电路基础 第一章 基本概念和基本规律 上海交通大学本科学位课程

能正确和熟练地应用KCL和KVL列写电路方程 §1.2 基尔霍夫定律 基本要求： 牢固掌握基尔霍夫定律 能正确和熟练地应用KCL和KVL列写电路方程

§1.2 基尔霍夫定律 基尔霍夫定律概括了电路中电流和电压分别遵循的基本规律，是用以分析和计算电路的基本依据。 §1.2 基尔霍夫定律 基尔霍夫定律概括了电路中电流和电压分别遵循的基本规律，是用以分析和计算电路的基本依据。 KCL适用于电路中的任一“节点”， KVL适用于电路中的任一“回路”。 1、有关术语 （1）支路：二端元件 （2）节点：元件的端点 （3）回路：电路中任一闭合路经 （4）网孔：内部不含组成回路以外支路的回路 （5）网络：含元件较多的电路

§1.2 基尔霍夫定律 网孔的概念仅适用于平面电路。平面电路是指支路间没有交叉点的电路。右图为非平面电路。

§1.2 基尔霍夫定律 2、基尔霍夫电流定律 （基尔霍夫第一定律） KCL 对于任一集中参数电路中的任一节点，在任一瞬间，流出（或流入）该节点的所有支路电流的代数和等于零。 KCL反映了电路中会合到任一节点的各电流间相互约束关系。

§1.2 基尔霍夫定律 请同学们现在列写 根据KCL写出的电路方程称为KCL方程 §1.2 基尔霍夫定律 对右图所示电路应用KCL, 取流出节点的支路电流为正，流入节点的支路电流为负，则有 请同学们现在列写 根据KCL写出的电路方程称为KCL方程 KCL的实质是电流连续性原理在集中参数电路中的表现。所谓电流连续性：在任何一个无限小的时间间隔里，流入节点和流出节点的电流必然是相等的，或在节点上不可能有电荷的积累，即每个节点上电荷守恒。

§1.2 基尔霍夫定律 KCL的重要性和普遍性还体现在该定律与电路中元件的性质无关，即不管电路中的元件是R、L、C、M、受控源、电源，也不管这些元件是线性、时变、非时变、… KCL的也适用于广义节点，即适合于一个闭合面。右图所示电路，根据KCL设流入节点的电流为负，则 -i1-i2-i3=0 应用KCL时必须注意和电流的两套符号打交道。

§1.2 基尔霍夫定律 3、基尔霍夫电压定律 对于任一集中参数电路中的任一回路，在任一瞬间，沿该回路的所有支路电压的代数和等于零。 §1.2 基尔霍夫定律 3、基尔霍夫电压定律 （基尔霍夫第二定律）KVL 对于任一集中参数电路中的任一回路，在任一瞬间，沿该回路的所有支路电压的代数和等于零。 KVL反映了回路中各支路电压间的相互约束关系。 应用KVL时，应指定回路的绕行方向(可任意选取，可取顺时针方向，也可取逆时针方向)。当支路电压的参考方向与回路绕行方向一致时，该支路电压取正号，反之取负号。

§1.2 基尔霍夫定律 请同学们现在列写 根据KVL写出的电路方程称为KVL方程 §1.2 基尔霍夫定律 对右图所示电路应用KVL, 取支路电压方向与回路方向一致时为正，否则为负，则有： 请同学们现在列写 根据KVL写出的电路方程称为KVL方程 KVL实质上是能量守恒定律在集中参数电路中的反映。单位正电荷在电场作用下，由任一点出发，沿任意路经绕行一周又回到原出发点，它获得的能量（即电位升）必然等于在同一过程中所失去的能量（即电位降）。

§1.2 基尔霍夫定律 例：右图所示电路中Ec=12V，Rc=5kΩ，Re=1 kΩ，Ic=1mA，Ib=0.02mA， §1.2 基尔霍夫定律 KVL的重要性和普遍性也体现在该定律与回路中元件的性质无关。 KCL 、KVL只对电路中各元件相互连接时，提出了结构约束条件。因此，对电路只要画出线图即可得方程。 例：右图所示电路中Ec=12V，Rc=5kΩ，Re=1 kΩ，Ic=1mA，Ib=0.02mA， 求：Uce及c点、e点的电位c、 e。 请同学们现在求解

