有唯一解

为便于记忆，引进记号 称 为二阶行列式 也记作 从而方程组有为唯一解

主对角线上两元素之积 － 副对角线上两元素之积 注： (1) 记忆方法：对角线法则 主对角线上两元素之积 － 副对角线上两元素之积 (2) 为系数矩阵 上定义的运算。它不同于矩阵 ， 矩阵是一种形式； 二阶行列式算出来是一个数。

2. 三阶行列式 三阶行列式 注： （1）这是把三阶行列式转化为比它低一阶的二阶行列式进行的计算。三阶行列式 算出来也是一个数。 （2）三阶行列式 也是矩阵上定义的一种运算。

二. n阶行列式的定义 当 时， 为大于1的整数时， 当 阶矩阵的行列式定义为 仍然记作

定义： 在 n 阶行列式中，把元素 所在的第 i 行和 第 j 列划去后，余下的 n－1 阶行列式叫做元素 的 余子式, 记为 。 称 为元素 的代数余子式。 例如：

再如 注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个 代数余子式。

从而 行列式等于它的第一行的各元素与其对应 的代数余子式乘积之和，即 注：称上面两式为行列式 按第一行的展开式

例2.1

例2.2 特别地

三. 行列式的性质 性质1： 行列式与它的转置行列式相等。 说明 （1）设 称为D的转置行列式; ，则 （2） 行列式中行与列地位相同，对行成立的性质对列也成立，反之亦然。

例2.3

互换行列式的两行（列），行列式的值变号。 性质2： 互换行列式的两行（列），行列式的值变号。 例如 推论： 如果行列式有两行（列）相同，则行列式为 0 。

例2.4

用数 k 乘行列式的某一行（列）中所有元素，等于用数 k 乘此行列式。 性质3： 用数 k 乘行列式的某一行（列）中所有元素，等于用数 k 乘此行列式。 记法 第s行乘以k： 第s列乘以k: ; 推论： 行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 例如 推论： 若行列式有两行（列）的对应元素成比例， 则行列式等于0 。

性质4： ＋ 即，如果某一行是两组数的和，则此行列式就等于两个行 列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的 对应的行一样。

对于列也有类似的结论 ＝

数k后再加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。 性质5： 行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一 数k后再加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。 记法 数k乘第 t 行加到第 s 行上： 证明： 作

得

利用行列式性质计算： 目标 化为三角形行列式 例2.5： 计算

注： 上述各例都用到把几个运算写在一起的省略写法，要注意各个运算次序一般不能颠倒，因为后一次运算是作用在前一次运算结果上。 例如：

课堂练习: 1. 计算行列式 ＝4 ＝1 2. 一个n阶行列式，它的元素满足 证明：当 n 为奇数时，此行列式为零。

3. 计算 4. 计算

5. 计算

小 结 1、n阶行列式的定义 2、行列式的性质 (1) 行列式与它的转置行列式相等。 (2) 互换行列式的两行（列），行列式的值变号。 (3) 用数 k 乘行列式的某一行（列）中所有元素，等于用数 k 乘此行列式。

注：将各种性质综合使用可以简化行列式的计算 如果某一行是两组数的和，则此行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样。 (4) 行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一数k后再加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。 (5) 注：将各种性质综合使用可以简化行列式的计算 返回

第二节 行列式的计算 行列式按行（列）展开 行列式的乘法法则

一. 行列式按行（列）展开 对于三阶行列式： 可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。 一. 行列式按行（列）展开 对于三阶行列式： 可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。 问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n－1 阶行列式来计算？

行列式 可以按行展开 定理2.1： 证明 （1）设 D 的第 i 行除了 外都是 0 。 把 D 的第 行依次与第 行，第 行列式 可以按行展开 定理2.1： 证明 （1）设 D 的第 i 行除了 外都是 0 。 把 D 的第 行依次与第 行，第 行，······， 第2行，第1行交换；再将第 列依次与第 列，

第 列，······， 第2列，第1列交换，这样共经过 次交换行与交换列的步骤。 由性质2，行列式互换两行（列）行列式变号， 得，

(2) 一般情形

证毕。 例如，行列式 按第一行展开，得

行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 定理2.2： 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 证明： 由定理1，行列式等于某一行的元素分别与它们 代数余子式的乘积之和。 在 中，如果令第 i 行的元素等于 另外一行，譬如第 k 行的元素

则， 第i行 右端的行列式含有两个相同的行，值为 0 。

综上，得公式

注： （1）在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个n阶行列式换成n个（n－1）阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开定理在理论上是重要的。 （2）利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开,变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式。

例2.6: 计算行列式

例2.7 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式

(2) 设n－1阶范德蒙德行列式成立，现证n阶也成立。 证明： 用数学归纳法 (1) 当n=2时, 结论成立。 (2) 设n－1阶范德蒙德行列式成立，现证n阶也成立。

n-1阶范德蒙德行列式

练习：用降阶法（按行按列展开）计算行列式的值。 证毕。 练习：用降阶法（按行按列展开）计算行列式的值。 =57

思考题: 求第一行各元素的代数 余子式之和 解: 第一行各元素的代数余子式之和可以表示成

二.行列式的乘法法则 定理2.3 设 ，则 引理： 若 则 推论： 对于方阵 有 注：虽然 但 推论：若 方阵，则

例2.8 例2.9

小 结 行列式的计算方法大致可归纳为： 返回 （1）利用定义直接计算，即按行（列）展开； （2）利用行列式性质将行列式三角化，或使某行（列）出现更多个零元素，然后按行（列）展开； （3）利用行列式乘积定理及推论。 返回

证明： 将 和 三角化 （列变换） 将以上对 和 的三角化过程分别施用于行列式 的前 列和后 列，有

得证。 返回

证明 仅就 给出证明。 构造如下矩阵 对列施行计算 和

由引理，上式左端

上式右端 由此定理得证。 一般情形类似可证。 返回

第三节 Cramer 法则 矩阵可逆的判别定理及其求法 Cramer法则

一. 矩阵可逆的判别定理及求法 定理2.4: 证明：

奇异矩阵： （退化矩阵） 非奇异矩阵： （非退化矩阵）

推论： 证明： 注：

例2.12 求方阵 的逆矩阵。 解

同理可得 故

二. Cramer 法则 Cramer法则： 如果线性方程组 的系数行列式不等于零， 对系数矩阵为方阵的二、三元线性方程组，当系数 行列式 时，方程组有唯一解， 含有n个未知数，n个方程的线性方程组，与二、三元线性方 程组类似，它的解也可以用n阶行列式表示。 Cramer法则： 如果线性方程组 的系数行列式不等于零，

即 则线性方程组(1)有 唯一解， 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即

证明： 再把 个方程依次相加，得

由代数余子式的性质可知, 上式中除了 的系数等于D, 其余 的系数均等于0，而等式右端为 于是 当 时,方程组(2)有唯一的一个解 由于方程组(2)与方程组(1)等价,所以 也是方程组的(1)解。

例2.13： 用Cramer法则解线性方程组。 解：

注: 1. Cramer法则仅适用于方程个数与未知量个数相等的情形。 理论意义：给出了解与系数的明显关系。 但用此法则求解线性方程组计算量大，不可取。 3. 撇开求解公式 Cramer法则可叙述为下面定理： 定理1： 如果线性方程组(1)的系数行列式 则(1)一定有解,且解是唯一的 . 定理2： 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.

注： 定理3： 如果齐次线性方程组的系数行列式 则齐次线性方程组没有非零解。 定理4： 如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为0。

例2.14 问 取何值时， 齐次线性方程组 有非零解？ 解： 齐次方程组有非零解，则 所以 或 时齐次方程组有非零解。

注：对于n元齐次线性方程组的Cramer法则的推论，常被用来解决解析几何的问题。 例2.15 求空间的四个平面 相交于一点的条件。 解： 四个平面相交于一点，即线性方程组 有唯一解。

从另一角度看，形式上可以把 看作是四元 线性方程组 的一组非零解。 因为齐次线性方程组有非零解的充要条件是 所以，四平面相交于一点的条件为

例2.16 已知三次曲线 在四个点 处的值为 试求系数 解：

若用Cramer法则求此方程组的解，有 （考虑范德蒙德行列式）

课堂练习： 思考题: 解答: 不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解. 当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默法则解方程组?为什么?此时方程组的解如何? 解答: 不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解.

