第11章 線性相關

前言 「龍生龍，鳳生鳳，老鼠的兒子會打洞。」 第這個諺語裡，可以用智商（或學歷、或職業、收入等）為指標，來看看兒女的智商和父母的智商是不是有關連。如果發現父母的智商越高，其子女的智商也越高，也就驗證了這個諺語。 在第十章裡，介紹了列聯相關、f相關等，這些是用於反映兩個「類別變項」間的關連強度。在本章裡，則是兩個「量變項」間的關連。首先介紹共變數，然後是各種相關係數的統計檢定與區間估計。

第一節 共變數（1） 共變數就是兩個變項如X和Y，共同改變的情形。 如果X的改變和Y的改變沒有關連，那麼共變數的值就是0。如果X變得越大，Y也跟這變得越大，共變數就大於0。如果X變得越小，Y卻變得越大，共變數就小於0。 當共變數等於0時，這兩個變項是零相關。如果共變數是正的，它們有正相關。如果共變數是負的，這兩個變項就有負相關。

第一節 共變數（2） 母體共變數： 其中mX和mY分別是X和Y變項的平均數。共變數的概念和變異數的概念是相通的。只不過在變異數裡，只針對一個變項而已。但在共變數裡，針對兩個變項。例如X的母體變異數公式是

第一節 共變數（3） 母體共變數 樣本共變數 共變數的概念和變異數相通。在變異數裡，只針對一個變項而已。在共變數裡，針對兩個變項。例如X的母體變異數公式是

第一節 共變數（4） 例子1 研究者隨機抽樣5位成年女性的身高和體重，如表1所示。求身高和體重的共變數。

第一節 共變數（5） 共變數為52 / 4 = 13 > 0，身高和體重為正相關。

第一節 共變數（6） 定理11.1、11.2 X和Y的變異數為 和 ，共變數為 。則

第二節 皮耳森積差相關（1） 共變數的大小會隨著單位的不同而不同，所以無法用以判斷關連強度。為了要能互相比較，解決之道就是將每個變項標準化，使其平均數為0，標準差為1。然後重新計算共變數。這種作法相當於將共變數除以這兩個變項的標準差。 這樣的值稱為相關係數，或稱皮耳森積差相關係數，以紀念首先提出這個公式的學者Karl Pearson（1857-1936）。

第二節 皮耳森積差相關（2） 母相關係數 樣本相關係數 母相關係數 樣本相關係數 相關係數介在 1之間。如果是0表示沒有關連，+1表示完全的正相關，-1是完全的負相關，介在0和+1之間通稱為正相關，介在0和-1之間通稱為負相關。

第二節 皮耳森積差相關（3） 計算皮耳森積差相關係數，必須假設X變項和Y變數的聯合分佈為雙變項常態分佈，其機率密度函數為：

第二節 皮耳森積差相關（4） 定理11.3 如果X和Y為雙變項常態分佈，相關係數為r，則X和Y互為獨立，若且唯若r = 0。

第二節 皮耳森積差相關（5） 單變項常態分佈的形狀，類似一個壓扁的銅鐘或平面的一座山，X軸為變項，Y軸為機率密度。 雙變項常態分佈則是立體圖，X軸為X變項，Y軸為Y變項，Z軸為機率密度。 如果r = 0，那麼雙變項常態分佈就是一般的銅鐘。隨著r離 0越遠，該銅鐘越被壓扁。直到壓成一片，此時r = 1。

第二節 皮耳森積差相關（6） 通常以皮耳森積差相關係數r估計r ，可惜r不是r 的不偏估計式。因此若要估計r ，可用 其中n是樣本數。雖然不是不偏估計式，但比用r來得好。根號內可能出現負值，而無法計算。

第三節 相關係數的假設檢定（1） 母體相關係數為0 如果母體r = 0，且n很大，r趨近平均數0，變異數1/n的常態分佈。則 近似Z分佈。 若n不大，r趨近平均數0，變異數 的常態分佈，因此 是自由度為n – 2的t分佈。