§1.3 从网络到图 基本要求： 初步建立网络图论的概念 图、连通图和子图的概念 树、回路和割集的概念 树的选取，基本回路和基本割集的选取

§1.3 从网络到图 1、网络图论概论 图论是数学领域中一个十分重要的分支，这里所涉及的只是图论在网络中的应用，称网络图论。网络图论也称网络拓扑。 为在计算机上系统地列出一个复杂网络的方程以便分析，就要用到网络图论和线性代数的一些概念。 随着计算机的发展，网络图论已成为计算机辅助分析中很重要的基础知识，也是网络分析、综合等方面不可缺少的工具。

§1.3 从网络到图 2、图及其概念 图论是数学家欧拉创始的。1736年欧拉解决了有名的难题，肯尼希堡城七桥问题。该镇的普雷格尔河中有两个小岛，共有七座桥与两岸彼此连通，问题：从陆地或岛上任一地方开始，能否通过每座桥一次且仅仅一次就能回到原地。 欧拉用顶点表示陆地区域，用联接相应顶点的线段表示各座桥（如左图），于是七桥问题就变为一道数学问题：在左图中是否可能连续沿各线段，从某一始点出发只经过各线段一次且仅仅一次又回到出发点，即是否存在一条“单行曲线”。

附录：欧拉(Euler)   欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家。1707年4月15日出生於瑞士的巴塞尔，1783年9月18日於俄国彼得堡去逝。欧拉出生於牧师家庭，自幼受父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获硕士学位。   欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学中的经典著作。

§1.3 从网络到图 欧拉得出了一般结论，即存在单行曲线的必要、充分条件是奇次顶点（联接于顶点的线段数为奇数）的数目为0。显然右图不满足此条件，因此，七桥问题的答案是否定的。 在七桥问题中，欧拉用点表示陆地，用线段表示桥。图论中，把一些事物及其之间的联系用点和连接于点与点之间的线段来表示，因此，图就是一些点与线段的集合。

§1.3 从网络到图 在网络图中，将支路用线段表示，支路间的连接用点表示。 网络图论中的一条标准支路

§1.3 从网络到图 右图网络的网络图中包含有两个独立部分。虽然网络中存在互感，但在网络图中并不反映出磁耦合M，因为M属于网络中支路的特性，而不属于网络图的性质。 一个网络图可以有多个独立部分。 左面两个图，上面的图中包含有一个单独节点，下面的图中有一条支路的两端终止在同一个节点上，称“自环”。这些情况都属于图，但对“自环”图，将不作讨论。

§1.3 从网络到图 网络图：一组节点和一组支路的集合，且每条支路的两端终止在两个节点上（排除了“自环”情况） §1.3 从网络到图 网络图：一组节点和一组支路的集合，且每条支路的两端终止在两个节点上（排除了“自环”情况） 有向图：若图中的一组支路都标有方向，则这样的图称有向图。 子图：存在网络图G，若G1中的每个节点和每条支路就是G中的节点和支路，则G1是G的子图。也即若存在图G，则可从G中删去某些支路或某些节点，得到子图G1。

§1.3 从网络到图 连通图与非连通图: 当图G的任意两个节点之间至少存在着一条由支路构成的通路，这样的图就称连通图，如左上图，否则就是非连通图，如左中图和左下图所示。 一个连通图也可以说成是一个独立部分，一个非连通图至少有两个独立部分，而每个独立部分又是一个连通的子图。

§1.3 从网络到图 回路：回路是一条闭合的路经。确切地说，有图G，存在一个子图G1，且 ①G1是连通的， §1.3 从网络到图 回路：回路是一条闭合的路经。确切地说，有图G，存在一个子图G1，且 ①G1是连通的， ②G1中与每个节点关联的支路数恰好是2条。 对每个回路，可根据KVL，写出Σu=0 的回路方程。

