Introductory Econometrics for Finance 回归分析的基本概念 计量经济学 第 2 章 回归分析的基本概念 Copyright 2002, Chris Brooks

§2.1 回归分析概述 一、变量间的关系及回归分析的基本概念 1、变量间的关系 经济变量之间的关系，大体可分为两类： §2.1 回归分析概述 一、变量间的关系及回归分析的基本概念 1、变量间的关系 经济变量之间的关系，大体可分为两类： （1）确定性关系或函数关系：研究的是确定现象非随机变量间的关系。 （2）统计依赖或相关关系：研究的是非确定现象随机变量间的关系。

2、回归分析的基本概念 回归分析(regression analysis)是研究一个变量关于另一个（些）变量的具体依赖关系的计算方法和理论。 其用意：在于通过后者的已知或设定值，去估计和（或）预测前者的（总体）均值。 这里：前一个变量被称为被解释变量（Explained Variable）或应变量（Dependent Variable），后一个（些）变量被称为解释变量（Explanatory Variable）或自变量（Independent Variable）。 回归分析构成计量经济学的方法论基础，其主要内容包括： （1）根据样本观察值对经济计量模型参数进行估计，求得回归方程； （2）对回归方程、参数估计值进行显著性检验； （3）利用回归方程进行分析、评价及预测。

二、总体回归函数 由于变量间关系的随机性，回归分析关心的是根据解释变量的已知或给定值，考察被解释变量的总体均值，即当解释变量取某个确定值时，与之统计相关的被解释变量所有可能出现的对应值的平均值。 例2.1：一个假想的社区有100户家庭组成，要研究该社区每月家庭消费支出Y与每月家庭可支配收入X的关系。 即如果知道了家庭的月收入，能否预测该社区家庭的平均月消费支出水平。 为达到此目的，将该100户家庭划分为组内收入差不多的10组，以分析每一收入组的家庭消费支出。

分析： （1）由于不确定因素的影响，对同一收入水平X，不同家庭的消费支出不完全相同； （2）但由于调查的完备性，给定收入水平X的消费支出Y的分布是确定的，即以X的给定值为条件的Y的条件分布（Conditional distribution）是已知的， 如： P(Y=561|X=800）=1/4。 因此，给定收入X的值Xi，可得消费支出Y的条件均值（conditional mean）或条件期望（conditional expectation）： E(Y|X=Xi) 该例中：E(Y | X=800)=561

描出散点图发现：随着收入的增加，消费“平均地说”也在增加，且Y的条件均值均落在一根正斜率的直线上。这条直线称为总体回归线。 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 每月可支配收入X（元） 每 月 消 费 支 出 Y （元）

概念： 相应的函数： 称为（双变量）总体回归函数（population regression function, PRF）。 在给定解释变量Xi条件下被解释变量Yi的期望轨迹称为总体回归线（population regression line），或更一般地称为总体回归曲线（population regression curve）。 相应的函数： 称为（双变量）总体回归函数（population regression function, PRF）。

回归函数（PRF）说明被解释变量Y的平均状态（总体条件期望）随解释变量X变化的规律。 含义： 回归函数（PRF）说明被解释变量Y的平均状态（总体条件期望）随解释变量X变化的规律。 函数形式： 可以是线性或非线性的。 例2.1中，将居民消费支出看成是其可支配收入的线性函数时: 为一线性函数。其中，0，1是未知参数，称为回归系数（regression coefficients）。 。

讨论：寻找一条最优拟合直线 对于一条直线，我们可以用以下的方程, y=a+bx 来拟合数据。 这符合实际情况吗? 不符合。所以我们要在这个方程里加入一个挠动项， u。 yt =  + xt + ut 式中 t = 1,2,3,4,5

为什么要加入挠动项? 挠动项能够反映数据的一些特征: - 我们经常会忽略一些影响 yt 的某些确定的因素。

三、随机扰动项 总体回归函数说明在给定的收入水平Xi下，该社区家庭平均的消费支出水平。 但对某一个别的家庭，其消费支出可能与该平均水平有偏差。 记 称i为观察值Yi围绕它的期望值E(Y|Xi)的离差（deviation），是一个不可观测的随机变量，又称为随机干扰项（stochastic disturbance）或随机误差项（stochastic error）。

由于方程中引入了随机项，成为计量经济学模型，因此也称为总体回归模型。 例2.1中，个别家庭的消费支出为： (*) 即，给定收入水平Xi ,个别家庭的支出可表示为两部分之和: （1）该收入水平下所有家庭的平均消费支出E(Y|Xi)，称为系统性（systematic）或确定性（deterministic)部分。 （2）其他随机或非确定性（nonsystematic)部分i。 （*）式称为总体回归函数（方程）PRF的随机设定形式。表明被解释变量除了受解释变量的系统性影响外，还受其他因素的随机性影响。 由于方程中引入了随机项，成为计量经济学模型，因此也称为总体回归模型。

