第三章 集合的基本概念和运算 3.1 集合的基本概念 集合、元素、子集、包含、集合相等、真子集、空集、幂集、全集 3.2 集合的基本运算 并集、交集、相对补集、绝对补集、对称差、文氏图、算律、 3.3 集合中元素的计数 基数、有(无)穷集、包含排斥原理

集合的基本概念和运算 集合的定义 关系 （相等、 包含） 表示 3.3 集合元素的计数 3.2 集合的基本运算 ∪ ,∩, —, ~,

集合(set)的概念 把具有共同性质的一些东西，汇集成一个整体，就形成一个集合。 由确定的相互区别的一些对象组成的整体称为集合 可确定的可分辨的事物构成的整体 例：教室内的桌椅、图书馆的藏书、全国的高等学校、自然数的全体、直线上的点、26个英文字母、

元素 集合内的对象称为元素 集合通常用大写英文字母标记。例如，N代表自然数集合（包括0），Z代表整数集合，Q代表有理数集合，R代表实数集合，C代表复数集合。

趣味思考 任意自然数都可以表示为两个自然数的平方差吗? 请严谨、详细分析说明.

集合的表示 列举法： A={a,b,c,d} 描述法： B={X∣P(x)} P(x) 是谓词，概括集合中元素属性 B={x∣x∈Z∧3＜X≤6} 即B={4，5，6} 元素a属于集合A，记作a∈A。 元素a不属于集合A ，记作a A (元素无次序、不重复)

集合的例子 The set of positive integers and zero 自然数集 The set of all integers(positive and negative integers and zero) 整数集 the set of all positive integers Z+=正整数集 The set of all rational numbers 有理数集 the set of real number 实数集 A={a, {b,c}, d, {{d}} }

子 集 设A ，B是集合，如果B中的每个元素都是A中的元素，则称B是A的子集合，简称子集。这时也称B被A包含，或A包含B。记做B  A 。 子 集 设A ，B是集合，如果B中的每个元素都是A中的元素，则称B是A的子集合，简称子集。这时也称B被A包含，或A包含B。记做B  A 。 若集合 A 不包含集合B ，可表示成 包含的符号化表示为 对任何集合都有SS．

从属关系与包含关系 从属关系：集合 S 的元素a 与 集合 S 本身之间的关系， 从属关系 a∈S 包含关系：集合A与集合 B之间的关系

集合相等 定义3.2 设A，B为集合，如果A  B且B  A，则称A与B相等，记作A＝B，符号化表示为 如果A和B不相等，则记作A≠B．

实 例 判断A＝B？ 1. 2.{1,2,4}和{1,2,2,4} 3.{1,2,4}和{1,4,2} 4.{{1,2},4}和{1，4，2} 5.{1,3,5,…}和{x|x是正奇数}

真 子 集 定义3.3 设A，B为集合，如果BA且B≠A，则称B是A的真子集。记作B A。 如果B不是A的真子集，记作B A 真 子 集 定义3.3 设A，B为集合，如果BA且B≠A，则称B是A的真子集。记作B A。 如果B不是A的真子集，记作B A 判断：{0，1}、 ｛1，3}、{0，1，2}是｛0，1，2}的真子集吗？

空 集 定义3.4 不含任何元素的集合叫做空集，记作。空集可以符号化表示为 空集是客观存在的，例如， 是方程 空 集 定义3.4 不含任何元素的集合叫做空集，记作。空集可以符号化表示为 空集是客观存在的，例如， 是方程 的实数解集，因为该方程没有实数解，所以A＝

空集是一切集合的子集 定理3.1 空集是一切集合的子集． 证明： 任给集合A，由子集定义有 。

空集是唯一的 推论 空集是唯一的。 证明 假设存在空集1和2， 根据集合相等的定义得1＝2

确定下列命题是否为真 （1），（3），（4）为真， （2）为假．

求A＝{a,b,c}的全部子集 解 ：将A的子集从小到大分类： 0元子集，即空集，只有1个：。 2元子集，有3个：{a，b}，{a,c}，{b,c}。 3元子集，有1个：{a,b,c}。

