第 9 章 線性微分方程組
9-1 一階線性微分方程組的理論 若有 n 個未知函數滿足 對 t 微分
設
且微分一矩陣即微分其每一元素，所以 於是原微分方程組可表示為 或簡寫成 (2.1)
若對所有t 值，G(t)=O，則此方程組為 齊次，且可表為 (2.2) 而O代表n1階零矩陣，即
先討論齊次方程組的以下重要性質： [證明]
再介紹線性相依與線性獨立： 線性相依 ( linear dependence)
線性獨立 ( linear independence)
基本矩陣 ( fundamental matrix)
利用此基本矩陣，則方程組 的一般解可表示為 (2.3) 上式中 為任意常數所組成的 n1矩陣
9-2 當A為常數矩陣時， 的解 嘗試令 X=heλt ，其中h為一待決定的n1 階常數矩陣，λ為一待決定的特定數。 將此建議解代入原方程式中，可得
因為 eλt 一定不等於零，所以 λ必為 A 的特徵值 h 為λ所對應的特徵向量 因此，如果能找到 n 個線性獨立的特徵 向量，以形成 n 個線性獨立解，即可求 得所要的解。
[例題1] 求以下微分方程組的通解 [解]
因此基本矩陣為 故通解為 或以分量表示為
[習題1] 求以下微分方程組的通解 [習題2] 求以下微分方程組的通解
9-2-1 當A有複數特徵值時， 的解 若A為一實數矩陣，假設 =α+iβ為 A 的一個複數特徵值，其特徵向量為 h， 則 取上式的共軛複數，可得 但是A為實數矩陣，所以
亦為 A 的特徵值 且其對應的特徵向量為 為了減少使用複數解的不方便，以下再 尋求其他實數方式的表示法
[例題2] 求以下微分方程組的通解 [解]
[習題1] 求以下微分方程組的通解 [習題2] 求以下微分方程組的通解
9-2-2 利用對角化A， 求 的解 方程組 由於A為一對角矩陣，此方程組可簡化 成三個獨立的微分方程式
而每一獨立的微分方程式可容易解得 由此可知，若方程組 中A為對角 矩陣，則可使方程組易於求解。 若A原為非對角矩陣，則只要A有n個 線性獨立的特徵向量，也可使A經轉 換後，變成另一對角矩陣。
假設 nn 矩陣 A 的有n個獨立的特徵向量 h1, h2, …, hn，其對應的特徵值分別為 1, 2,…,n。 令 nn 矩陣 P 的 n 個行是由矩陣A的n個 特徵向量所組成，即
而原方程組的通解為 即原方程組的基本矩陣為 注意在此過程中，不須去計算P−1， 只須用到P及ΩD即可。
[例題3] 利用對角化方法求微分方程組 的通解 [解] A的特徵值與特徵向量為
[習題1] 利用對角化方法求微分方程組 的通解 [習題2] 利用對角化方法求微分方程組 的通解
以上定理與常微分方程式的解頗相似，即 非齊次方程組的一般解為齊次解與任一特 解之和。
齊次解 特解 一般解(或稱通解) 求特解的方法可用參數變化法 或 對角化矩陣法
9-3-1 參數變化法 假設特解 (t)=(t)U(t) ，其中為X'=AX 的一個基本矩陣，U(t)為待決定的 n1階 將此解代入方程式 X'=AX+G中，可得
[例題4] 試解方程組 [解]
[習題1] 利用參數變化法，試解方程組 [習題2] 利用參數變化法，試解方程組
9-3-2 利用對角化A， 求 的解 令 nn 矩陣 P 的 n 個行是由矩陣A的n個 特徵向量所組成，即
令
因此可得一非耦合方程組，而可寫成 獨立解此n個一階微分方程式，再經變數 轉換 X=PZ，即可得解。
[例題5] 試解方程組 [解]
從上式也可看出 基本矩陣 ，特解
[習題1] 利用對角化 A ，試解方程組 [習題2] 利用對角化 A ，試解方程組