第三節 相關係數的假設檢定（2） 例子5 作法 假設抽樣調查80位學童近視度數與學業成績的關係，結果求得r = 0.1，近視是否與成績有關？ 虛無假設為r = 0，對立假設為r  0。

第三節 相關係數的假設檢定（3） 例子6 作法 承例子5，如果樣本數變為800，結果會如何？ 由於樣本數非常大，即便樣本相關係數只有0.1，仍可拒絕虛無假設。

第三節 相關係數的假設檢定（4） 母體相關係數等於不是0的某個值 從母體相關係數r = a（a  0），隨機抽取樣本，計算r，r不是常態分配，必須經過Ronald A. Fisher的費雪z轉換。即 母體相關係數r也要經過z轉換稱作zr。

第三節 相關係數的假設檢定（5） 如果樣本數大於10，zr的樣本分佈會很接近常態分佈，其平均數為zr，變異數為 ，則 會近似Z分佈。這個求得的z值，就可用來和Z分佈的臨界值比較，以進行假設檢定。

第三節 相關係數的假設檢定（6） 例子7 依照過去理論，學業成績與智商的關連為0.6。研究者抽樣20位大學生，樣本相關為0.2，可否推翻這個理論？ 作法 超過臨界值1.96，拒絕虛無假設 。

第三節 相關係數的假設檢定（7） 兩母體相關係數差異的假設檢定 有的時候，我們想探討這兩個獨立母體的相關係數是否相等，或是差異是否等於某個值。 這就類似兩獨立母體平均數差異檢定，不同的是要檢定相關係數而不是平均數。

第三節 相關係數的假設檢定（8） 現有兩個獨立樣本，每個r經費雪轉換，得到zr1和zr2，其各自抽樣分佈的平均數為zr1和zr2，變異數為 和 。 zr1-zr2的抽樣分佈也會近似常態分佈，平均數為zr1-zr2，變異數為 趨近標準常態分佈 。所以 (11.12) 趨近標準常態分佈。這個求得的z值，就可用來和Z分佈的臨界值比較。

第三節 相關係數的假設檢定（9） 例子9 抽樣20位大學生，發現學業成績與智商的相關為0.2。抽樣50位小學生，得到相關0.62。大學生和小學生的相關係數是否是否有異？ 作法 大學生zr1＝0.203。小學生

第四節 相關係數的區間估計（1） 一個母體相關係數 近似Z分佈，因此 介於- 和 的機率為1-a： 母體zr的（1-a）100%信賴區間是：

第四節 相關係數的區間估計（2） 母體zr的（1-a）100%信賴區間是： 上述公式是計算zr的信賴區間，因此還要將zr將轉換回r。轉換的公式為：

第四節 相關係數的區間估計（3） 例子10 作法 承例子7，抽樣20位大學生，發現成績與智商的關連為0.2。求母體相關係數的95%信賴區間。 -0.272 < zr < 0.678。利用公式（11.15）當zr= -0.272時，r = -0.266。 當zr= 0.678時，r = 0.590。95%信賴區間為（-0.266, 0.590）。

第四節 相關係數的區間估計（4） 兩個母體相關係數的差異 近似Z分佈，因此 介於- 和 的為1-a：

第四節 相關係數的區間估計（5） zr1 - zr2的（1-a）100%信賴區間是：

第四節 相關係數的區間估計（6） 例子11 作法 承例子9，求大學生和小學生的母體相關係數差異的95%信賴區間。 由例子9知zr1為0.203，zr2為0.725。zr1-zr2的95%信賴區間為： r1-r2的95%信賴區間為（-0.797, 0.045）。

第五節 相關係數的一些現象（1） 影響相關係數大小的因素 1. 變異數的大小。

第五節 相關係數的一些現象（2） 2. 異質的次團體。如果擔心樣本中，可能存在著異質的次團體，就該針對這些次團體逐一進行相關分析。然後檢定是否有顯著差異。如無差異或差異甚小可以忽略，則可以合併分析。 3. 測量誤差。測量誤差會削弱了變項間的關連。這種因為測量誤差弱化了相關係數，這在社會科學中尤其值得重視。