幂 集 定义3.5 给定集合A，由集合A的所有子集为元素组成的集合，称为集合A的幂集，记作P(A),或 设A＝{a，b，c}，由例3.2可知 幂 集 定义3.5 给定集合A，由集合A的所有子集为元素组成的集合，称为集合A的幂集，记作P(A),或 设A＝{a，b，c}，由例3.2可知 P(A)＝{ , {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}} 若A是n元集，则P(A)有2n个元素。

实 例

全 集 定义3.6 在一个具体问题中,如果所涉及的集合都是某个集合的子集，则称这个集合为全集，记作E(或U)

L={a,b,c} 令: S={XL|X  a} ={{a}, {a, b},{a,c}, {a,b,c,}} 令: R={X | X X } 则: L , S 是X 的元素吗? R 是 R 的元素吗? ---------著名的罗素悖论

3.2 集合的基本运算 定义3.7 设A与B为集合，A与B的并集，交集，B对A的相对补集－分别定义如下： A∪B={x|(x ∈A) ∨(x ∈ B)} A∩B={X | (X ∈ A) ∧(X ∈ B)} A - B = {X | (X ∈ A) ∧(X B)} 当两个集合的交集是空集时，称它们是不交的

计算：A∪B，A∩B，A-B，B-A，C-A，B∩C

n个集合的并集和交集

表示法

绝对补集 定义3.8 设E为全集，AE，则称A对E的相对补集为A的绝对补集，记作~A，即 ~A＝E--A＝{xxExA}． ~A＝{xxA}． 例: E＝{0,1,2,3},A＝{0,1,2},B＝{0,1,2,3},C＝， 则 ~A＝{3}，~B＝，~C＝E．

对 称 差 定义3.9 A与B的对称差是 AB＝（A∪B）—（A∩B） 例: A＝{0,1,2}，B＝{2，3}， 对 称 差 定义3.9 A与B的对称差是 AB＝（A∪B）—（A∩B） 例: A＝{0,1,2}，B＝{2，3}， 则有 AB＝{0,1}∪{3}＝{0,1,3｝ 或AB＝{0,1,2,3}－{2}= {0,1,3｝

文氏图（john Venn） A B E E A B A∩B= A∪B E A B E B A A⊂B A∩B

文氏图（john Venn） E A A-B ~A A B E C AB (A∩B)-C

算 律 幂等律 结合律

算 律 交换律 A∪B=B∪A A∩B=B∩A 分配律 A ∩ (B∪C)=(A ∩B)∪(A ∩C) 算 律 交换律 A∪B=B∪A A∩B=B∩A 分配律 A ∩ (B∪C)=(A ∩B)∪(A ∩C) A ∪(B ∩C)=(A ∪ B) ∩(A ∪ C)

算 律 同一律 零律

算 律 排中律 矛盾律 吸收律

算 律 德·摩根律 双重否定律

证明 A一(B∪C)＝(A－B)∩(A－C) （对任意x ） 故 A一（B∪C）＝（A－B）∩（A－C）

集合运算性质

证明 （A一B）∪B＝A∪B ． 证明 （A—B）∪B ＝（A∩~B）∪B ＝（A∪B）∩（~B∪B） ＝（A∪B）∩E ＝A∪B

实 例 化简 : ((A∪B∪C)∩(A∪B))－((A∪(B－C))∩A) 实 例 化简 : ((A∪B∪C)∩(A∪B))－((A∪(B－C))∩A) 解 因为A∪BA∪B∪C，AA∪(B－C) (A∪B∪C)∩(A∪B) ＝A∪B， (A∪(B－C))∩A ＝A， 所以，原式是 （A∪B）－A＝B—A。

设AB，思考~A 与~B的关系 设AB，证明~B~A。 证明 已知AB， 由式（3．28）得B∩A＝A 所以 ~B∪~A＝~（B∩A）＝~A 再利用式（3.28）有 ~B~A。

