概率论与数理统计 2011-2012学年第二学期 任课教师：王传伟 单位：信息学院 办公室：文理大楼725室 E-mail：tw516@sdau.edu.cn 下页

主要教学参考书 教材 《概率论与数理统计》 程述汉等编 中国农业教育出版社 2012年

国内有关经典著作 1.《概率论基础及其应用》 2.《数理统计引论》 国外有关经典著作 1.《概率论的分析理论》 2. 《统计学数学方法》 王梓坤著 科学出版社 1976 年版 概率统计专业 首位中科院院士 2.《数理统计引论》 陈希儒著 科学出版社 1981年版 国外有关经典著作 1.《概率论的分析理论》 P.- S.拉普拉斯著 1812年版 概率论的最早著作 2. 《统计学数学方法》 H. 克拉默著 1946年版 数理统计最早著作

考研有关信息 1. 清华大学李永乐主编的《考研数学复习全书》,《数学基础过关660题 》 2. 叶盛标主编的《考研数学思维定势与常考题型》、《考研数学秘诀》、《考研数学经典考题解读》 3. 陈文灯主编的相关书籍

绪论 探索随机现象的奥秘 研究随机现象的规律 下页

一、两类现象 必然现象 在一定条件下必然会发生的现象. 如：(1) １＋１ ＝２ (2) 某人年初存入1000元，设年利率２%, 必然现象 在一定条件下必然会发生的现象. 如：(1) １＋１ ＝２ (2) 某人年初存入1000元，设年利率２%, 年终可得利息 ２0元． (3) 标准大气压下，纯水加热到1000C，一定会产生结果 水沸腾． 下页

一、两类现象 随机现象 在一定条件下可能发生也可能不发生的现象，事先无法预言其结果的不确定性现象。 随机现象 在一定条件下可能发生也可能不发生的现象，事先无法预言其结果的不确定性现象。 在我们所生活的世界上, 充满大量的随机现象，小到扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游戏，大到复杂的社会现象． 下页

随机现象有无规律可言？ ??? 例子 （１）投硬币，观察其出现的结果． （２）购买彩票，你会中奖吗？ （３）新培育了一个小麦品种，在一块地试种，其产量会是多少？ （４）今年我校招生了7000学生，会有多少学生来报到？ 随机现象有无规律可言？ ??? 下页

二、随机现象的规律性 在一定条件下对随机现象进行大量观测会发现某种规律性. 例１ 投硬币，观察其结果。 实 验 者 总次数 正面次数 fn(H) 蒲 丰 4040 2048 0.5070 K.皮尔逊 12000 6019 0.5016 24000 12012 0.5005 下页

二、随机现象的规律性 例２新生婴儿性别比． 女婴率 0.482 男婴率 0.518 下页

二、随机现象的规律性 从表面上看，随机现象的每一次观察结果都是随机的，但多次观察某个随机现象，便可以发现，在大量的偶然之中存在着必然的规律. 例３观察我校每天到图书馆阅读的学生数． 从表面上看，随机现象的每一次观察结果都是随机的，但多次观察某个随机现象，便可以发现，在大量的偶然之中存在着必然的规律. 下页

二、随机现象的规律性 随机现象在大量次数的重复观察（或试验）中呈现出某种的规律性。这种规律性称为统计规律性． 概率论与数理统计包括概率论和数理统计两个数学分支，它们是从不同的角度研究随机现象的统计规律性。 下页

三、概率统计的研究内容 １．概率论的主要研究内容。 概率的定义、性质与计算 随机现象数量化描述及其刻划 概率论是研究随机现象的统计规律性数学分支。 下页

三、概率统计的研究内容 2．数理统计的主要研究内容。 如何有效的采集数据 如何分析带有随机性质的数据 数理统计是研究怎样有效的收集、整理和分析带有随机性质的数据，以便对所研究的问题作出推断和预测。 下页

