1.1.1 四种命题

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1.通过实例了解命题的概念，会判断命题的真假. 2.了解四种命题及它们之间的关系. 3.能应用原命题与其逆否命题的等价性来判断命题的真假.

1.本课的重点是命题的概念，会判断命题的真假. 2.本课的难点是四种命题及四种命题之间的关系，以及根据原命题与其逆否命题的等价性判断命题的真假.

1.命题的概念 真假 判断为真 能够判断______的语句. 真命题是__________的语句. 定义 命题 分类 若p则q 判断为假 形式通常记为：_________. 假命题是_________的语句.

2.原命题与逆命题 (1)关系是：_____与_____互换； (2)结构形式是：若原命题为“若p则q”，则逆命题为 ___________； (3)结论：这两个命题叫做_________. 条件 结论 “若q则p” 互逆命题

3.原命题与否命题 (1)关系：条件与结论都要_____； (2)结构形式：若原命题为“若p则q”，则否命题为 ________________; (3)结论：这两个命题叫做_________. 否定 “若非p则非q” 互否命题

4.原命题与逆否命题 (1)关系是：条件与结论既要_____，又要_____； (2)结构形式是：若原命题为“若p则q”，则逆否命题为： _______________； (3)结论：这两个命题叫做_____________. 否定 互换 “若非q则非p” 互为逆否命题

5.四种命题的相互关系 互逆 互为 逆否 互为 逆否 互否 互否 互逆 逆命题： 原命题： 若q则p 若p则q 否命题： 逆否命题： 互为 逆否 互为 逆否 互否 互否 否命题： 若非p则非q 逆否命题： 若非q则非p 互逆

6.四种命题的真假性 (1)互逆命题或互否命题：它们的真假性的关系是:_________. (2)互为逆否命题 ①原命题与它的逆否命题真假性的关系是:有_______真假性; ②逆命题与否命题真假性的关系是:有_______真假性，即互为 逆否命题具有相同的_______. 没有关系 相同的 相同的 真假性

1.“若p则q”形式的命题一定是真命题吗？ 提示：不一定.因为“若p则q”只是反映命题结构的一种形式，它所表达的命题可能是真命题，也可能是假命题.如“若两个角相等，则这两个角是对顶角”就是假命题.

2.如何判断四种命题的真假? 提示：判断四种命题的真假可以依据所学数学知识分别进行;一个更可行的办法是根据互为逆否命题的等价命题具有相同的真假性,只需判断原命题和逆命题的真假.

3.命题“若a＞b,则a-8＞b-8”的逆否命题是_____________，此命题是________(填“真命题”或“假命题”). 【解析】依据逆否命题的书写形式给出答案，判断逆否命题的真假可以直接判断原命题的真假,题中所给的原命题是真命题,所以其逆否命题也是真命题. 答案：“若a-8≤b-8,则a≤b” 真命题

1.对命题的三点认识 (1)命题基本结构 在数学中，命题的表达形式主要有以下几种：①“若p则q”；②“如果p，那么q”；③“只要p，就有q”；④“当p，就有q”.

(3)命题的性质 一个命题要么是真，要么是假，但不能既真又假，也不能模棱两可、无法判断其真假.

2.猜想与命题的关系 有一些语句，虽然目前还不能判断它的真假，但是随着科学技术的发展与时间的推移，总能确定它们的真假.我们把这一类语句也算作命题，如“神农架有野人”，虽然目前还不能确定有没有野人，但随着时间的推移，人们是能够考察清楚的.

3.四种命题的理解 (1)互逆命题是“换位不换质”，即原命题的条件和结论变为逆命题的结论和条件. (2)互否命题是“换质不换位”， 即原命题的条件和结论的否定成为否命题的条件和结论. (3)互为逆否命题是“既换位又换质”， 即原命题的条件和结论的否定变为逆否命题的结论和条件.

4.关于命题的条件及结论的否定 在对原命题的条件和结论进行否定时，一定要注意问题的全面性，千万不能遗漏或者重复，如“a>b”的否定是“a≤b”，而不是“a<b”.

5.四种命题的真假性

6.四种命题判断的要求 (1)写一个命题的逆命题、否命题和逆否命题要分清命题的条件和结论，然后按照它们的概念去改写. (2)如果给出相类似的由p、非p、q、非q构成的命题，除了应用好定义外，还可以根据它们的关系来认识.

