數學本質概念 容量 教科四 吳濡伊

容量是指什麼？ 要量什麼？ 如何學習量？ 如何把容量數值化進而線性化？ 用什麼方法去量？ 數學結構 容量是指什麼？ 要量什麼？ 如何學習量？ 如何把容量數值化進而線性化？ 用什麼方法去量？

容量定義 容量︰流體物質佔滿容器的最大盛載量。 液量︰指流體物質在容器中所佔據的空間。 容積：一個容器內部空間的大小。 「容器」：具有容納物質的空間。 液量︰指流體物質在容器中所佔據的空間。 容積：一個容器內部空間的大小。 體積：立體物所占的空間大小。

想一想! 水壺 浴缸裡的水 最多可裝150毫升

容量單位 容量單位的關係 單位之大小關係 1分公升＝100毫升 1公升＝10分公升＝1000毫升 1公秉＝1000公升 公秉＞公升＞分公升＞毫公升 ＊容量和液量的單位 ＊又可稱為千公升 ＊1公秉水的體積是1立方公尺

容量比較 1/3 直接比較：排在一起，直接比對液面高低。 直觀比較：當二個容器的容量差異明顯時，單用眼睛直覺可判斷哪個多。 容量比較 1/3 直接比較：排在一起，直接比對液面高低。 直觀比較：當二個容器的容量差異明顯時，單用眼睛直覺可判斷哪個多。 直接比對：當二個容器同形狀及大小時，比較二個容器的液量時，可將兩容器盡量靠近，直接比對高度。

容量比較 2/3 間接比較：使用其他工具為媒介物來比較 (1)單一媒介物的間接比較 (2)選自被比較物為媒介的間接比較 容量比較 2/3 間接比較：使用其他工具為媒介物來比較 (1)單一媒介物的間接比較 (2)選自被比較物為媒介的間接比較 (3)個別單位的間接比較：將容量數值化來比較

容量比較 3/3 普遍單位比較：全世界被普遍使用的單位， 做為個別單位比較。 容量比較 3/3 普遍單位比較：全世界被普遍使用的單位， 做為個別單位比較。 各人所用的個別單位不同，沒有一個基準，造成通訊溝通上及買賣貿易上的不方便。 因此就產生了制定適用於任何場所的共用單位，如毫升、分升、公升...。

認知結構

容量認知上的保留概念 1/2 學童在六歲之後,其保留概念(守恆概念 )才發展 容量認知上的保留概念 1/2 學童在六歲之後,其保留概念(守恆概念 )才發展 在此之前，無法了解物質經過物理轉變後，總數量、重量以及體積仍然不變 。 具有體積保留概念的學童知道物質經過變形或分割重組，其所佔有的空間大小和原來一樣。

容量認知上的保留概念 2/2 -體積保留概念-11~12歲左右之後 容量認知上的保留概念 2/2 -體積保留概念-11~12歲左右之後 變形的保留概念 將等量的水不論裝入任何容器，水量不隨容器的變形而改變。 ＝ 分割保留概念 將等量的水分別裝入若干個容器，其總水量和不變。 ＋ ＋ ＝

容量的保留概念在教育上的含意 獲得可逆性信念 等量水，不隨杯子不同而改變。 經驗互補性 即將水倒回原杯檢驗，水量一樣多。 等量水，不隨杯子不同而改變。   經驗互補性 即等量的水倒在杯底較窄的杯子中，水位會較高。

容量的掌握與初步描述 藉由容器中液量的增減 鼓勵學童用手勢配合語意來表示水量 讓學童觀察液量的顯著變化 觀察空間被物質填滿的情形 觀察容器中可再裝水的空間，以掌握容器的容量。 鼓勵學童用手勢配合語意來表示水量

容量的直接比較使用時機 學童不具體積保留概念時，不進行液量的直接比較，只進行容量的直接比較 。

容量的間接比較 拿二個空容器，詢問學童哪一個容器的容量較大 將水倒入容器中，直到裝滿後進行比較。 一個容器先裝滿水，再倒入另一個容器進行比較。

容量的測量活動 「分離量化」的測量，屬於分離量 「線性化」的測量，屬於連續量 描述被測容器的容量是幾個1分公升杯。 「幾個1分公升」就是「幾分公升」這個數學概念是容量的加法合成性與減法分解性的主要基礎知識。