四、概率统计的广泛应用 广泛应用于自然科学、社会科学等领域 与其它学科相结合形成了许多边缘学科 是进行数据处理最基本和最常用方法 下页

下面我们就来开始一门“将不定性数量化”的课程的学习，这就是 概率论与数理统计 概率论与数理统计 概率论与数理统计 下页

第一章 事件与概率 §１.1 随机事件 一、随机试验 二、随机事件 三、样本空间 四、事件间的关系与运算 下页

§1.1 随机事件 一、 随机试验 E E1 ：掷骰子，观察其出现的点数。 E2 ：观察一天内，某网站的点击数。 其射击次数。 E4 ：一批灯泡，从中任取一只，测试它的寿命。 E5 ：测量某块地中小麦的株高。 下页

2.每次试验的可能结果不止一个，且能在试验之 前明确试验的所有可能结果； 随机试验特点 1.试验可以在相同的条件下重复地进行 ； 2.每次试验的可能结果不止一个，且能在试验之 前明确试验的所有可能结果； 3. 每次试验以前不能准确预言哪一个结果会出现。 在随机试验中，我们往往会关心某个或某些结果是否会出现. 下页

随机事件： 在一次试验中可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，简称事件. 常用字母A, B, C, …表示。 二、 随机事件 随机事件： 在一次试验中可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，简称事件. 常用字母A, B, C, …表示。 基本事件 ：试验E的每一个可能出现的结果。常用ω 表示。 事件发生：当且仅当它包含的基本事件之一发生。 如在E1中 用ωi表示“出现点数i”。则ω１， ω２， …，ω６ 是基本事件，也是随机事件。 E1还有其它事件： A=“出现偶数点” B=“出现奇数点” C=“出现点数大于２” 下页

两个特殊的事件： 例如，在E1中， “掷出点数小于7”是必然事件; 而“掷出点数8”则是不可能事件. 即在试验中必定发生的事件，常用Ω表示; 即在一次试验中不可能发生的事件，常用φ表示 . 例如，在E1中， “掷出点数小于7”是必然事件; 而“掷出点数8”则是不可能事件. 下页

三、 样本空间 样本空间 试验E的所有的基本事件所组成的集合。常用Ω表示。基本事件也称为样本点。 例１ 用样本空间表示前面提到的随机试验。 三、 样本空间 样本空间 试验E的所有的基本事件所组成的集合。常用Ω表示。基本事件也称为样本点。 例１ 用样本空间表示前面提到的随机试验。 试验 样本空间 E1 ：掷骰子，观察其出现 的点数。 Ω1 ={ω１， ω２， ω３， ω４， ω５， ω６} 下页

试验 样本空间 E2 ：观察一天内，某网站 的点击数。 Ω2 ={ 0,1,2,……} E3 ：某射手对一目标射 击，命中为止，观察其 射击次数。 Ω3 ={ 1,2,……} E4 ：一批灯泡，从中任取 一只，测试它的寿命。 Ω4 ={ ω|ω≥0 } E5 ：测量某块地中小麦的 株高。 Ω5 ={ ω|a≤ω≤b} 下页

2. 引入样本空间后，试验E的事件就可以看作由其包含的基本事件所组成的集合。 3. 从集合的观点来看，事件是样本空间Ω的子集。 说明: 1. 事件是基本事件或由基本事件组成的， 2. 引入样本空间后，试验E的事件就可以看作由其包含的基本事件所组成的集合。 3. 从集合的观点来看，事件是样本空间Ω的子集。 4. 特别, 必然事件就是样本空间Ω, 不可能事件就是φ 。 例2 在试验E4中写出下列事件。 A=“寿命超过1000小时” ={ω>1000} B=“寿命在1000到2000小时之间” ={1000<ω<2000} C=“寿命是500小时” ={ω=500} 下页

四、事件的关系与运算 A B 1. 事件的包含关系 如 在试验E１ 2.事件的相等 若 且 ,则A=B Ω 若事件A发生必导致B发生，则称事件B包含A。或A包含于B 如 在试验E１ A=“出现点数２”， B=“出现偶数点”，则 2.事件的相等 若 且 ,则A=B 下页

