第二十五章 概率初步 用列举法求概率(1)

复习回顾： 一般地，如果在一次试验中， 有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等， 事件A包含在其中的m种结果， 那么事件A发生的概率为： 求概率的步骤： (1)列举出一次试验中的所有结果(n个)； (2)找出其中事件A发生的结果(m个)； (3)运用公式求事件A的概率：

20红，8黑 20红,15黑,10白 甲袋 乙袋 球除了颜色以外没有任何区别。两袋中的球都搅匀。蒙上眼睛从口袋中取一只球，如果你想取出1只黑球，你选哪个口袋成功的机会大呢？ 解： ＝ 在甲袋中，P（取出黑球）＝ 在乙袋中，P（取出黑球）＝ ＝ ＞ 所以，选乙袋成功的机会大。

B区域 3 如图是“扫雷”游戏。 在 9×9 个正方形雷区中， 随机埋藏着10颗地雷， 每个方格最多只能藏一颗地雷。 A区域 如图是“扫雷”游戏。 在 9×9 个正方形雷区中， 随机埋藏着10颗地雷， 每个方格最多只能藏一颗地雷。 B区域 小佳在游戏开始时，踩中后出现如图所示的情况。 我们把与标号3的方格相临的方格记为A区域(画线部分)， A区域外的部分记为B区域。 数字3表示A区域有3颗地雷， 那么第二步应踩在A区域还是B区域？

正正 正反 反正 反反 为了不重不漏地列出所有这些结果, 你有什么好办法么？ 引例：掷两枚硬币，求下列事件的概率： (1)两枚硬币全部正面朝上； (2)两枚硬币全部反面朝上； (3)一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上； “掷两枚硬币”共有几种结果？ 正正 正反 反正 反反 为了不重不漏地列出所有这些结果, 你有什么好办法么？

正 反 正 反 正正 正反 反正 反反 掷两枚硬币，不妨设其中一枚为A，另一枚为B， 用列表法列举所有可能出现的结果: B 还能用其它方法列举 所有结果吗？ 正 正正 正反 反 反正 反反 第一枚 正 反 第二枚 正 反 正 反 共4种可能的结果 此图类似于树的形状,所以称为 “树形图”。

例1：如图，甲转盘的三个等分区域分别写有数字1、2、3，乙转盘的四个等分区域分别写有数字4、5、6、7。现分别转动两个转盘，求指针所指数字之和为偶数的概率。 解： 共有12种不同结果，每种结果出现的可能性相同，其中数字和为偶数的有 6 种 3 2 1 7 6 5 4 甲 乙 (1，4) (1，5) (1，6) (1，7) (2，4) (2，5) (2，6) (2，7) ∴P（数字和为偶数） = (3，4) (3，5) (3，6) (3，7)

归纳 “列表法”的意义： 当试验涉及两个因素(例如两个转盘) 并且可能出现的结果数目较多时， 为不重不漏地列出所有的结果， 通常采用“列表法”。 上题可以用画“树形图”的方法 列举所有可能的结果么？

1 2 3 4 5 6 7 4 5 6 7 4 5 6 7 √ √ √ √ √ √ 求指针所指数字之和为偶数的概率。 乙 4 5 6 7 甲 探究 乙 4 5 6 7 甲 1 2 3 甲转盘指针所指的数字可能是 1、2、3， 乙转盘指针所指的数字可能是 4、5、6、7。 甲转盘 1 2 3 乙转盘 4 5 6 7 4 5 6 7 4 5 6 7 √ √ √ √ √ √ 共 12 种可能的结果 求指针所指数字之和为偶数的概率。 与“列表”法对比，结果怎么样？

例2、同时掷两个质地相同的骰子，计算下列事件的概率： (1)两个骰子的点数相同；(2)两个骰子的点数和是9； (3)至少有个骰子的点数是2。 解： 二 此题用列树图的方法好吗？ 1 2 3 4 5 6 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (6,6) 一 P(点数相同）= P(点数和是9）= P(至少有个骰子的点数是2 ）=

思考 归纳 “同时掷两个质地相同的骰子”与 “把一个骰子掷两次”，所得到的结果有变化吗？ “同时掷两个质地相同的骰子” 两个骰子各出现的点数为1～6点 “把一个骰子掷两次” 两次骰子各出现的点数仍为1～6点 归纳 随机事件“同时”与“先后”的关系： “两个相同的随机事件同时发生”与 “一个随机事件先后两次发生”的结果是一样的。

练习 1、一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔口都会随机地选择一条路径，它获得食物的概率是多少？ 蚂蚁 食物