随机误差项主要包括下列因素的影响： 1）在解释变量中被忽略的因素的影响； 2）变量观测值的观测误差的影响； 3）模型关系的设定误差的影响； 4）其它随机因素的影响。 产生并设计随机误差项的主要原因： 1）理论的含糊性； 2）数据的欠缺； 3）节省原则。

四、样本回归函数（SRF） 问题：能从一次抽样中获得总体的近似的信息吗？如果可以，如何从抽样中获得总体的近似信息？ 总体的信息往往无法掌握，现实的情况只能是在一次观测中得到总体的一个样本。 问题：能从一次抽样中获得总体的近似的信息吗？如果可以，如何从抽样中获得总体的近似信息？ 例2.2：在例2.1的总体中有如下一个样本， 问：能否从该样本估计总体回归函数PRF？ 回答：能

核样本的散点图（scatter diagram)： 样本散点图近似于一条直线，画一条直线以尽好地拟合该散点图，由于样本取自总体，可以该线近似地代表总体回归线。该线称为样本回归线（sample regression lines）。 记样本回归线的函数形式为： 称为样本回归函数（sample regression function，SRF）。

样本回归函数的随机形式/样本回归模型： 同样地，样本回归函数也有如下的随机形式： 由于方程中引入了随机项，成为计量经济模型，因此也称为样本回归模型（sample regression model）。

▼回归分析的主要目的：根据样本回归函数SRF，估计总体回归函数PRF。 即，根据 估计 注意：这里PRF可能永远无法知道。

简单回归: 例1 假设对于一个管理基金的投资组合 (“基金 XXX”)的超额回报和股市指数的超额回报，我们有如下的数据: 我们在直觉上认为该基金的beta应该是一个正数（理论是回归分析的导引） 因此，我们希望利用手上的数据来证实它们之间的确有这种关系。第一步，是画这2个变量的散点图。

散点图

例2 资本性资产定价模型(CAPM) yt =  + xt + ut t = 1,…,T yt : 一个股票的回报 一个投资者希望找到一个具有正的股票进行投资（在金融理论中，如果市场是有效（均衡）的话， =0。 > 0 ，意味着现价低于均衡价格，股票定价过低；  <0,意味着现价低于均衡价格，股票定价过低）。

例2 (续)  度量股票对市场指数回报的反应 : 如果  >1，当市场指数回报上升时，该股票的回报比市场上升得快，当市场指数回报下降时，该股票的回报比市场下降得快，我们称这种股票为进攻性股票。 如果  < 1，当市场指数回报上升时，该股票的回报比市场上升得慢，当市场指数回报下降时，该股票的回报比市场下降得慢，我们称这种股票为防御性股票。 如果  = 1，这种股票的回报的变化，就平均而言，与市场指数是一致的，我们称这种股票为中性股票。

确定回归系数 怎样决定  和 ? 选取  和使得数据点到拟合直线的垂直距离最小 (这样拟合直线就可以尽可能靠近数据点):

普通最小二乘法 用直线来拟合数据最常用的方法是普通最小二乘法 (ordinary least squares， OLS). 令 yt 为第t次观测到的实际数据值 回归线的拟合值 为残差（第t次观测到的实际数据值与回归线的拟合值之差）,

实际和拟合值

怎样做OLS？ 最小化 , 或者最小化 （残差的平方和）。 什么是 ? 它是第t次观测到的实际数据值与回归线的拟合值之差, yt - 最小化 , 或者最小化 （残差的平方和）。 什么是 ? 它是第t次观测到的实际数据值与回归线的拟合值之差, yt - 所以，最小化 等价于选择 和 ，使得 最小。

OLS估计式的推导 有 , 令 选择 和 ，使得 L 最小。L 对 和 求偏导，令其为0， (1) (2) (1)推出 有 和 。

OLS估计式的推导(续) 所以 或 (3) 由(2), (4) 由 (3), (5) 把(5)带入 (4),

OLS估计式的推导(续) 整理, 所以，有 这就是所谓的最小二乘法

如果一个分析家告诉你，他预期下一年的市场回报将会比无风险回报高20%，那么你预期基金 XXX 的回报将会是多少? 和 的用途 在例1中，把数据代入公式得： = -1.74 和 = 1.64. 拟合直线可以写成: 如果一个分析家告诉你，他预期下一年的市场回报将会比无风险回报高20%，那么你预期基金 XXX 的回报将会是多少? 基金XXX 回报的期望值 y = -1.74 + 1.64 * x的值, 把 x = 20 代入得: