第二部分 投资组合理论 与实践

●实际利率与名义利率的关系 ●不同持有期收益率的计算 ●风险与收益的衡量 ●风险资产与无风险资产的资本配置 ●两种风险资产投资组合的优化方法 ●完整投资组合的构建方法 ●指数模型的意义 组合投资具有分散化和套期保值功效！

第5章 从历史数据中学习收益与风险 引导：时间的魔力——资金时间价值有哪些衡量方法？ 第5章 从历史数据中学习收益与风险 引导：时间的魔力——资金时间价值有哪些衡量方法？ 1797年3月的一天，拿破仑在卢森堡第一国立小学演讲时说了这样一番话：“为了答谢贵校对我，尤其是对我夫人约瑟芬的盛情款待，我不仅今天呈上一束玫瑰花，并且在未来的日子里，只要我们法兰西存在一天，每年的今天我将亲自派人送给贵校一束价值相等的玫瑰花，作为法兰西与卢森堡友谊的象征。”时过境迁，拿破仑穷于应付连绵的战争和此起彼伏的政治事件，最终惨败而流放到圣赫勒拿岛，把卢森堡的诺言忘得一干二净。

起初，法国政府准备不惜重金赎回拿破仑的声誉，但却又被电脑算出的数字惊呆了：原本3路易的许诺，本息竟高达1375596法郎。 可卢森堡这个小国对这位“欧洲巨人与卢森堡孩子亲切、和谐相处的一刻”念念不忘，并载入他们的史册。1984年底，卢森堡旧事重提，向法国提出违背“赠送玫瑰花”诺言的索赔；要么从1797年起，用3路易作为一束玫瑰花的本金，以5厘复利计息全部清偿这笔“玫瑰花”债；要么法国政府在法国各大报刊上公开承认拿破仑是个言而无信的小人。 起初，法国政府准备不惜重金赎回拿破仑的声誉，但却又被电脑算出的数字惊呆了：原本3路易的许诺，本息竟高达1375596法郎。

本案例反映了资金时间价值中连续复利的神奇魔力。每年投入的3路易，以连续复利增长，经过187年后，其本利和达到1375596法郎。 经苦思冥想，法国政府斟词酌句的答复到：“以后，无论在精神上还是在物质上，法国将始终不渝地对卢森堡大公国的中小学教育事业予以支持与赞助，来兑现我们的拿破仑将军那一诺千金的玫瑰花信誉。”这一措辞最终得到了卢森堡人民的谅解。 本案例反映了资金时间价值中连续复利的神奇魔力。每年投入的3路易，以连续复利增长，经过187年后，其本利和达到1375596法郎。 资金时间价值是投资者的机会成本，对所有投资者来说是公平的，是名义收益减通胀率。

由于购买力增长值等于货币增长值除以新的价格水平，可建立名义利率与实际利率的精确关系： 一. 实际利率的计算 ㈠实际利率的近似值 若名义利率为10%，通胀率为6%，实际利率： ㈡实际利率的精确值 由于购买力增长值等于货币增长值除以新的价格水平，可建立名义利率与实际利率的精确关系：

进一步： 故 的近似值超过实际利率的 倍。 通常近似公式计算的实际利率会被高估。 近似公式适用于通胀率较小或计算连续 复利情形时较为有效。

例如：真实利率为3%，通胀率为8%，名义 利率为多少？ 例如：真实利率仍为3%，但通胀率上升为 10%，名义利率又为多少？

二. 不同持有期收益率的计算 ㈠平均年投资收益（实际年利率： ） 无息国债的收益即无风险收益为： 若 ，上式就给出了一年无风险投资收益。 ㈠平均年投资收益（实际年利率： ） 无息国债的收益即无风险收益为： 若 ，上式就给出了一年无风险投资收益。 期限 价格 半年 97.36 1年 95.52 25年 23.30

年平均收益（实际年利率）与总体收益、投资期限的关系为： 1.一年内（如半年）的平均年投资收益 2.一年以上（如25年）的平均年投资收益

㈡年百分比利率 期限一年内的短期投资利率通常采用年利率而不是复利，即为年百分比利率。 若一年分为 期，每个时期的利率为 ，那么年百分比利率即为： 例：六个月期限的债券利率为2.71%，其百分比利率为：

同时: 也可通过年百分比利率计算每期的实际利率。 若明确了短期投资的时间长度 ，便知一年中有 个复利计息期，复利计息期的长度 与 、 关系如下： 同时:

例：在实际年利率为5.8%情形下，六个月期的债券的年百分比利率为： 例：在年百分比利率为5.8%情形下，六个月期的债券的实际年利率为：

㈢连续复利收益率 什么是连续复利？ 年利率为3%的10000元存款，第一年年初存入银行，按复利法到第三年末终值为多少？

年利率为3%的10000元存款，存入银行5年，按复利法计算： 每年计息一次，5年后的终值为多少？ 每年计息二次，5年后的终值为多少？ 一年 100 10% 110 100 105 110.25 100 102.5 105.0625 107.68906 110.38128 当计息次数 时，将得到连续复利。 年利率为3%的10000元存款，存入银行5年，按复利法计算： 每年计息一次，5年后的终值为多少？ 每年计息二次，5年后的终值为多少？

如每年计息一次，5年后的终值为： 如每年计息二次，5年后的终值为： 如每年计息次数无穷多，则年连续复利率因子为： 连续复利终值为：

连续复利与实际年利率的关系为： 从实际（有效）年利率中求连续复利： 例：实际年利率为5.8%，对应的连续复利利率为：

例：两种三年期定期存款100000元的利率选 择，⑴月利率1%；⑵年复利为12%。 ⑴： ⑵ ： 对于更高的年期望收益率选择复利。

若投资股票一年，年实际投资收益取决于期末价格与期初购买价格的买卖差价和持有期间的现金股息。 三.期望收益与标准差 ㈠什么是持有期收益？ 若投资股票一年，年实际投资收益取决于期末价格与期初购买价格的买卖差价和持有期间的现金股息。 设期初价格为100元，期末价格110元，期间现金股息为4元，则持有期收益率（HPR）为：

不同经济环境和市场背景下所有可能收益的加权平均值。 ㈡什么是期望收益？ 不同经济环境和市场背景下所有可能收益的加权平均值。 环境 概率 持有期收益率 环境一 30% 34% 环境二 50% 14% 环境三 20% -16%

收益的标准差用来测度风险，定义为方差的平方根。 ㈢什么是标准差？ 收益的标准差用来测度风险，定义为方差的平方根。 投资者通常更关心最低收益率的概率，而收益率的标准差并未将最高与最低收益率加以区别，仅仅反映两者对均值的偏离，若收益率分布对称，特别是呈正态分布，标准差测度风险就很精确。

例：27000元买公司债券，面值1000元，售价900 元，来年债券利息为75元。年末债券价格取决于当 时的利率水平。 利率 概率 年末价格 高 0.2 850 不变 0.5 915 低 0.3 985 注：国库券的收益率为5%。 请计算每种情形下的持有期收益率、期望收益率和 投资的风险溢价？投资的年末期望价值是多少？

购买数量27000÷900=30张。 利率 概率 年终价值 高 0.2 850 不变 0.5 915 0.1000 29700 低 0.3 17.78%-5%=12.78%为超额收益（某年） 10.89%-5%=5.89%为风险溢价 利率 概率 年终债券价格 持有期收益率 年终价值 高 0.2 850 不变 0.5 915 0.1000 29700 低 0.3 985 0.1778 31800 期望收益率 0.1089 期望年终价值 29940 风险溢价 0.0589

四.历史收益率的不同形式 ㈠算术平均收益 ㈡几何（时间加权）平均收益 从历史数据中可将 个观察事件的倒数作为可 从历史数据中可将 个观察事件的倒数作为可 能的概率 看待，从样本收益算术平均值中 得到期望收益 。 ㈡几何（时间加权）平均收益 代表时间加权的平均收益：

2001 -0.1189 2002 -0.2210 2003 0.2869 2004 0.1088 2005 0.0491 将最终价值折现为现值。

㈢几何平均与算术平均的关系 由于投资组合的最终贴现值为正或负的算术效应，通常几何平均值会显著小于算术平均值。 收益率的波动越大，几何均值与算术均值的差异就越大，综合收益率与年均收益率的差异也越大。若收益服从正态分布，差异将确切地等于方差的一半，即有：

㈣方差与标准差的估计 从期望收益中得到偏离程度估计值被定义为风险，但直接观察偏离值有难度，一般以期望收益的算术平均值（近似值）的偏离值平方的平均值来估计方差。

对 个事件历史数据，估计方差(有偏）为： 降低有偏误差的方法是使用算术均值与因子的乘积：

㈤报酬——风险比率（夏普比率） 对一个投资组合的评价关键看其收益波动率。 收益波动的含义是风险溢价应与超额收益带来的风险相匹配，这意味着可以更好地用溢价的标准差而不是总收益的标准差来衡量风险： 超额收益率的标准差即为单位风险。

1.算术平均收益是多少？ 2.几何平均收益是多少？ 年度 概率权重 持有期收益率 2003 0.33 0.2869 2004 0.1088 2005 0.0491 1.算术平均收益是多少？ 2.几何平均收益是多少？

3.收益的标准差是多少？ 4.假设无风险利率为6%，夏普比率是多少？ 年度 概率权重 持有期收益率 2003 0.33 0.2869 2004 0.1088 2005 0.0491 3.收益的标准差是多少？ 4.假设无风险利率为6%，夏普比率是多少？

第6章 风险厌恶与风险资产的资本配置 引导：准确判断、识别和把握风险收益偏好是成功投资的基础。 第6章 风险厌恶与风险资产的资本配置 引导：准确判断、识别和把握风险收益偏好是成功投资的基础。 由于人们的职业、收入、所处生命周期、经历、个性等存在区别，财务预算能力就存在着很大差异，决定了人们具有不同的风险厌恶；不同行业公司或企业处于成长的不同阶段，由于基本面差异，在财务流动性和资金实力上具有不同特点，对投资需求就会有很大区别，而只有准确判断、识别和把握了投资主体的风险厌恶程度，才能量身定制合适的财务策划并有针对性地设计、配置、选择产品和实施相应的投资策略，实现在有效控制风险基础上收益最大化的目标。

对于金融理财规划师而言，只有充分了解了客户的风险厌恶程度才能准确知晓客户需求信息，量身打造适合客户风险与收益偏好的投资方案，实现客户投资目标，以优质的增值服务来巩固、扩大客户群尤其是高端客户市场，提升银行的盈利能力和竞争实力； 对于职业投资人士来说，只有充分了解自身的风险厌恶程度，才能选择适合的理财产品，构建适合的理财产品组合，实现自身理财目标，尽情享受财富人身的乐趣；

可见，准确把握风险厌恶特征对成功投资意义重大。 对于个人与家庭来说，只有充分了解个人与家庭的风险厌恶特征，才能选择适合的投资顾问，制订适中的投资规划，介入适宜的投资市场，选择适当的工具与产品，实现个人与家庭财务目标，确保子女教育、住房家居、保险、退休、个人税收与遗产得到合理与有效规划，提升个人与家庭的生活品质。 可见，准确把握风险厌恶特征对成功投资意义重大。