第五節 相關係數的一些現象（3） 相關係數的解釋 1. 在計算積差相關係數之前，應該先繪製雙變項的散佈圖，確定兩者是直線關係，而非曲線關係時，積差相關才有意義。 2. 有相關並不表示有因果關係。 3. 相關係數必須經過假設檢定。如果樣本數非常大，即便樣本相關係數非常接近0，也會拒絕母體相關係數為0的虛無假設。反之，如果樣本數非常小，即便樣本相關係數相當大，也無法拒絕虛無假設。

第五節 相關係數的一些現象（4） 4. 絕對值相等的正負號相關係數代表兩變項的關連強度是一樣的，只不過方向不同而已。 5. 相關係數並沒有倍數的意義。 6. 即使積差相關係數等於0，並不見得表示兩變項無關（除非兩變項是雙變項常態分佈），而只是意味著兩變項沒有線性（直線）關連。

第五節 相關係數的一些現象（5） 7. r2代表著某個變項的變異可以被另一個變項解釋的百分比。例如大學生的學業成績與智商的積差相關為0.6，就表示學業成績的變異數中有36%可以用智商來解釋。

第六節 其他類似的相關係數（1） 點二系列相關 如果在X和Y變項中，其中一個變項的二元量尺。此時X和Y變項間的相關，稱作點二系列相關rpb。 雖然名稱不同，但其計算方法、假設檢定、區間估計和積差相關相同。

第六節 其他類似的相關係數（2） 調查男女的身高。每個受試者會有兩個變項。X變項為性別，其中1為男生，0為女生。Y變項為身高。X變項是二元量尺。 可利用兩常態母體的平均數差異檢定，計算T值並檢定之。如果T值超過臨界值，就拒絕虛無假設，而宣稱男女的身高平均數有異。 也可以利用點二系列相關。如果計算出來的係數經過統計檢定，發現相關係數不等於0，就宣稱性別與身高有關。 「性別與身高有關」與「男女身高有別」的意義是一樣的。

第六節 其他類似的相關係數（3） 這兩種分析方法，存在著以下關連： 進行任何一種分析，可透過這個公式轉換為另一種。點二系列相關差異分析多出了一個優點：Y變項的變異數中，可以被X變項解釋的部份。

第六節 其他類似的相關係數（4） 例子12 下表列著10個人的身高和性別，男女生身高是否不同？性別與身高的關連有多大？

第六節 其他類似的相關係數（5） 作法 將性別改為任何兩個數字，例如男生為1，女生為0。計算積差相關得rpb = 0.768。 = 0.59，表示身高的變異數中，有59%可以被性別解釋，剩下41%，被其它因素決定。

第六節 其他類似的相關係數（6） 二系列相關 如果不是自然二元變項，而是人為的二元變項，如及格、不及格，同意、不同意等。那就該用二系列相關。 在二系列相關裡，仍假設X變項和Y變項原都為連續變項，且為雙變項常態分佈。但由於某種原因，將其中一個變項X，被切割成二元量尺。

第六節 其他類似的相關係數（7） 二系列相關rb與點二系列相關rpb的關係為 其中y為標準常態分佈中，將整個分佈切割成p和1-p的z值的機率密度。

第六節 其他類似的相關係數（8） 例子13 承例子12，假設表5中的性別改為籃球成績，分為及格和不及格，（男為及格，女為不及格），求籃球成績與身高的二系列相關。 作法 rpb = 0.768，在樣本中及格人數佔50%，則z值為0，機率密度y為0.3989。則

第六節 其他類似的相關係數（9） 等級相關 有時對兩變項的測量，只能達到排名而已，此時，兩者的關連性稱為史皮爾曼等級相關，而不是皮耳森積差相關。 等級相關的計算和積差相關完全一樣。如果所分析的原始資料未經排序，必須先經排序後，以名次計算等級相關。

第六節 其他類似的相關係數（10） 例子14 有10件參賽作品，兩位評審獨立給分。表6中記載了這兩位評審對10件作品的分數。求等級相關。

第六節 其他類似的相關係數（11） 作法 兩種等級的積差相關為0.84，這就是等級相關。原始分數的積差相關為0.77。