容量的單位化聚活動 化聚：是二個不同階的量 化：由高階單位化成低階單位的活動 聚：由低階單位聚成高階單位 例如：把5公升 化成 50 分公升 例如：把5公升 化成  50 分公升 聚：由低階單位聚成高階單位 例如：把50分公升 聚成  5 公升。

容量概念和容積概念 兒童對固體和液體的認識是很不相同的，課程設計需讓兒童認知： 徵求兒童同意「水也是有體積的」。 討論「沉入水中的物體的體積，等於此物體所排開的水的水量，也就是水所佔空間的體積」。

綱要結構

能力指標 N-1-14能對兩個同類量作直接比較。 N-1-15能做兩個同類量的間接比較與個別單 位的比較。 理解其單位和刻度結構，並解決同單 位量的比較、加減與簡單整數倍的問題。 N-1-17能作量的估測。 N-2-18能理解容量、容積和體積間的關係。

分年細目詮釋 2-n-15 能認識容量，並作直接比較。 3-n-13 能利用間接比較或以個別單位實測的方法 比較不同容器的容量。 其關係，並作相關的實測、估測與計算。 5-n-19 能理解容量、容積和體積間的關係。

教學策略

二年級教學活動 1/2 認識容量 要了解水量的增加或減少 主要的能用手比畫杯子裡水所佔空間 二年級教學活動 1/2 認識容量 主要的能用手比畫杯子裡水所佔空間 要了解水量的增加或減少 教師在透明的器皿內，加些或減些水，讓學童討論水的變化 能用語言或手勢表示水變多或變少及說出它的原因 教學時避免出現學童不大明白的語言如“容器”“容量”及“液量”等名詞。

二年級教學活動 2/2 直觀比較 直接比對 大小差異明顯的兩個容器，裝滿水，讓學生討論哪一個可以裝得比較多？ 二年級教學活動 2/2 直觀比較 大小差異明顯的兩個容器，裝滿水，讓學生討論哪一個可以裝得比較多？ 直接比對 同形狀及大小的兩容器，裝滿水，並將容器分離遠些，無法直觀比較，讓學童討論哪一個裝得比較多？

三年級教學活動 透過倒水活動，討論液量保留現象 變形保留概念 分割保留概念。 使用分升刻度單位的工具，報讀液面所在刻度描述液量 液量整分升及非整分升 使用以某量為刻度單位工具。

四年級教學活動 1/2 透過倒水活動比較兩個容器的容量(間接比較)： 以“容量”的語詞描述容器的容量。 以某量為個別單位，比較兩個容器的容量 四年級教學活動 1/2 透過倒水活動比較兩個容器的容量(間接比較)： 能說明或演示如何比較的方法，只要說明或方法合理，什麼策略都可以。 以“容量”的語詞描述容器的容量。 以某量為個別單位，比較兩個容器的容量 倒入法 個別單位比較與實測

四年級教學活動 2/2 將容器內的液體倒入以毫升為刻度單位的量杯，報讀液量 某量為個別單位，比較兩個容器的容量 使用某量為刻度單位工具 四年級教學活動 2/2 將容器內的液體倒入以毫升為刻度單位的量杯，報讀液量 使用某量為刻度單位工具 某量為個別單位，比較兩個容器的容量 倒出法 個別單位比較與實測

評量範例

低年級評量試題 這是兩個相同容量的杯子，請在水量較多的杯子下打勾 ( ) ( )

中年級評量試題 填填看， 代表1分公升的水，每個容器可裝多少水？ ( 5 )分公升 ( 8 )分公升

高年級評量試題 大花瓶的容量是8公升，小花瓶的容量是3公升，3個大花瓶和5個小花瓶的容量合起來是多少公升？ 8×3＝24 3×5＝15 24＋15＝39 A：39公升

報告結束 謝謝各位