一.投资组合的效用衡量 ㈠ 投资组合的选择困惑 投资组合 风险溢价% 期望收益% 风险程度% 7 5 4 9 10 H（高风险） 8 13 L（低风险） 2 7 5 M（中等风险） 4 9 10 H（高风险） 8 13 20 期望收益较高具有吸引力，风险较高排序落后。但风险随着收益增加而提高，就较难直接判断出具有吸引力的投资组合。

㈡衡量投资组合的效用值 期望收益越高，效用值越大；收益波动越大，效用越小。 效用随期望收益增加和风险减少而增长，效用程度取决于A（风险厌恶程度），A值越大，对风险投资越谨慎。投资者将选择效用水平最高的投资组合进行投资。

A=4的投资者应选择投资无风险资产。 A=2的投资者应选择投资风险资产组合。 例：风险资产投资组合期望收益为20%，标准差为

㈢均值——方差准则 经济环境 概 率 0.1 0.2 0.4 5.5 6.5 7.5 9 13.5 4 6 8 10 12 13 11 7 5

按期望收益选择应选 ,但未考虑未来收益分布偏离期望收益的偏离程度以及最低\最高收益率分布概率

证券 证券 9 8 ● 较高收益率为小事件 ● ● 较高收益率为高概率 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 极端情形为7 ● ● ● 极端情形为6

ABC在以方差 为横轴、期望收益率为纵轴的位置可画出

C (2.191,9) 9 8 B A (0.922,8) (2.191,8) 0.922 2.191

最受欢迎的投资组合区域在西北方向，提高了期望收益同时降低了收益率的方差。 西北部（最优方向） 投资组合P的风险收益特征 最受欢迎的投资组合区域在西北方向，提高了期望收益同时降低了收益率的方差。

投资组合A优于B的前提： 在收益相同的情况下选择风险小的，在风险相同情况下选择收益高的，即为均值方差准则。

第二、三象限的投资组合与P相比完全取决于投资者的风险厌恶程度，效用与吸引力相同。 ㈣效用无差异曲线 效用无差异曲线 Q ● 1 2 3 4 第二、三象限的投资组合与P相比完全取决于投资者的风险厌恶程度，效用与吸引力相同。

期望收益 % 标准差σ% 效用= 10 20.0 10-0.005×4×400=2 15 22.5 15-0.005×4×650=2 20 期望收益 % 标准差σ% 效用= 10 20.0 10-0.005×4×400=2 15 22.5 15-0.005×4×650=2 20 30.0 20-0.005×4×900=2 25 33.9 25-0.005×4×1150=2 风险厌恶 风险偏好

风险厌恶者 高度风险厌恶者 低度风险厌恶者 极端风险厌恶者

中性风险投资者 风险偏好者

效用无差异曲线的特点： ①投资者在以方差为横轴、期望收益率为纵轴平面面临无数效用无差异曲线； ②效用无差异曲线上的组合点对投资者来说，满意程度相同； ③位置越高的效用无差异曲线上组合点代表的满意程度越高； ④效用无差异曲线是平行的，并不相交

短期政府债券(国库券)利率即无风险资产利率。 二.风险资产与无风险资产投资组合的资本配置 ㈠什么是无风险资产 具有确定性收益即期末价值确定的资产; 短期政府债券; 期限短,通涨和利率变动可忽略\不违约; 投资者买无风险资产投资就是无风险投资; 无风险资产投资被认为是无风险贷款; 短期政府债券(国库券)利率即无风险资产利率。

无风险资产不受任何外界因素干扰,故无风 险资产与任何一种风险资产收益率之间的 协方差为0. 为无风险资产标准差,而 为风险资产标准差 所以: 无风险资产标准差为0, 无风险资产不受任何外界因素干扰,故无风 险资产与任何一种风险资产收益率之间的 协方差为0. 为无风险资产标准差,而 为风险资产标准差 所以:

资产配置决策的核心与关键是：决定投资组合的多少配置于无风险资产，多少投资于风险资产。 ㈡风险资产与无风险资产的配置 资产配置是投资组合构建中最重要的问题。 资产配置决策的核心与关键是：决定投资组合的多少配置于无风险资产，多少投资于风险资产。 设P为风险资产组合，其中有股票E与长期债券B；设F为无风险资产。 投资者初始投资组合总市值为300000元，其中90000元投资于国库券F，210000元投资于风险资产P：113400配置股票E，96600配置长期债券B

股票E与长期债券B组成了风险资产组合P。 风险投资组合P在整个投资组合中的资金配置权重为y：

相应地每种风险资产在整个投资组合中的资金配置权重为： 为了降低投资组合的总体风险，则需降低 风险资产组合P的比重以改变风险资产在整 个投资组合中的权重，若从0.7降至0.56:

与此同时，P要保持股票与长期债券的比重不变，依然为0.54和0.46。 于是，无风险资产总持有量从0.30上升至0.44: 也即：初始持有量加新分配的持有量为： 与此同时，P要保持股票与长期债券的比重不变，依然为0.54和0.46。 则需卖出股票E与债券B分别为：

卖出后股票E与债券B在P中的权重不变： 改变后的投资组合中无风险资产权重为0.44，配置资金132000元；风险资产组合权重为0.56，配置资金168000元，其中股票E配置90720元（在P中占0.54、在全部投资中占0.30）、债券B配置77280元（在P中占0.46、在全部投资中占0.26）。

三.单一风险资产与单一无风险资产的投资组合 设风险资产组合P的权重为y，余下的资金1-y投资于无风险资产F，并构建一个完整投资组合C。 ㈠组合C的期望收益 设： 则： 求 的期望值：

组合C的标准差取决于风险资产P的标准差及投资比重 任何投资组合的期望收益包括两部分：基本收益率（决定于无风险资产收益率）、风险溢价（决定于风险投资组合中的风险溢价和投资者持有的风险资产权重y）。 ㈡组合C的风险 一个风险资产与一个无风险资产构建的投资组合的标准差是风险资产的标准差乘以它在投资组合中的比重。 因： 组合C的标准差取决于风险资产P的标准差及投资比重 则：

由于： 故： 投资组合C的期望收益与其风险呈典型的线性关系，线性特征：截距为无风险资产收益率、斜率（报酬-风险比率）为——

● ● 风险资产与无风险资产的可行投资组合

斜率（夏普比率）越大、越陡峭的资本配置线上的组合效用越大 ● ● 斜率（夏普比率）越大、越陡峭的资本配置线上的组合效用越大

最优风险资产的资金权重与风险厌恶程度和由方差表示的风险水平成反比，与风险资产提供的风险溢价成正比。 三.最优风险资产权重的确定 ㈠最优风险资产的权重 最优风险资产的资金权重与风险厌恶程度和由方差表示的风险水平成反比，与风险资产提供的风险溢价成正比。 对完整投资组合来说，无风险资产最优权重：

投资者41%投资于风险资产，59%投资于无风险资产，具有最大的效用水平。 例： ，对于A=4的投资者，最优风险资产配置比例为多少？ 投资者41%投资于风险资产，59%投资于无风险资产，具有最大的效用水平。

41%投资于风险资产，整个投资组合的期望收益与标准差为: 整个投资组合的风险溢价为： 整个投资组合的报酬——风险比率为：

投资者完整投资组合在风险——收益平面所在位置 ● ● ●

㈡无差异曲线的构造 由于： 故： 从而可以找到效用值保持在0.05的所有期望收益与风险匹配的组合。

特定效用水平下的期望收益 标准差 A=2 A=4 U=0.05 U=0.09 0.0500 0.0900 0.050 0.090 0.05 0.0500 0.0900 0.050 0.090 0.05 0.0525 0.0925 0.055 0.095 0.10 0.0600 0.1000 0.070 0.110 … 0.50 0.3000 0.3400 0.550 0.590

更高的效用无差异曲线意味着更高的效用水平，于是投资者更愿意在高无差异曲线上寻找投资组合。

㈢最优投资组合的确定 在收益——风险坐标平面总有一条位置较高的效用无差异曲线与资本配置线相切，切点代表的组合即为最优投资组合。 下表的A=4

切点代表整个投资组合的最大效用值。 切点的标准差与期望收益分别是: 上图表反映了效用U=0.08653的无差异曲线与资本配置线相切。 最优投资组合中风险资产的资金配置权重为：

四.资本市场线：消极投资策略 ㈠什么是消极投资策略 ㈡为什么要采用消极投资策略 资本配置线由无风险资产与风险资产组合P构建，风险投资组合P的资产决策源于消极策略与积极策略。消极策略成为理智选择。 充分分散风险的普通股投资组合（指数组合）是消极持有风险资产的最佳选择。 ㈡为什么要采用消极投资策略 1.可供选择的积极投资策略不是免费的。 2.搭便车收益。从长期看市场是有效的，绝大多数资产价格是合理的，指数组合是公平合理的投资，并不比积极策略收益低。

㈢资本市场线的含义 1.消极投资策略的内容： 无风险资产、风险资产的指数组合。 2.由无风险资产与风险资产的指数组合构建的资本配置线即为资本市场线。

第7章 优化风险投资组合 分散化： 套期保值： 引导：投资组合有什么魅力？ 第7章 优化风险投资组合 引导：投资组合有什么魅力？ 分散化： “不要把鸡蛋放在一个篮子里”。分散非系统风险。随着组合链条的不断延长，组合的风险越来越接近系统风险。分散化是有局限的。 套期保值： 收益率上负相关的资产具有套期保值效用。欧莱雅与金堂伞业组合例子的说服力。

一.两种风险资产组合的风险收益特征 投资债券权重为 ，股票权重为

㈠投资组合的期望收益为： ㈡投资组合的方差为： 陆家嘴与浦东金桥在收益率上高度相关,将叠加组合风险

如何计算得到：

组合内是三个资产，如何计算方差：

组合内是n个资产，如何计算方差： …… …… …… …… …… …… …… …… ……

二.协方差与相关系数的意义 ㈠协方差 协方差是表示两个随机变量间关系的变量,是用来确定投资组合收益率方差的关键性指标。 历史与预期的协方差的计算分别为:

若一个组合有若干只股票时,其预期协方差为: 协方差的项数为: 如组合内有10只股票, 协方差的项数为多达 45项,因此其计算较为 复杂

负值表明D\E收益有相互抵消的趋向,D的收益 协方差的含义: 正值表明D\E收益有一致变动趋向,D的收益高于预期收益,E的收益也高于预期收益,反之反是; 负值表明D\E收益有相互抵消的趋向,D的收益 高于预期收益,E的收益低于预期收益。 协方差小于零表明两种 资产具有套期保值功效。

㈡相关系数 相关系数也是表示收益变动相互关系的指标,它是协方差的标准化。

协方差除以 是对D、E各自平均数的离差分别用各自的标准差进行标准化。 优点在于： D、E的协方差是有名数,不同现象变异情况不同,不能用协方差大小进行比较。标准化后,就可以比较不同现象的大小了。 D、E协方差数值是无界的,可以无限增多或减少,不便于说明问题,经过标准化后, 绝对值不超过1。

 位于﹣1与﹢1之间  =0时,D与E不相关;  ﹥0时, D与E同向变动,正相关；  ﹤0时, D与E反向变动,负相关； ㈢相关系数的几种特性:  位于﹣1与﹢1之间  =0时,D与E不相关;  ﹥0时, D与E同向变动,正相关；  ﹤0时, D与E反向变动,负相关；  ＝﹢1时, D与E完全正相关;  ＝﹣1时, D与E完全负相关

