第一章 常用逻辑用语

1.1 命题及其关系 1.1.2－1.1.3　 四种命题　四种命题间的相互关系

　　1.四种命题的概念 　　一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这两个命题叫做 ，如果是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么把这样两个命题叫做 ，如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做 ，把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的 、 、 . .． 互逆命题 互否命题 互为逆否命题 逆命题 否命题 逆否命题

　　2.四种命题结构 　 3.四种命题的相互关系

4.四种命题的真假性 　　(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况 　　(2)四种命题的真假性之间的关系 　　①两个命题互为逆否命题，它们有 的真假性． 　　②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性 . 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 假 相同 没有关系

1.在四种命题中，原命题是固定的吗？ 　 提示：不是．原命题是指定的，是相对于其他三种命题而言的，可以把任何一个命题看作原命题，进而研究它的其他命题形式． 2.命题“若x＞10，则x＞0”的逆命题，否命题和逆否命题各是什么？ 　　提示：逆命题：若x＞0，则x＞10； 　　否命题：若x≤10，则x≤0； 　　逆否命题：若x≤0，则x≤10.

3.命题a的否命题是b，命题b的逆否命题是c，命题c的逆命题是d，则命题a与命题d的关系是怎样的？ 4.如果一个命题的逆命题为真命题，这个命题的否命题一定为真命题吗？ 　　提示：一定为真命题．因为一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题，所以它们的真假性相同． 5.在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况？ 　　提示：因为原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题，它们同真同假，所以真命题的个数可能为0,2,4.

考点1 命题的概念四种命题的概念 例1：写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题． (1)负数的平方是正数； (2)正方形的四条边相等． 考点1 命题的概念四种命题的概念 例1：写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题． 　　(1)负数的平方是正数； 　　(2)正方形的四条边相等． [自主解答] 　(1)原命题可以写成：若一个数是负数，则它的平方是正数． 　　逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数． 　　否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数． 　　逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数． 　　(2)原命题可以写成：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等． 　　逆命题：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形． 　　否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等． 逆否命题：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形．

　　1．由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件和结论同时否定即得否命题，将条件和结论互换的同时，进行否定即得逆否命题． 　　2．如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．

1.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题． 　　(1)无理数的平方是有理数； 　　(2)当x2＋x－6＝0时，x＝2或x＝－3. 解：(1)改写成“若一个数是无理数，则它的平方是有理数”． 　　逆命题：若一个数的平方是有理数，则它是无理数． 　　否命题：若一个数不是无理数，则它的平方不是有理数． 　　逆否命题：若一个数的平方不是有理数，则它不是无理数． 　　(2)逆命题：若x＝2或x＝－3，则x2＋x－6＝0. 　　否命题：若x2＋x－6≠0，则x≠2且x≠－3. 　　逆否命题：若x≠2且x≠－3，则x2＋x－6≠0.

考点2 四种命题及真假的判断 例2：写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假． 考点2 四种命题及真假的判断 例2：写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假． 　　(1)在△ABC中，若a>b，则A>B；(2)相等的两个角的正弦值相等； 　　(3)若x2－2x－3＝0，则x＝3； (4)若x∈A，则x∈A∩B. [自主解答] 　(1)逆命题：在△ABC中，若A>B，则a>b.真命题； 　　否命题：在△ABC中，若a≤b，则A≤B.真命题； 　　逆否命题：在△ABC中，若A≤B，则a≤b.真命题． 　　(2)逆命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等．假命题； 　　否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等．假命题； 　　逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等．真命题． 　　(3)逆命题：若x＝3，则x2－2x－3＝0.真命题； 　　否命题：若x2－2x－3≠0，则x≠3.真命题； 　　逆否命题：若x≠3，则x2－2x－3≠0.假命题． 　　(4)逆命题：若x∈A∩B，则x∈A.真命题； 　　否命题：若x∉A，则x∉A∩B.真命题； 　　逆否命题：若x∉A∩B，则x∉A.假命题．