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命题与命题的真假判断 【技法点拨】 1.判断一个语句是否是命题的基本思路 判断一个语句是否是命题，关键是看这个语句是否具备命题的特征：能判断真假.

2.判断命题的真假的方法 (1)判断真命题：判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时，要有推理依据，有时应综合各种情况作出正确的判断. (2)判断假命题：判断一个命题为假命题，只需要举出一个反例即可.

1.下列语句是命题的是_______. (1) 是有理数； (2)若a与b是无理数，则ab是无理数； (3)3x2≤5； (4)梯形是不是平面图形呢？ (5)x2-x+7＞0； (6)8≥10.

2.判断下列语句是否是命题，若是,并判断命题的真假. (1)等边三角形是等腰三角形； (2)一个数不是正数就是负数； (3)大角所对的边大于小角所对的边； (4)x+y为有理数，则x,y也都是有理数； (5)作△ABC∽△A1B1C1； (6)这件衣服真漂亮啊！

【解析】1.(1)“ 是有理数”能判断真假，是命题； (2)“若a与b是无理数，则ab是无理数”能判断真假，是命题； (3)“3x2≤5”不能判断真假，不是命题； (4)“梯形是不是平面图形呢？”表示疑问的句子，不能判断真假，不是命题； (5)∵x2-x+7=0中Δ＜0，∴x2-x+7＞0是真的，是命题； (6)8≥10是假的，是命题. 答案：(1)(2)(5)(6)

2.(1)对等边三角形是等腰三角形作出判断，是命题且为真命 题； (2)能作出判断，是命题,0既不是正数也不是负数，是假命 (3)能作出判断,是命题，没有指明在同一个三角形或全等三角 形中，是假命题； (4)是假命题，如 (5)(6)都不是命题.

【想一想】(1)一个命题会不会既是假命题又是真命题？ (2)判断题2(3)真假的关键是什么？ 提示：(1)不会.一个命题要么是真的，要么是假的，不能既真又假，也不能模棱两可、无法判断其真假. (2)判断其真假的关键是要有理有据，联系相应数学知识来判断.

【变式训练】判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由. (1)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列. (2)求证：若x∈R，方程x2-x+2=0无实根. (3)垂直于同一个平面的两条直线必平行吗？ (4)当x=4时，2x+1<0.

【解题指南】依据命题的定义判断是否为命题，依据所学知识点判断命题的真假. 【解析】(1)是命题，当等比数列的首项a1<0，公比q>1时，该数列为递减数列，因此该命题是一个假命题. (2)不是命题，它是祈使句. (3)不是命题，它是一个疑问句，没有作出判断. (4)是命题，能判断真假，它是一个假命题.

命题的结构 【技法点拨】 确定命题的条件和结论的方法 “若p则q”这种形式是数学中命题的基本结构形式，也有一些命题的叙述比较简洁，并不是以“若p则q”这种形式给出的，这时，首先要确定命题的条件和结论，若条件和结论比较隐含，还需要把这个命题补充完整后再进行改写.

【典例训练】 1.把“在同一个平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行”改为“若p则q”的形式是________________. 2.将下列命题写成“若p则q”的形式，并判断真假. (1)实数的平方是非负数； (2)等底等高的两个三角形是全等三角形； (3)当ac＞bc时，a＞b； (4)角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

【解析】1.此命题中的条件是：在同一个平面内，两条直线平行于同一条直线；结论是：这两条直线互相平行. 改为“若p则q”的形式是：在同一个平面内，若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线互相平行.

答案：在同一个平面内，若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线互相平行 2.(1)若一个数是实数，则它的平方是非负数；真命题. (2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形；假命题. (3)若ac＞bc，则a＞b；假命题. (4)若一个点是一个角的平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等；真命题.

【想一想】(1)数学中常见的两类命题是什么? (2)命题改写中常见的错误有哪些？ 提示：(1)数学中常见的两类命题是判定型和性质型，在将这两种命题改写为“若p则q”的形式时，要注意对命题中条件的正确理解. (2)命题改写中常见的错误是对命题的条件和结论把握不准确.

【变式训练】将下列命题写成“若p则q”的形式. (1)当(a-b)2+(c-d)2=0时，a=b且c=d； (2)已知x,y为正整数，当y=x+1时，y=3，x=2； (3)当m＞ 时，mx2-x+1=0无实数根； (4)负数的立方是负数.