可能经济状况与A、B及市场组合预期收益率 可能 经济 状况 概 率 投资预期收益率(%) 概 率 投资预期收益率(%) 利率高企经济衰 退 0.2 -18 -4 -13 经济衰退利率下 降 0.25 16 -2 利率高企经济增 长 0.3 12 21 32 经济增长利率下 降 40 20

第一，A、B各自的期望收益与方差为多少？ 第二，若A、B构建一个资产组合是否具备套期保值效用？

A、B之间的协方差计算结果 为1.42，大于零，两者在收 益率上正相关，不可以进行 资产组合，不具备套期保值 效用

二.两种资产与 n 种资产的可行域 投资组合的期望收益为： 投资组合的方差为： 随着D与E权重的改变，可以获得若干个关于 D、E期望收益与方差匹配的投资组合。当这些投资组合被描绘在横轴为方差（标准差）、纵轴为期望收益的坐标平面时，D、E组合的可行域将显现出来。

得到 和 后,可在坐标系上确定一条经过 和 的曲线,这条线为 和 组合的结合线或可行域。 得到 和 后,可在坐标系上确定一条经过 和 的曲线,这条线为 和 组合的结合线或可行域。 D100% E0% ● D50% E50% ● D0% E100%

D150%, ﹣E50% ● ● E-50% D150% 允许卖空时D、E组合位置在延长线上。

实际上D、E的结合线为直线的情况不多,更多的是双曲线,其弯曲程度取决于D与E在收益率上的相关性。 ● ● 实际上D、E的结合线为直线的情况不多,更多的是双曲线,其弯曲程度取决于D与E在收益率上的相关性。

● ●

 位于﹣1与﹢1之间  =0时,D与E不相关  ﹥0时,同向变动,正相关  ﹤0时,反向变动,负相关  ＝﹢1时,完全正相关  ＝﹣1时,完全负相关 为何结合线向左方倾斜 组合理论的精髓是最大程度分散风险,组合相关性最低即能实现效用最大;风险中性估价法是假定股票收益率等于无风险利率;追求无风险资产和无风险利率便能达到理性投资者最大效用

当组合为三只股票时，可行域就不是曲线而是区域了。

当组合为三只股票时的可行域：

当组合为五个资产时：

当组合为五个资产时（不允许卖空的情形）的可行域为：

当组合为N种资产的组合时： 随着每一只资产权重的改变，可以获得关于 n种资产的期望收益与方差匹配的投资组合。当这些投资组合被描绘在横轴为方差（标准差）、纵轴为期望收益的坐标平面时，n种资产组合的可行域将显现出来。

N种证券的可行域

三.有效边缘的导出 n种证券的可行域 C B F E ·A ·D 最小方差组合A与B、C组合构成的边缘为有效边缘,比其他组合点满意程度最好,而ABC组合的满意程度相同,他们之间的选择取决于投资者的风险收益偏好特征。

权数,要得到由 、 组合的最小方差组合， 应为多少？ 最小方差组合的确定：关键是调整组合 权数,要得到由 、 组合的最小方差组合， 应为多少？ 最小方差组合的期望收益与方差为： 确定最小方差组合的权重后即便于确定有效组合。

● ● ●

四.最优资产组合的确定 在可行域中的有效边缘上总会有一条位置最高的效用无差异曲线与之相切,相切点代表的组合就是最优资产组合。 最优资产组合 B ● A ● 在可行域中的有效边缘上总会有一条位置最高的效用无差异曲线与之相切,相切点代表的组合就是最优资产组合。

对于面临相同的有效边缘,不同的投资者效用无差异曲线不同,其最优投资组合就不同 B A 高度风险规避者的最优投资组合选择

B A 一般风险规避者的最优投资组合选择

两种风险资产条件下，最优风险资产组合的权重为：

如果引入无风险资产，在不允许无风险资产卖空情形下扩展了的有效边缘的特征： 有效边缘由 与 构成 不允许无风险资产卖空的有效边缘

引入无风险资产后最 优投资组合的确定 引入无风险资产后有效边缘是由一条直线或线段和曲线共同组成 最优投资组合的确定

㈠无风险资产与最优风险投资组合的再组合； 五.一个完整投资组合的构建 ㈠无风险资产与最优风险投资组合的再组合； ㈡构建步骤： 1.确定各类资产的收益特征值（期望收益、方差、协方差等）； 2.建造最优风险投资组合； ⑴计算最优风险投资组合P：

⑵依据各类资产收益特征值，计算最优风险投资组合P的期望收益与方差： 3.将资金配置在风险投资组合和无风险资产上； ⑴计算最优风险投资组合P和短期国库券（无风险资产）的权重：

⑵计算出完整的投资组合中风险投资组合P投资于每一种风险资产和短期国库券（无风险资产）上的投资份额。 风险投资组合的权重： 无风险投资组合的权重： ⑵计算出完整的投资组合中风险投资组合P投资于每一种风险资产和短期国库券（无风险资产）上的投资份额。

例一：一投资者考虑3种资产的投资组合——股票E、债券D及短期国库券F，其中相关的参数如下： 假设该投资者风险厌恶系数为4。 请根据以上条件，回答下面的问题： （1）请说明确定一个完整投资组合的基本步骤； （2）请构建由E、D组成的最优风险投资组合； （3）请确定由E、D组成的最优资本配置线下的报酬-波动比率； （4）请确定投资者在E、D、F上的最优配置。