小 结 1、矩阵可逆的判别定理及求法 2、 Cramer 法则及其应用 返回

第四节 解线性方程组的消元法 问题的引出 高斯消元法 高斯—若当消元法

1.问题的引出 由前面第二章的知识，我们知道当方程组的解唯一的时候，可以利用克兰姆法则求出方程组的解，但随着方程组阶数的增高，需要计算的行列式的阶数和个数也增多，从而运算量也越来越大，因此在实际求解中该方法是行不通的.

例2.13 解线性方程组 解

消元过程总共作了三种变换： （1）交换方程次序; （2）以不等于零的数乘某个方程; （3）一个方程加上另一个方程的倍. 求解线性方程组实质上是对增广矩阵施行3种初等运算： (1) 对调矩阵的两行。 (2) 用非零常数k乘矩阵的某一行的所有元素。 注：由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换． (3)将矩阵的某一行所有 元素乘以非零常数k后 加到另一行对应元素上。 统称为矩阵的初等行变换

注： 1）矩阵的初等变换:矩阵的行变换;矩阵的列变换。 通常称 (1) 对换变换 (2) 倍乘变换 (3) 倍加变换 (行)记作 (1) (2) (3) (列)记作 (1) (2) (3) 2）初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同。 逆变换 逆变换 逆变换

如果矩阵 经过有限次初等变换变为矩阵 ，则称矩阵 与 等价，记作 ： ~ 定义 注：任意一个矩阵总可以经过初等变换化为阶梯形矩阵。

2.高斯消元法 设 若系数行列式 ，即方程组有唯一解，则其消元过程如下：

主元 否则将方程与（1）对调，使对调后的第一个方程的系数不为零。 第一步， 设 作

第二步， 设 ，作 否则将方程与（2）对调，使对调后的第一个方程的系数不为 零。 照此消元，直至第 步得到三角形方程组

回代过程 接下来的回代过程首先由最后方程求出 ，依次向上代入求出 即可。 和 的计算公式 回代公式

高斯消元法用矩阵初等变换的方法表示就是

高斯消元法的改进 高斯消元法中， 绝对值太小时，会带来较 大的舍入误差。此时可按 选取主元。 例2.14

解

回代可得解 注：这种方法也可用来讨论一般线性方程组的求解问题。

3.高斯—若当消元法 将方程组 化为对角形方程组 即可得解 。

注：高斯—若当消元法与高斯消元法的区别： 选主元后用它消去该列主元素上下的元素，而不仅仅是主元素以下的元素； 高斯—若当消元法无需回代过程——也称回代消元法。

小 结 (1) 1、矩阵的初等变换：矩阵的行变换;矩阵的列变换。 (行)记作 (2) (3) (列)记作 2、高斯消元法 (1)消元过程 (2)回代过程 3、高斯—若当消元法 无需回代过程 返回

第五节 消去法的应用 化矩阵为行阶梯矩阵 初等变换法求矩阵的逆

注：对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行变换把它变为 行阶梯形矩阵。 一.化矩阵为行阶梯形矩阵： 例如： 特点： (1)可划出一条阶梯线，线的下方全为零； (2)每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元． 注：对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行变换把它变为 行阶梯形矩阵。

例2.17 对矩阵 作行初等变换,使成为行阶梯矩阵。 解:

二. 用初等变换法求可逆矩阵的逆矩阵 定理2.5 推论1 证明： 可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵。 二. 用初等变换法求可逆矩阵的逆矩阵 可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵。 定理2.5 可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积 推论1 证明： 由定理，知 ,即存在初等矩阵 使得 又因为初等矩阵可逆，所以等号两边左乘 初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，定理得证。

推论2 行变换，那么当 变成单位矩阵 时， 就变成 。 如果对可逆矩阵 和同阶单位矩阵 作同样的初等 等号两边右乘 即， 即，

例2.18 解：

另：利用初等行变换求逆矩阵的方法，还可用于求矩阵 注： 求逆时,若用初等行变换必须坚持始 终,不能夹杂 任何列变换. 若作初等行变换时,出现全行为0，则矩阵的行列式 等于0。结论：矩阵不可逆! 另：利用初等行变换求逆矩阵的方法，还可用于求矩阵 即 初等行变换

练习 ：用初等行变换求可逆矩阵A的逆矩阵

小 结 1、化矩阵为行阶梯形矩阵。 2、用初等变换法求可逆矩阵的逆矩阵。 返回