1.4 数学归纳法
1.使学生了解归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质. 2.掌握数学归纳法证题的两个步骤;会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题.
多米诺骨牌游戏,首先要用力推第一块骨牌,在任何两块骨牌之间有恰当的距离时,第一块倒下,就会使第二块倒下,第二块倒下就会导致第三块倒下,……以致很多都会倒下!如果我们在骨牌间抽出几块,使有两块之间存在一个较大的缺口,推倒了第一块骨牌,后面的骨牌就不会都倒下了.如果第一块骨牌我们不使它倒下,后面的骨牌也就不会倒下的.
数学归纳法:证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行 要使得所有骨牌全都倒下须满足的条件 (1) ; (2) . 问题1 第一块骨牌倒下 任意两块相邻骨牌,只要前一块倒下,后一块必定倒下 问题2 数学归纳法:证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行 (1)(归纳奠基)证明当n取 时命题成立; (2)(归纳递推)假设 . 第一个值n0(n0∈N+) 当n=k(k≥n0,k∈N+)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立
数学归纳法是一种只适用于与 有关的命题的证明方法,第一步是递推的“ ”,第二步是递推的“ ”,两个步骤缺一不可. 数学归纳法是一种只适用于与 有关的命题的证明方法,第一步是递推的“ ”,第二步是递推的“ ”,两个步骤缺一不可. 正整数 问题3 基础 依据 在证明过程中要防范以下两点 (1)第一步验证n=n0时,n0不一定为1,要根据题目要求 . (2)第二步中,归纳假设起着“已知条件”的作用,在证明n=k+1时,命题也成立的过程中一定要用 ,否则就不是数学归纳法. 问题4 选择合适的起始值 n=k成立 的结论
1 D 【解析】n=1时,n+3=4. 某个命题与自然数n有关,若n=k(k∈N+)时命题成立,那么可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知n=5时,该命题不成立,那么可以推得( ). A.n=6时该命题不成立 B.n=6时该命题成立 C.n=4时该命题不成立 D.n=4时该命题成立 2 C
【解析】其逆否命题“若当n=k+1时该命题不成立,则当n=k时也不成立”为真,故n=5时不成立可知n=4时不成立. 3 4
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归纳—猜想—证明 已知数列{an}满足Sn+an=2n+1(n∈N+). (1)写出a1,a2,a3, 并推测an的表达式. (2)用数学归纳法证明所得的结论.
若n∈N+且n≥5,求证:2n>n2. 所以当n=k+1时,等式也成立. 由(1)(2)可知,对一切n∈N+等式都成立. (2)假设n=k(k≥5,k∈N+)时,2k>k2. 则当n=k+1时,2k+1=2·2k=2k+2k>k2+k2>k2+2k+1=(k+1)2, 即n=k+1时不等式成立. 由(1)(2)知,当n∈N+且n≥5时,不等式2n>n2成立.
已知数列{an}的第一项a1=5且Sn-1=an(n≥2,n∈N+). (1)求a2,a3,a4,并由此猜想an的表达式; (2)用数学归纳法证明(1)的猜想.
B A.7 B.8 C.9 D.10
2.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,在第二步时,正确的证法是( ). A.假设n=k(k∈N+),证明n=k+1命题成立 B.假设n=k(k是正奇数),证明n=k+1命题成立 C.假设n=2k+1(k∈N+),证明n=k+1命题成立 D.假设n=k(k是正奇数),证明n=k+2命题成立 D 【解析】A、B、C中,k+1不一定表示奇数,只有D中k为奇数,k+2为奇数.