　要写出一个命题的其他命题形式，先将命题写成“若p，则q”的形式，找到命题的条件和结论，然后根据四种命题之间关系，写出其他命题形式．

　　2．在命题“若a>－3，则a>－6” 的逆命题、否命题、逆否命题中假命题个数是________． 　　解析：容易判断，命题“若a>－3，则a>－6”为真命题，而逆否命题与原命题同真假，从而它的逆否命题也是真命题；它的否命题为“若a≤－3，则a≤－6”，是假命题，而否命题与逆命题同真假，则它的逆命题也是假命题． 　　答案：2

考点3 逆否命题的应用 例3：证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0. [自主解答] 　原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R， 　　若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．” 　　∵当a＋b<0时，a<－b，b<－a， 　　又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， 　　∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)． 　　∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)， 　　即逆否命题为真命题． 　　∴原命题为真命题．

　　由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．

证明：将“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“若m＋n>2，则m2＋n2≠2”． 　　故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题.

　　将命题“当a>0时，函数y＝ax＋b是增函数”写成“若p，则q”的形式，并写出其否命题． [错解]　“若p，则q”的形式：若a>0，则函数y＝ax＋b是增函数． 否命题：若a≤0，则函数y＝ax＋b是减函数． [错因]　对“a>0”的否定是“a≤0”，对“y＝ax＋b是增函数”的否定是“y＝ax＋b不是增函数”，而“不是增函数”与“是减函数”是有区别的，如a＝0时，y＝b不是增函数，但不能说是减函数． 　[正解]　“若p，则q”的形式：若a>0，则函数y＝ax＋b是增函数． 　　 否命题：若a≤0，则函数y＝ax＋b不是增函数．

1．命题“若一个数是负数，则它的相反数是正数”的逆命题是 (　　) 　　A.“若一个数是负数，则它的相反数不是正数” 　　B.“若一个数的相反数是正数，则它是负数” 　　C.“若一个数不是负数，则它的相反数不是正数” 　　D.“若一个数的相反数不是正数，则它不是负数” 　　解析：若原命题记作“若p，则q”，则A为“若p，则非q”；B为“若q，则p”；C为“若非p，则非q”；D为“若非q，则非p”．故B正确． 　　答案：B 2．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题，这四个命题中 (　　) 　　A.真命题的个数一定是奇数　 B.真命题的个数一定是偶数 　　C.真命题的个数可能是奇数也可能是偶数　D.以上判断均不正确 　　解析：根据四种命题间的相互关系，“原命题”与它的“逆否命题”同真假，原命题的“逆命题”与它的“否命题”同真假，故真命题是成对出现的． 　　答案：B

3．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是 (　　) 　　A.原命题、否命题　　　　　　B.原命题、逆命题 　　C.原命题、逆否命题 D.逆命题、否命题 　解析：因为原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题． 　答案：C 4.“若a>1，则a2>1”的逆否命题是________，为________(填“真”或“假”)命题． 　 答案：若a2≤1则a≤1　真　

5.有下列四个命题： 　　①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题； 　　②命题“面积相等的三角形全等”的否命题； 　　③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题； 　　④命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题． 　　其中是真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)． 　　解析：④中由A∩B＝B，应该得出B⊆A，原命题为假命题，所以逆否命题为假命题． 答案：①②③ 6.已知a，b，c∈R，证明：若a＋b＋c<1，则a，b，c中至少有一个小于 . 　　证明：原命题的逆否命题为：已知a，b，c∈R，若a，b，c都不小于 ，则a＋b＋c≥1. 　　由条件a≥ ，b≥ ，c≥ ，三式相加得a＋b＋c≥1， 　　显然逆否命题为真命题．所以原命题也为真命题． 　　即已知a，b，c∈R，若a＋b＋c<1， 　　则a，b，c中至少有一个小于 .