3.事件的和 B A n个事件A1，A2，…，An中至少 两个事件A, B中至少有一个发生的事件称为A与B的和事件,记为A∪B。 Ω A B 两个事件A, B中至少有一个发生的事件称为A与B的和事件,记为A∪B。 n个事件A1，A2，…，An中至少 有一个事件发生,记作 A1 ∪A2∪…∪An 如 在试验E１。 A=“出现点数大于4”= { ω５， ω６} B=“出现偶数点”= {ω2， ω4， ω６} A∪B = {ω2， ω4， ω5 , ω６} 下页

n个事件A1，A2，…，An同时发生的事件,记作 A1∩A2∩…∩An = A1A2…An 4.事件的积 Ω A B 两个事件A、B同时发生 的事件称为A与B的积事件，记为A∩B 或 AB 。 n个事件A1，A2，…，An同时发生的事件,记作 A1∩A2∩…∩An = A1A2…An 如 在试验E１。 A=“出现点数大于4”= { ω ５， ω ６} B=“出现偶数点”= {ω 2， ω 4， ω ６} A∩B = {ω ６} 下页

5.事件的差 A B A B 事件A发生而事件B不发生的事件称为A与B的差事件,记作 A-B Ω Ω 性质： A-B=A-AB ； 如 在试验E１ Ω A B A=“出现点数大于4”= { ω５， ω６} B=“出现偶数点”= {ω2， ω4， ω６} A-B = {ω5} 性质： A-B=A-AB ； 下页

6.互不相容事件（互斥） A B A与B不同时发生的事件。即， AB=Φ Ω 如 在试验E１ C=“出现点数小于4”= { ω 1， ω 2， ω 3} 则A与C互不相容（互斥）。 性质： （1）一次试验中基本事件是互不相容； （2）A-B，AB，B-A 两两互不相容. 如果一组事件中任意两个事件都互不相容，则称这组事件两 两互不相容. 下页

7. 对立事件（互逆） A 则称A与B互为对立（逆）事件。记为 问: 相互对立事件 互不相容事件 若事件A、B不能同时发生， Ω A 7. 对立事件（互逆） 若事件A、B不能同时发生， 但二者必发生其一，即 A∪B=Ω ， A B=Φ 则称A与B互为对立（逆）事件。记为 性质： 问: 相互对立事件 互不相容事件 注：对立事件一定是互斥事件；互斥事件未必是对立事件。 下页

4. 德摩根（De Morgan）定理（对偶律） 事件的运算满足下述规则（证明略） 1. 交换律 A∪B=B∪A ，AB=BA 2. 结合律 (A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(AB)C=A(BC) 3 . 分配律 (A∪B)∩C=AC∪BC， (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C) 4. 德摩根（De Morgan）定理（对偶律） 下页

(3) A、B、C 中至少有一个发生可以表示为： A∪B∪C 下页

练习1 甲、乙、丙三人对某目标射击，用A、B、C分别表示“甲击中”,“乙击中”和“丙击中”,试用A、B、C表示下列事件 （1）甲、乙都击中而丙未击中； （2）只有甲击中； （3）目标被击中； （4）三人中最多两人击中； （5）三人中恰好一人击中；

解： (1) 事件“甲、乙都击中而丙未击中”表示A,B与 同时发生,即 AB (2) 事件“只有甲击中”表示A发生而B、C未发生,即 (3) 事件“目标被击中”意味着甲、乙、丙三人至少有一人击中目标，表示为 (4) 事件“三人中最多两人击中”即“三人中至少有一人未击中”，可表示为 (5) 事件“三人中恰好一人击中”即“三人中只有一人击中其余两人未击中”，可表示为

练习2 从某班学生中选取一名学生，A表示选到的是男生，B表示选到的是田径队员，说明下列关系式所表示的意义 (1) A B A, = I (1) A B A, = I 解： 等价于 即若事件A发生，必导致事件B就发生．所以 A B A = I 表明该班的男生都是田径队员。 (2) 等价于 若事件B发生，必导致事件A发生，所以此式表明该班的田径队员都是男生。

作业： P24 3 结束