（1）基本步骤： 第一、确定组合资产中各类证券的收益特征值（包括期望收益、方差、协方差等）； 第二、利用最优资本配置线的确定方法确定最优风险资产组合； 第三、利用效用最大化原理确定资产在无风险资产与风险资产组合之间的配置。 （2）最优风险投资组合为股票E、债券D的配置比例，分别为 ， 。根据报酬-波动比率的原则，得：

（3）最优风险资产组合的期望收益与方差： 报酬-波动比率为：

（4）根据效用最大化的原理，得出无风险资产与风险资产组合之间的配置比例： 其中风险资产的权重为： 无风险资产国库券的权重为 股票的权重为 债券的权重为

例二：A、B与短期国库券的相关数据如下—— 资产类别 期望收益% 标准差% 股票A 10 20 股票B 30 60 短期国库券F 5 A、B的相关系数为-0.2。 ⑴画出A与B的可行集。 ⑵找出最优风险资产组合P及其期望收益与标准差。 ⑶找出由短期国库券与最优风险资产组合P支持的资本配置线的斜率。 ⑷当A=5时，应在A、B和短期国库券中各投资多少？

⑴画出A与B的可行集。 由标准差和相关系数得到协方差矩阵： 得到总体方差最小的投资组合为： 股票A 股票B 400 -240 3600 资产类别 期望收益% 标准差% 股票A 10 20 股票B 30 60 短期国库券F 5 ⑴画出A与B的可行集。 由标准差和相关系数得到协方差矩阵： 股票A 股票B 400 -240 3600 得到总体方差最小的投资组合为：

于是，得到期望收益与标准差为：

对于其他的投资组合，将 从0. 90降至0. 10，相应的 从0. 10增至0. 90 对于其他的投资组合，将 从0.90降至0.10，相应的 从0.10增至0.90.将这些投资组合代入期望收益与标准差的计算中，注意在 或 为1时，就代表单独持有该股票基金，所得期望收益与标准差即为该股票基金自身的值。 0.0 1.0 10 20 0.1 0.9 12 17.80 0.2 0.8 14 17.98 0.3 0.7 16 20.47 0.4 0.6 18 24.59 0.5 29.66 22 35.28 24 41.22 26 47.36 28 53.64 30 60 0.1429 0.8571 0.128 17.57最小方差

有效组合中A的配置小于0.8571，B的配置大于0.1429 最小方差组合（17.57、12.8%） B(60,30%) ● ● ● ● ● ● ● ● 最优风险资产组合P（21.13，16.36%） ● ● ● ● ● A(20,10%) ● A=5时投资者的完整投资组合，F49.11%、P50.89%

⑵找出最优风险组合P及其期望收益与标准差。 资产类别 期望收益% 标准差% 股票基金A 10 20 股票基金B 30 60 短期国库券F 5 ⑵找出最优风险组合P及其期望收益与标准差。 最优风险资产组合的权重为：

⑶找出由短期国库券与最优风险资产组合P支持的资本配置线的斜率。 资本配置线是无风险收益点与最优风险资产组合的连线，它代表了短期国库券与最优风险投资组合之间的所有有效组合，资本配置线的斜率为:

⑷当A=5时，应在A、B和短期国库券中各投资多少？ 在A=5的条件下，投资者愿意投资到最优风险资产组合P的比例为： 这意味着A =5的投资者愿意在最优风险资产组合P中投入50.89%的资金，由于A、B 两种股票在P中的比例分别为68.18%和31.82%，这个投资者分别投资于这两种股票的比例为：

在A=5的条件下，投资者愿意投资到无风险资产（短期国库券）上的比例为：

六.马科维茨的投资组合选择模型 具体步骤： ㈠确定投资者可行的风险——收益机会； 1.估计资产的风险收益和协方差矩阵值。 最小方差边界表示风险收益机会。边界表示在给定期望收益下，获得投资组合最小方差的图形。在给定一组期望收益、方差、协方差数据时，可计算出任何有特有期望收益投资组合的最小方差，把所有期望收益与标准差对应的点进行连接。 具体步骤： 1.估计资产的风险收益和协方差矩阵值。

2.估计完成后任意一个每种资产权重为 的风险投资组合的期望收益和方差都可通过协方差矩阵或以下公式计算得到： 3.确认有效的投资组合集（风险资产的有效边界）。 有效边界是给定期望收益下最小方差投资组合的集合。

确定有效集的两种方法： 第一，画出水平线代表必要的期望收益水平，然后寻找每条水平线上最小的标准差。针对不同水平的期望收益重复这一过程，即可得到最小方差边界形状。下半方差为无效。 第二，画出一条垂直线代表标准差的限制，后考察该线上所有的投资组合（有相同标准差），找出最高的收益水平，即垂直线上最高的投资组合。重复以上过程，画出不同的垂直线（代表标准差水平）以及相应的不同的圆点，圆点轨迹的上部即为有效边缘。

㈡考虑无风险资产，寻找一条有最高报酬—风险比率的资本配置线； ㈢单个投资者要选择出最优风险投资组合与短期国库券间的投资组合。 4.此后将有一组有效投资组合的数据清单，因为最优化程序给出的解包括投资组合中的权重 、期望收益 和标准差 。 ㈡考虑无风险资产，寻找一条有最高报酬—风险比率的资本配置线； 最优风险投资组合P的资本配置线与有效边缘相切。 ㈢单个投资者要选择出最优风险投资组合与短期国库券间的投资组合。

第8章 指数模型 引导：指数模型在优化风险资产投资组合上具有哪些优势？ 第8章 指数模型 引导：指数模型在优化风险资产投资组合上具有哪些优势？ 第一，克服了马科维茨模型在衡量风险时要建立协方差矩阵而需要大量的估计值。 估计的可能误差与令人生畏的庞大协方差计算量使马科维茨模型缺乏实践验证的支持，尽管在理论逻辑上它具有无可争辩的严密性。