§1.3 从网络到图 树：一个连通图G的一个子图，如果满足下列条件就称为G的一棵树：①连通的，②没有回路，③包括G的全部节点。 §1.3 从网络到图 树：一个连通图G的一个子图，如果满足下列条件就称为G的一棵树：①连通的，②没有回路，③包括G的全部节点。 构成树的支路称树支，其余的支路称连支。右图中1、2、3号支路与所有节点构成树T，4、5、6号支路为连支。 左图中2、4、6号支路与全部节点构成树T，1、3、5号支路为连支。

§1.3 从网络到图 同一个图G，可选择不同的树。设图G有n个节点，如果任意两个节点之间都有一条支路联接，则可选出nn-2个不同的树。 §1.3 从网络到图 同一个图G，可选择不同的树。设图G有n个节点，如果任意两个节点之间都有一条支路联接，则可选出nn-2个不同的树。 右图中有n = 4个节点，所以可找到42 = 16种树（树数的一般计算式子为detAAT，其中A为图的降阶关联矩阵）。

§1.3 从网络到图 割集：割集是一组不包括节点的支路集合。有一连通图G，存在一组支路集合，如果留下任一支路不取掉，则剩下的图仍然是连通的，换言之，割集是一极小支路集。 取走割集将使连通图分成两个独立部分，可以抽象地用高斯面（闭合面）将某一独立部分包围起来，由高斯面所切割的一组支路，就是割集。 左图所示高斯面切割的1、4、5号支路构成割集。

§1.3 从网络到图 在网络图中，可以将闭合面看作一个广义节点。根据KCL，流出或者流入高斯面的支路电流的代数和为零，即流经一组割集的电流的代数和为零  Σi=0 闭合面如何封闭是任意的（这主要是观察位置不同，若在图内观察，则高斯面把圈外部分闭合），封闭面一旦闭合，一般以流出高斯面的电流为正，流入为负，因此也可认为割集有方向，一般取由闭合面里面指向外面为正方向。

§1.3 从网络到图 有些图，某些割集不便用高斯面，如下左图中的1、2、3、4号支路就不能用高斯面切割，这时可改变一下图的画法。 §1.3 从网络到图 有些图，某些割集不便用高斯面，如下左图中的1、2、3、4号支路就不能用高斯面切割，这时可改变一下图的画法。 有些图，与高斯面相交的支路集不是割集。如右图中的支路1、2、3、4，当这些支路取走后，将出现三个独立部分。一般来说，如果图G具有S个独立部分，取走一组割集后，图所应具有S+1个独立部分。

§1.3 从网络到图 3、图论的基本定理 在G的任何两个节点之间，总有由T的树支组成的唯一路经。 §1.3 从网络到图 3、图论的基本定理 若给定一个具有nt个节点，b条支路的连通图G及G的一个树T。 在G的任何两个节点之间，总有由T的树支组成的唯一路经。 若不考虑根节点(或起始节点)，每条树支都有一个终止节点，则树支数n=nt-1，连支数l=b- ( nt-1)=b-nt+1 每条连支都可以和一些树支构成一个唯一的回路(因为树本身没有回路，增加一条连支，就可得一个回路)，即l= b-nt+1个回路，并称单连支回路(也称基本回路)。

§1.3 从网络到图 每条树支都能和一些连支构成唯一的割集，共有n=nt-1个单树支割集(基本割集)(∵树本身是连通的，当取走一条树支后，树就分成两个独立部分，∴一条树支和一些连支能构成一个割集) 一个网络的网络图有nt-1个基本割集，运用KCL可得nt-1个独立的基本割集方程。 一个网络的网络图有b-nt+1个基本回路，由KVL可得b-nt+1个独立的基本回路方程。 每条支路都有一个支路约束方程，b条支路就有b个约束方程。

§1.3 从网络到图 因此，一个网络总共可以有2b个独立方程。 对每条支路来说，涉及两个网络变量，ik和uk，共有2b个变量。 §1.3 从网络到图 因此，一个网络总共可以有2b个独立方程。 对每条支路来说，涉及两个网络变量，ik和uk，共有2b个变量。 由于独立方程数和网络变量数相等，完全可由2b个独立方程求出2b个未知变量。