已知AB＝AC，证明B＝C 证明 AB＝AC 所以 A(AB)＝A(AC）， (AA)B＝(AA)C， （结合律） 所以 B＝C （式(3.29)和（3.31)）已知AB＝AC，证明B＝C

3.3 集合中元素的计数 集合A＝{1，2，…，n}，它含有n个元素,可以说这个集合的基数是n，记作 card A＝n 空集的基数是 即｜｜＝0．

有穷集、无穷集 定义3.10 设A为集合，若存在自然数n（0也是自然数），使得｜A｜＝card A＝n，则称A为有穷集，否则称A为无穷集。 例如，{a,b,c}是有穷集，而N，Z，Q，R都是无穷集。

无穷集知多少? N，Z，Q，R都是无穷集, 他们的基数相等吗? 如何证明?

例3.9 有100名程序员，其中47名熟悉FORTRAN语言，35名熟悉PASCAI，语言，23名熟悉这两种语言。问有多少人对这两种语言都不熟悉？ 解 设A，B分别表示熟悉FORTRAN 和PASCAL 语言的程序员的集合 41 100 A B 24 23 12 35 47

题解 ｜A—B｜＝｜A｜—｜A∩B｜＝47－23＝24， 丨B－A丨＝｜B｜一丨A∩B｜＝35－23＝12， 从而得到 所以，两种语言都不熟悉的有41人。

实 例 例3.10 求在1和1000之间不能被5或6，也不能被8整除的数的个数。 例3.10 求在1和1000之间不能被5或6，也不能被8整除的数的个数。 解 设1到1000之间的整数构成全集E。A，B，C分别表示其中可被5，6或8整除的个数的集合． 在A∩B∩C中的数一定可以被5，6和8的最小公倍数［5，6，8］＝120整除. 即

题 解 A B 25 8 17 33 C

A B 25 150 100 8 17 33 600 67 C

包含排斥原理 S A2 A1

包含排斥原理 A1 8 25 17 33 A2 S A3

包含排斥原理 定理3.2 令Ai表示S中具有性质Pi的元素构成的集合, S中不具有性质P1,P2,…,Pm的元素数是

证明 等式左边是S中不具有性质P1,P2,…,Pm的元素数。我们将要证明：对S中的任何元素x，如果它不具有这m条性质，则对等式右边的贡献是⒈如果x至少具有其中的一条性质，则对等式右边的贡献是0。 设x不具有性质P1,P2,…,Pm ，那么xAi，i＝1，2，…m。对任何整数i和j，1≤i≤j≤m，都有xAi∩Aj,对任何整数i，j和k，1≤i＜j＜k≤m，都有x Ai∩Aj ∩Ak···,xA1∩A2∩A3 ,…, Am.但是x∈S，所以在等式右边的计数中它的贡献是

证 明 根据二项式定理不难得到上面式子的结果是0．

推论 在S中至少具有一条性质的元素数是 证明 将定理3．2的结果代入即可得证。

例3.11 某班有25个学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打三种球。而6个会打网球的人都会打另外一种球（指篮球或排球），求不会打这三种球的人数。 解 设会打排球、网球、篮球的学生集合分别为A，B和C，则 |A|＝12，|B|＝6，|C|＝14，|S|＝25，|A∩C|=6，|B∩C|＝5，|A∩B∩C|=2。 ｜A∩B｜＝3

例3.12 一个班里有50个学生，在第一次考试中有26人得5分，在第二次考试有21人得5分．如果两次考试中都没得5分的有17人，那么两次考试都得5分的有多少人？ 解1 设A，B分别表示在第一次和第二次考试中得5分的学生的集合，那么有 有14人两次考试都得5分．

解 2 (26—x)＋x＋（21—x）＋17＝50。 解得x＝14。

集合的基本概念和运算 集合的定义 关系 （相等、 包含） 表示 3.3 集合元素的计数 3.2 集合的基本运算 ∪ ,∩, —, ~,

作业 P73 3.3, 3.6, 3.13, 3.14, 3.15 3.16, 3.17, 3.18, 3.19