马科维茨认为证券与证券之间之所以建立联系是因为彼此在收益率上相关，但指数模型认为证券与证券之间之所以建立联系是因为它们对一些影响收益的共同或宏观因素保持敏感。 第二，指数模型加强了对证券风险溢价的分析，将风险分解为系统性风险和公司特有的非系统风险，既表达了分散化的利弊，还可用来衡量特殊证券与投资组合的风险。 马科维茨模型对预测风险溢价没有任何指导作用，因为难以根据历史收益来准确确定未来预期收益。

若引起收益变化的因素是一些影响所有公司的宏观经济变量 ，那么将不确定因素分解为整个经济系统的不确定性和特定公司的不确定性，收益率即为： 一.收益分布的正态性与系统风险 任何资产的收益率 分为各种预期与非预期 收益率之和，即为： 若引起收益变化的因素是一些影响所有公司的宏观经济变量 ，那么将不确定因素分解为整个经济系统的不确定性和特定公司的不确定性，收益率即为：

将各种资产关联起来，特有事件 之间没有联系。由于 与任意公司特有事件之间没有联系，那么任意两个资产 和 之间的协方差为： 衡量未预期影响所有资产收益的宏观突 发事件，均值为零，标准差为 ； 仅衡 量特定公司的突发事件。 与 相互独立 。资产收益的方差为： 将各种资产关联起来，特有事件 之间没有联系。由于 与任意公司特有事件之间没有联系，那么任意两个资产 和 之间的协方差为：

不同公司与资产对 具有不同的敏感度。若 定义这一敏感度差异为 ，即可衡量这一区别，资产的收益率可表示为： 资产 的系统风险取决于它的 系数，周期性行业的 系数较高。资产 的系统风险为 ，总风险即为：

那么任意两个资产间的协方差也取决于其 即为： 值相等的公司与资产的市场风险相同。 资产收益与共同因素之间存在线性关系，从而极大简化了分析过程。

因市场指数是股票组合，价格与收益率均可预测，故可获得大量历史数据来估计其系统风险。 二.单指数模型 ㈠单指数模型的回归方程 将指数作为影响所有资产收益的共同敏感因素，单因素模型就变为单指数模型。 因市场指数是股票组合，价格与收益率均可预测，故可获得大量历史数据来估计其系统风险。 设 表示市场指数，市场的超额收益率为 ，标准差为 。

因为指数模型是线性的，可用一元线性回归的方法估计单一资产对指数的敏感性（ ），即将资产的超额收益率与指数的超额收益率进行回归。回归方程为： 因为指数模型是线性的，可用一元线性回归的方法估计单一资产对指数的敏感性（ ），即将资产的超额收益率与指数的超额收益率进行回归。回归方程为： 截距 代表当市场超额收益率取零时资产 的超额收益率水平，斜率代表资产 对指数变化的敏感度。残差项为零均值的公司特有突发事件对资产收益的影响。

因残差项期望值为零，对单指数模型回归方程两边求期望值，可得到单因素指数模型的期望收益与 值之间的关系： ㈡期望收益与 值之间的关系 因残差项期望值为零，对单指数模型回归方程两边求期望值，可得到单因素指数模型的期望收益与 值之间的关系： 指数模型将单一资产的风险溢价分为两部分，即 表示资产风险溢价部分源于指数风险溢价，被称为系统风险溢价，代表整个市场。资产风险溢价部分另一部分源于 ，代表非市场溢价。 若资产定价偏低， 会较大，因为这样才能提供有吸引力的期望收益。当资产价格处于均衡状态时，吸引力会丧失， 趋向于零。若分析师给出了各种资产的 估计值，若投资者相信自己比分析师更高明，总有能力找到 非零股票。

㈢单指数模型的风险和协方差 总风险=系统风险+非系统风险 协方差=资产 值的乘积×市场指数风险 马克维茨模型的最大缺陷是模型的实现需要大量的参数估计，而指数模型大大缩减了参数的估计值。 总风险=系统风险+非系统风险 协方差=资产 值的乘积×市场指数风险 相关系数=特殊资产与市场指数的相关系数的乘积

市场总股本为：3000+1940+1360=6300 例：ABC组成市场且满足单指数模型，市场指数组合标准差为25%。 股票 股本金 贝塔系数 平均超额收益率 标准差 A 3000 1.0 10% 40% B 1940 0.2 2% 30% C 1360 1.7 17% 50% 例：ABC组成市场且满足单指数模型，市场指数组合标准差为25%。 ⑴市场指数组合的平均超额收益率为多少？ 市场总股本为：3000+1940+1360=6300

⑵股票A与B的协方差为多少？ ⑶股票B与市场指数的协方差为多少？ 股票 股本金 标准差 A 3000 1.0 10% 40% B 1940 贝塔系数 平均超额收益率 标准差 A 3000 1.0 10% 40% B 1940 0.2 2% 30% C 1360 1.7 17% 50% ⑵股票A与B的协方差为多少？ ⑶股票B与市场指数的协方差为多少？

B的方差为： B的系统风险为： B的非系统风险为： ⑷将股票B方差分解为市场和公司特有两部分。 股票 股本金 标准差 A 3000 1.0 贝塔系数 平均超额收益率 标准差 A 3000 1.0 10% 40% B 1940 0.2 2% 30% C 1360 1.7 17% 50% ⑷将股票B方差分解为市场和公司特有两部分。 B的方差为： B的系统风险为： B的非系统风险为：

