解排列组合问题的常用策略 数学组 白爱国

复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 种不同的方法． 1.分类计数原理(加法原理)  完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有 m1种不同的方法，在第2类办法中有m2 种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法．

2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2 种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．

解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还 是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多 少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是 组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多 少个元素. ※解决排列组合综合性问题，往往类与步交 叉，因此必须掌握一些常用的解题策略

一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安 排,以免不合要求的元素占了这两个位置 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 先排末位共有___ 然后排首位共有___ 最后排其它位置共有___ 由分步计数原理得 =288

练习题 7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？

二．分步分类计数原理综合法 例2。如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现在四种颜色可供选择，则不同的着色方法有多少种？ 解：第一步，给区域1着色方法数为 4 2 1 3 4 5 第二步，给区域2着方法数为 3 第三步，给区域3着色方法数为 2 第四步，给区域4，5着色，若区域4，2同色，则区域5有 种着色方法，若区域4，2不同色，则区域5只有 种着色方法，所以给区域4，5着色的方法有 种。 第四步，给区域4着色方法数为2 2 1 第五步，给区域5着色方法数为1 2+1

故由分步乘法计数原理，知共有4×3×2×（2+1）=72（种）着色方法。

练习题 （2008年高考）如图，一环形花坛分成A、B、C、D四块。现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） B （A）96（B）84 （C）60（D）48 A B C D

三.相邻元素捆绑策略 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用 捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并 例3. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相 邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用 捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并 为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时 要注意合并元素内部也必须排列. 甲 乙 丙 丁 由分步计数原理可得共有 种不同的排法 =480

某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为（ ） 练习题 某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为（ ） 20

元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端 四.不相邻问题插空策略 例4.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个 独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出 场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共 有 种， 第二步将4舞蹈插入第一步排 好的6个元素中间包含首尾两个空位共有 种 不同的方法 由分步计数原理,节目的 不同顺序共有 种 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端 相 独 独 独 相

练习题 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（ ） 30

五.定序问题倍缩空位插入策略 例5.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多 少不同的排法 (倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列 问题,可先把这几个元素与其他元素一起 进行排列,然后用总排列数除以这几个元 素之间的全排列数,则共有不同排法种数 是： 解: （空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外 的四人就坐共有 种方法，其余的三个 位置甲乙丙共有 种坐法，则共有 种 方法 1 思考:可以先让甲乙丙就坐吗?

（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再 把其余4四人依次插入共有 方法 4*5*6*7 定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插 空模型处理 练习题 10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要 求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？

小结 本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固。排列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。

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将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为 六.元素相同问题隔板策略 例10.有10个运动员名额，在分给7个班，每 　　班至少一个,有多少种分配方案？ 解：因为10个名额没有差别，把它们排成 　　一排。相邻名额之间形成９个空隙。 在９个空档中选６个位置插个隔板， 可把名额分成７份，对应地分给７个 班级，每一种插板方法对应一种分法 共有___________种分法。 将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为 一班 二班 三班 四班 五班 六班 七班

练习题 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一 有多少装法？