§1.4 KCL、KVL的矩阵形式 基本要求： 掌握关联矩阵和降阶关联矩阵 用降阶关联矩阵表示的KCL和KVL的矩阵形式

§1.4 KCL、KVL的矩阵形式 1、KCL的矩阵形式（系统分析方法） 右上图所示为一个直流电阻电路N，可得其拓扑图，如右下图所示。 从拓扑图中知，支路1与节点①和节点④关联，支路2与节点①和节点②关联，…，由此可以得到一个节点对支路的关联矩阵Aa

§1.4 KCL、KVL的矩阵形式 AaIb=0 关联矩阵 由左图，根据KCL，对每个节点列方程 Aa矩阵描述了图中节点对支路的关联关系，即Aa=(aik)

§1.4 KCL、KVL的矩阵形式 AaIb=0 就每条支路而言，电流总是从一个节点流入，从另一个节点流出，所以关联矩阵的每一列总有两个非零元素，一个是正1，一个是负1。因此，把Aa的全部行加起来将得到一行全为零，就是说， Aa的所有行不是线性独立的。 就电路方程组而言，只要把四个方程任意划去一个，剩下的三个方程就是线性无关的。因此，就Aa而言，只要划去任一行，所得矩阵就是线性独立的。

§1.4 KCL、KVL的矩阵形式 对电网络来说，总是把与参考节点对应的行划去，同样可得矩阵方程：AIb=0 ∴对nt个节点，b条支路的拓扑图而言，可得ntb阶关联矩阵Aa，Aa的秩为nt-1 在关联矩阵Aa中，任意划去一行，得矩阵A，其秩仍为nt-1，A 称为降阶关联矩阵。 对电网络来说，总是把与参考节点对应的行划去，同样可得矩阵方程：AIb=0

§1.4 KCL、KVL的矩阵形式 已知一网络图，可以求得Aa或A。同样，如果知道了Aa或A，也一定可得网络图。

§1.4 KCL、KVL的矩阵形式 Ub=ATEn 2、KVL的矩阵形式（系统分析方法） 设e1、e2、e3、e4为节点电位，u1、u2、u3、u4、u5为支路电压，并选择节点④为参考节点，即e4=0。根据KVL可得支路电压与节点电位间的关系。 Ub=ATEn

§1.5 特勒根定理 基本要求： 了解特勒根定理 了解特勒根定理和KCL、KVL的关系

§1.5 特勒根定理 特勒根定理是电路中最普遍的定理，它的不寻常之处在于，特勒根定理的导出只依据基尔霍夫两条定律，因此，不论元件的性质如何，激励的种类如何，特勒根定理总是成立的。 特勒根定理是特勒根于1952年正式提出的。特勒根定理是可以应用于非线性电路、时变电路的少数几个定理中的一个。

§1.5 特勒根定理 特勒根定理证明： 若电路降阶关联矩阵为A，则根据KVL有 对上式两边转置 两边右乘Ib得 根据KCL有AIb=0 §1.5 特勒根定理 对于具有 n个节点，b 条支路的电路，假定支路电压、电流取一致参考方向，电路中的支路电压向量Ub= (u1,u2,…,ub)T、支路电流向量 Ib= (i1,i2,…,ib)T 分别满足KVL和KCL，则 特勒根定理证明： 若电路降阶关联矩阵为A，则根据KVL有 对上式两边转置 两边右乘Ib得 根据KCL有AIb=0

§1.5 特勒根定理 可理解为各支路吸收的瞬时功率之和为0，即功率守恒，但它适用于结构相同的不同网络，所以称似功率守恒定律。 §1.5 特勒根定理 Ub和Ib并不要求是同一时刻的值 Ub和Ib可以从不同电路中测量得到，只要两个电路的结构相同，且不论各支路中的元件性质是否相同，即对N有Ub、Ib；对 有 、 则 可理解为各支路吸收的瞬时功率之和为0，即功率守恒，但它适用于结构相同的不同网络，所以称似功率守恒定律。