2、用如图所示的两个转盘进行“配紫色”(红与蓝)游戏。请你采用“树形图”法计算配得紫色的概率。 甲 乙 白 红 蓝 黄 绿

黄 蓝 绿 蓝 黄 蓝 3、每个转盘分成相等的两个扇形。甲、乙两人利用它们做游戏：同时转动两个转盘， 如果两个指针所停区域的颜色相同则甲获胜； 如果两个指针所停区域的颜色不同则乙获胜。 你认为这个游戏公平吗？ 黄 蓝 绿 蓝 黄 蓝

若第一次摸出一球后，不放回，结果又会怎样？ 5、一个袋子中装有2个红球和2个绿球，任意摸出一个球，记录颜色后放回，再任意摸出一个球，请你计算两次都摸到红球的概率。 若第一次摸出一球后，不放回，结果又会怎样？ “放回”与“不放回”的区别： (1)“放回”可以看作两次相同的试验； (2)“不放回”则看作两次不同的试验。

黑2 黑3 黑1 白 黑3 白 黑2 黑3 白 黑1 黑2 白 黑1 黑1 黑3 黑2 P（摸出两个黑球）= 4.一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球.摸出两个黑球的概率是多少？ 解：设三个黑球分别为：黑1、黑2、黑3，则： 黑2 黑1 白 黑3 第一个球： 黑3 白 黑2 黑3 白 黑1 黑2 白 黑1 第二个球： 黑1 黑3 黑2 P（摸出两个黑球）=

4、在盒子中有三张卡片，随机抽取两张，可能拼出菱形(两张三角形)也可能拼出房子(一张三角形和一张正方形)。游戏规则是： 若拼成菱形，甲胜；若拼成房子，乙胜。 你认为这个游戏公平吗？

7、甲、乙两人各掷一枚质量分布均匀的正方体骰子，如果点数 之积为奇数，那么甲得1分；如果点数之积为偶数，那么乙得1分。 连续投10次，谁得分高，谁就获胜。 (1)请你想一想，谁获胜的机会大？并说明理由； (2)你认为游戏公平吗？如果不公平，请你设计一个公平的游戏。 列出所有可能的结果： 1 2 3 4 5 6 1×1=1 2×1=2 3×1=3 4×1=4 5×1=5 6×1=6 1×2=2 2×2=4 3×2=6 4×2=8 5×2=10 6×2=12 1×3=3 2×3=6 3×3=9 4×3=12 5×3=15 6×3=18 1×4=4 2×4=8 3×4=12 4×4=16 5×4=20 6×4=24 1×5=5 2×5=10 3×5=15 4×5=20 5×5=25 6×5=30 1×6=6 2×6=12 3×6=18 4×6=24 5×6=30 6×6=36

小结 1.“列表法”的意义 2. 利用树图列举所有结果的方法. 3.随机事件“同时”与“先后”的关系; “放回”与“不放回”的关系.

P(第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字)= 1、在6张卡片上分别写有1～6的整数，随机地抽取一张后放回，再随机地抽取一张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少？ 解: 列出所有可能的结果： 二 1 2 3 4 5 6 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 一 P(第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字)=

b c a B A P(一次打开锁)= = 解: 设有A,B两把锁和a,b,c三把钥匙,其中钥匙a,b分别 2、有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙恰好能分别打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁。任意取一把钥匙去开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？ 解: 设有A,B两把锁和a,b,c三把钥匙,其中钥匙a,b分别 可以打开锁A,B.列出所有可能的结果如下: c b B A a P(一次打开锁)= =

3、一次联欢晚会上，规定每个同学同时转动两个转盘(每个转盘被分成二等分和三等分)，若停止后指针所指的数字之和为奇数，则这个同学要表演唱歌节目；若数字之和为偶数，则要表演其他节目。试求这个同学表演唱歌节目的概率。你有几种方法？ 1 2 3

4、某班要派出一对男女混合双打选手参加学校的乒乓球比赛，准备在小娟、小敏、小华三名女选手和小明、小强两名男选手中选男、女选手各一名组成一对参赛，一共能够组成哪几对？采用随机抽签的办法，恰好选出小敏和小强参赛的概率是多少？

A2 B1 B2 A1 P(能打开甲、乙两锁)= = 4、有甲、乙两把不同的锁，各配有2把钥匙。求从这4把 钥匙中任取2把，能打开甲、乙两锁的概率。 解:设有A1,A2，B1, B2四把钥匙,其中钥匙A1,A2可以打开锁甲,B1, B2可以打开锁乙.列出所有可能的结果如下: B1 A2 B2 A1 钥匙1 钥匙2 P(能打开甲、乙两锁)= =