【解析】(1)若(a-b)2+(c-d)2=0，则a=b且c=d； (2)已知x,y为正整数，若y=x+1，则y=3，x=2； (3)若 则mx2-x+1=0无实数根； (4)若一个数是负数，则这个数的立方是负数.

四种命题的真假判断 【技法点拨】 判断四种命题的真假的两种方法 (1)直接法. (2)转化法.由于互为逆否命题的真假具有等价性，因而在判断四种命题的真假时，可以转化为先判断原命题和逆(否)命题的真假，再利用互为逆否命题的真假具有等价性即可完成.

【典例训练】 1.命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是_______.

2.有下列四个命题： ①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题； ②“相似三角形的周长相等”的否命题； ③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命 题； ④“若A∪B＝B，则A B”的逆否命题． 其中的真命题是______(把所有真命题的序号填在横线上).

【解析】1.因为原命题是真命题，而它的逆命题是假命题，所以它的否命题是假命题，逆否命题是真命题,故真命题有2个. 答案：2

2.①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为 否命题是“若两个三角形不相似，则它们的周长不相等”，是 假命题；③判别式Δ=-4b，若b≤-1，则Δ＞0,有实根，原命 题为真，逆否命题也为真；④若A∪B=B，则A B是假命题， 所以它的逆否命题也是假命题. 答案：①③

【互动探究】若将题2中③“方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”改为“方程x2－2bx＋b2＋b＝0有两个不相等的实根”，其他条件不变，判断它的逆否命题的真假.

【解题指南】先找出“方程x2－2bx＋b2＋b＝0有两个相等的实根或者没有实根”的等价条件，然后再判断. 【解析】本命题的逆否命题是“若方程x2－2bx＋b2＋b＝0有两个相等的实根或者没有实根，则b>－1”.因为方程x2－2bx＋b2＋b＝0有两个相等的实根或者没有实根，所以Δ≤0⇔(-2b)2-4(b2+b)≤0⇔b≥0⇒b>-1，所以本命题的逆否命题是真命题.

【想一想】在本题2中的①,②的四种命题的真假性怎样？它们的真假性说明了什么？ 提示：很容易判断①的四种命题都是真命题，②的四种命题都是假命题.它们的真假性说明了四种命题的真假性是不具备一致性的.

【变式训练】 1.下列命题： (1)命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题； (2)命题“若x>1，则x2>1”的逆命题； (3)命题“若x=1，则x2+x-2=0”的否命题； (4)命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题， 其中真命题的序号是_______(把所有真命题的序号填在横线上).

2.下列命题： (1)“全等三角形的面积相等”的逆命题； (2)“若ab＝0，则a＝0”的否命题； (3)“正三角形的三个内角均为60°”的逆否命题， 其中真命题的序号是_______(把所有真命题的序号填在横线上)．

【解析】1. (1)因为x>|y|，所以x>0 【解析】1.(1)因为x>|y|，所以x>0.当y≥0时，x>y；当y<0时，x>-y>y,所以x>y.则命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题是真命题；(2)逆命题为“若x2>1，则x>1”，是假命题.因为x2>1，所以x<-1或x>1；(3)否命题是“若x≠1，则x2+x-2≠0”.因为x≠1时,x2+x-2可以为0，所以是假命题；(4)因为原命题是假命题，所以它的逆否命题也是假命题. 答案：(1)

2.(1)“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，显然该命题为假命题； (2)“若ab＝0，则a＝0”的否命题为“若ab≠0，则a≠0”.而由ab≠0可得a，b都不为零，故a≠0，所以该命题是真命题； (3)由于原命题“正三角形的三个内角均为60°”是一个真命题，故其逆否命题也是真命题. 答案：(2)(3)

互为逆否的命题同真同假的应用 【技法点拨】 命题真假判断的一种策略 当判断一个命题的真假比较困难，或者在判断真假时涉及分类讨论时，通常转化为判断它的逆否命题的真假，因为互为逆否命题的真假是等价的.也就是我们讲的“正难则反”的一种策略.

【典例训练】 1.下列命题： (1)若一个正整数不能被5整除，则这个数不能被15整除； (2)若一个正整数能被15整除，则这个数能被5整除; (3)若一个正整数不能被15整除，则这个数不能被5整除; (4)若一个正整数能被5整除，则这个数不能被15整除, 与命题“若一个正整数能被5整除，则这个数能被15整除”等价的命题序号是_______.