一、选择题 1．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的 (　　) 　　A．逆否命题 B．逆命题　　C．否命题 D．原命题 　　解析：设命题p为：“若m，则n”则r为“若非m，则非n”，s为“若非n，则非m”是p的逆否命题． 　　答案：A

(2)“若x>y，则x2>y2”的逆否命题； (3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题； 2.有下列四个命题： 　　(1)“若x2＋y2＝0，则xy＝0”的否命题； (2)“若x>y，则x2>y2”的逆否命题； 　　(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题； (4)“对顶角相等”的逆命题． 　　其中真命题的个数是 (　　) 　　A．0 B．1 C．2 D．3 　　解析： (1) 假 原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，其逆命题为“若xy＝x2＋y2＝0”，为假命题 (2) 原命题与其逆否命题具有相同的真假性．而原命题为假命题（如x＝0,y＝－1），故其逆否逆命题为假命题 (3) 该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，很明显为假命题 (4) 该命题的逆命题是“相等的角是对顶角”，显然是假命题

3．下列说法中错误的个数是 (　　) 　　①命题“余弦函数是周期函数”的否命题是“余弦函数不是周期函数”； 　　②命题“若x>1，则x－1>0”的否命题是“若x≤1，则x－1≤0”； 　　③命题“两个正数的和为正数”的否命题是“两个负数的和为负数”； 　　④命题“x＝－4是方程x2＋3x－4＝0的根”的否命题是“x＝－4不是方程x2＋3x－4＝0的根”． 　　A．1 B．2 C．3 D．4 　　解析：①错误，否命题是“若一个函数不是余弦函数，则它不是周期函数”；②正确；③错误，否命题是“若两个数不全为正数，则它们的和不为正数”；④错误，否命题是“若一个数不是－4，则它不是方程x2＋3x－4＝0的根”． 　　答案：C

4．(山东高考)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是(　　) 　　A.若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3 　　B.若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3 　　C.若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3 　　D.若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3 　　解析：a＋b＋c＝3的否定是a＋b＋c≠3，a2＋b2＋c2≥3的否定是 a2＋b2＋c2<3. 　　答案：A

二、填空题 5.命题“若x>y，则x3>y3－1”的逆否命题是________． 　　答案：若x3≤y3－1，则x≤y 6．给定下列命题： 　　①“若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0”有实根； 　　②“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题． 　　其中真命题的序号是________． 　　解析：①Δ＝4＋4k＞0，∴是真命题． 　　②否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，是真命题． 　　答案：①②

7.在空间中，①若四点不共面，则这四点中的任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是________(把符合要求的命题序号都填上)． 　　解析：①中的逆命题是若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．不正确，如▱ABCD的四个顶点中任何三点都不共线，但A、B、C、D四点共面．②中的逆命题是：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点．由异面直线的定义知，成异面直线的两条直线不会有公共点，所以②的逆命题是真命题． 　　答案：② 8.在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________． 　　解析：逆命题为“若A∩B≠A则A∪B≠B”， 　　否命题为“若A∪B＝B则A∩B＝A”， 　　逆否命题为“若A∩B＝A则A∪B＝B”， 　　全为真命题． 　　答案：4

三、解答题 9.将命题“正偶数不是素数”改写为“若p，则q”的形式，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假． 解：原命题：若一个数是正偶数，则这个数不是素数，是假命题； 　　逆命题：若一个数不是素数，则这个数是正偶数，是假命题； 　　否命题：若一个数不是正偶数，则这个数是素数，是假命题； 　　逆否命题：若一个数是素数，则这个数不是正偶数，是假命题． 10.判断命题“已知a，x为实数，如要关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假． 解：∵若关于x的不等式解集非空， 　　∴(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a2＋4a＋1－4a2－8 　　＝4a－7≤0.即a≤ . 　　∴原命题为假命题． 　　又∵原命题与逆否命题具有相同的真假性， 　　∴其逆否命题为假命题．