例：用指数模型估计的股票A与B的超额收益的结果如下：

由股票A与B组成的等权重投资组合的非系统标准差为多少？

三.利用单指数模型构建最优投资组合 积极组合 消极组合 ㈠投资组合的设计 投资者限定于投资n个股票，股票置于上证 指数中，因资源有限，组合分散化有限。 解决不充分分散的方法是购买n个股票的同 时，使上证指数组合成为投资组合的一部分。 作为整个组合一部分的上证指数组合特性有： 整个投资组合： n个股票组合 上证指数组合 资产n 资产n+1 积极组合 消极组合

3.资产n中每个资产的贝塔系数估计、残差估计、阿尔法估计。 ㈡投资组合相关参数估计 1.上证指数风险溢价估计； 2.上证指数组合标准差估计； 3.资产n中每个资产的贝塔系数估计、残差估计、阿尔法估计。 每个资产的阿尔法值、上证指数的风险溢价以及每个资产的贝塔值将用于决定每个资产的期望收益。

㈢单指数模型的最优投资组合 利用 估计值和 系数、上证指数 及 可得n+1个期望收益值。 利用 估计值、残差及 及 可建立协方差矩阵。在给定一列风险溢价和协方差矩阵下可直接导出最优化程序。

进一步利用组合权重 最大化 组合的夏普比率（结合权重值、期望收益、 标准差得到夏普比率）。

单指数模型下的最优风险投资组合由两个组合构成： 消极组合 积极组合 A 组合 M 组合 由n个分析过 的资产组成 由第n+1种资产组成， 即市场指数组合 ㈣单指数模型下最优投资组合的资金权重 假定积极组合A 的为1。

积极组合A的最优权重相当于比率： 消极组合M的最优权重相当于比率： 因此，在积极组合A中最初的头寸为： 由于假定 ，故该比率平衡了积极组合的贡献（ 值）和它对组合方差的贡献（残差）。 消极组合M的最优权重相当于比率： 因此，在积极组合A中最初的头寸为：

上式为假定 ，在不等于1时就需要依据真实的 对其头寸进行修正。 上式为假定 ，在不等于1时就需要依据真实的 对其头寸进行修正。 从实证角度看，对于任何水平的 ，当 越高， 与 之间的相关性就越大，将从 中获得较少的分散化好处，在投资组合中的头寸也更小，相应地 的头寸就需要增加。 积极组合头寸的准确调整如下：

明确了 、 和 ，便可通过求 和 得到积极组合A 的最优头寸。 ㈤信息比率 明确了 、 和 ，便可通过求 和 得到积极组合A 的最优头寸。 投资 于A，投资 于M，即可计算出最优风险投资组合的期望收益、标准差和夏普比率。最优风险投资组合的夏普比率比指数组合M的夏普比率大。它们之间的关系为： 上式表明在最优权重 下积极组合对整个风险投资组合夏普比率的贡献取决于它的 值对它的标准残差的比率，此比率即为信息比率。

若投资于每个资产的比例为 ，积极组合A 的信息比率将得到最大化。调整此比率，使得所有积极组合A中资产的头寸相加等于 ，即每个资产的权重为： 信息比率测度反映证券分析中对应公司特定风险超额收益。 表明要最大化总夏普比率，必须最大化积极组合A的信息比率。 若投资于每个资产的比例为 ，积极组合A 的信息比率将得到最大化。调整此比率，使得所有积极组合A中资产的头寸相加等于 ，即每个资产的权重为：

运用这组权重，可以得到每个资产对积极组合A信息比率的贡献依赖于它们各自的信息比率，即：

一旦证券分析完成，证券指数模型估计和市场指数参数建立，可以按照下列步骤构建最优化风险投资组合： ㈥单指数模型下的最优化程序 一旦证券分析完成，证券指数模型估计和市场指数参数建立，可以按照下列步骤构建最优化风险投资组合： 1.计算积极组合中每个资产的原始头寸 2.调整这些原始头寸，使组合权重之和为1

3.计算积极组合A的 值 4.计算积极组合A的残差值 5.计算积极组合A的原始头寸

6.计算积极组合A的 值 7.计算积极组合A的原始头寸 8.注意，此时最优风险投资组合的权重

10.运用指数组合的方差和积极组合A残差计算最优风险投资组合的方差 9.计算最优风险投资组合的风险溢价 根据指数组合的风险溢价和积极组合A 的 ，可以得出最优风险投资组合风险溢价： 注意：风险投资组合的 值为 ，因为指数组合的 为1. 10.运用指数组合的方差和积极组合A残差计算最优风险投资组合的方差

即使投资者自信证券分析能力与质量，但当上证指数下跌，因其贝塔值较大，该组合尽管低估，也会出现因市场下跌而发生损失。 四.指数模型与跟踪投资组合 防范投资组合系统性风险的措施。 一个有经验的投资者通过证券分析获得了一组价值被低估的资产组成投资组合P，并用上证指数模型公式估计其超额收益为： 即使投资者自信证券分析能力与质量，但当上证指数下跌，因其贝塔值较大，该组合尽管低估，也会出现因市场下跌而发生损失。

①针对低估值的投资组合P而设计；②与低估值的投资组合P收益的系统成分相匹配；③与低估值投资组合P有相同的贝塔值；④非系统风险尽可能小。 跟踪投资组合T 的特点： ①针对低估值的投资组合P而设计；②与低估值的投资组合P收益的系统成分相匹配；③与低估值投资组合P有相同的贝塔值；④非系统风险尽可能小。

同时构建复合组合C：对P与T进行反方向交易，买进P并卖空T抵消P 的系统风险。即使指数下跌，复合组合头寸不会受到影响，P的

低估的投资组合P的系统风险被消除，但仍有非系统的残差风险存在，但若P被有效合理分散，则P的非系统的残差风险可以忽略不计。 结果：投资者能利用4%的 值，同时又没有忽略市场风险，而且较好地规避了系统性风险。

财富路漫漫其修远兮， 吾将上下而求索。。。