2.若a2＋b2＝c2，求证：a，b，c不可能都是奇数. 【解析】1.因为互为逆否的命题是等价命题，所以填(3). 答案：(3)

2.解题流程： 原命题的逆否命题是 若a,b,c都是奇数，则a2+b2≠c2. 写逆否 原命题的逆否命题是 若a,b,c都是奇数，则a2+b2≠c2. 判真假 若a,b,c都是奇数，则a2, b2, c2都是奇数，得a2+b2为偶数，而c2为奇数，即a2+b2≠c2，即原命题的逆否命题为真命题，故原命题也为真命题. 下结论 所以a,b,c不可能都是奇数.

【总结】在题2中，结论用的是什么语句？通过此题的证明你又得到怎样的启示呢？ 提示：在题2中，结论用的是否定语句.得到的启示：凡是以否定语句给出的命题，它的真假判断一般是使用它的逆否命题的真假来判断.

【变式训练】已知奇函数f(x)是定义域为R的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥0，求证：a＋b≥0. 【证明】假设a＋b<0，即a<－b，∵f(x)在R上是增函数，∴f(a)<f(－b)． 又f(x)为奇函数，∴f(－b)＝－f(b)， ∴f(a)<－f(b)，即f(a)＋f(b)<0, 即原命题的逆否命题为真命题，故原命题为真命题． ∴若f(a)+f(b)≥0,则a＋b≥0.

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【规范解答】利用命题间的关系改写命题 【典例】(14分)写出命题“若 则x=2而且y= -1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.

【解题指导】

【规范解答】逆命题：若x=2而且y=-1， 则 ①；………………………………2分 此命题为真命题；……………………………………5分 否命题：若 则x≠2或者y≠-1②；…………………………………8分 此命题为真命题；……………………………………10分 逆否命题：若x≠2或者y≠-1②， …………………………………………………………12分 此命题为真命题. ……………………………………14分

【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：(注：此处的①②见规范解答过程)

【规范训练】(14分)写出命题：“若x4+y4=0，则x，y全为零”的逆命题、否命题及逆否命题，并判断真假. 【解题设问】(1)两个数的4次幂之和为零，则这两个数同时等于零吗？_____. (2)x，y全为0的否定是什么？____________. 是的 x，y不全为0

【规范答题】逆命题：若x，y全为零，则x4+y4=0；真命题； ………………………………………………………………5分 否命题：若x4+y4≠0，则x，y不全为零；真命题； ………………………………………………………………10分 逆否命题：若x，y不全为零，则x4+y4≠0；真命题. ………………………………………………………………14分

1.下列命题：(1)若xy＝1，则x，y互为倒数；(2)在平面中,四条边相等的四边形是正方形；(3)平行四边形是梯形；(4)若ac2>bc2，则a>b，其中真命题的序号是__________. 【解析】(1)，(4)是真命题，(2)在平面中,四条边相等的四边形也可以是菱形，(3)平行四边形不是梯形． 答案：(1)(4)

2.命题“等比数列{an}中没有零项”的逆命题是_______. 【解析】根据逆命题的概念知命题“等比数列{an}中没有零项”的逆命题是：“若数列{an}中没有零项，则数列{an}为等比数列”. 答案：“若数列{an}中没有零项，则数列{an}为等比数列”

3.在空间中， (1)若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线； (2)若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线． 以上两个命题中，逆命题为真命题的是__________．

【解析】(1)中的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面． 我们用如图所示正方体AC1做模型 来观察：上底面A1B1C1D1中任意三 点都不共线，但A1，B1，C1，D1四 点共面，所以(1)中的逆命题不是 真命题；

(2)中的逆命题是：若两条直线是异面直线，则两条直线没有公共点． 由异面直线的定义可知，成异面直线的两条直线不会有公共点． 所以(2)中的逆命题是真命题． 答案：(2)

4.命题“余弦值相等的两个角大小相等”与它的逆命题、否命题以及逆否命题中，假命题的个数是________. 【解析】原命题是假命题，故其逆否命题为假命题，其逆命题为“若两个角大小相等，则其余弦值也相等”,是真命题，故其否命题是真命题，假命题的个数为2. 答案：2

5.已知p：x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，q：方程4x2＋ 4(m－2)x＋1＝0(m∈R)无实根，求使p为真且q为真的m的取值范围．

【解析】若p为真，则 解得m>2. 若q为真，则Δ=16(m-2)2-16<0，解得1<m<3. p真且q真，即 故m的取值范围是(2,3).