第五章　標準分數 第六章　常態分配 授課教師：葉玉賢老師

標準分數：定義與分類 標準分數是以標準差為單位，表示個人原始分數和團體平均數之差的一種分數。故標準分數是以平均數為參照點，來說明個人在團體分數的「位置」。

標準分數：定義與分類 從公式可知，z分數只是原始分數的直線轉換而已。 Z分數的計算方式就是將原始分數減掉平均分數後，再除以標準差。 X：原始分數 M：平均分數 SD：標準差 從公式可知，z分數只是原始分數的直線轉換而已。

當原始分數轉換為「有多少個標準差」的概念…

當原始分數轉換為「有多少個標準差」的概念… 我們的理解是： 假定標準差是一個測量單位，則小明的分數應該是掉落在平均數以上或以下的「幾個單位」呢？ 「幾個單位」中的「幾」個，即是Z分數的概念。所以Z分數並沒有單位可言，而是一個數字。

Ｚ分數的進一步解釋… 假設某國中舉行高中聯招試題模擬考試，已知數學科的全校平均數為60.00，標準差為4.50，而英文科的全校平均數為75.00，標準差為8.60；且Ａ班的數學成績平均為55.50，英文成績平均為83.60，而Ｂ班的數學成績平均為64.50，英文則為66.40。請問： 我們可以直接拿不同單位的原始分數來比較嗎？ 究竟兩班各科的平均成績高於「幾」個標準差？ ＡＢ兩班的數學與英文成績孰優？

Ｚ分數的特性 當z分數小於0時，表示該觀察值落在平均數以下。 當z分數大於0，表示該觀察值落在平均數以上；數值越大，表示距離平均數越遠，

Ｚ分數的特性 任何一組數據經過z公式轉換後，均具有平均數為0，標準差為1 的特性。 z分數僅是將原始分數進行線性轉換，並未改變各分數的相對關係與距離，因此，z分數轉換並不會改變分配的形狀。

缺點… 　Z分數的缺點是原始分數小於平均數時，會產生負值。 Z分數的另一個缺點是不容易對家長解釋分數的意義。

直線轉換公式 直線轉換式：Z = az + b 大寫的Z： 轉換的標準分數 T分數(T=10z+50) SAT考試（Scholastic Assessment Test）（SAT=100z+500） 魏氏智力測驗為（平均數為100，標準差為15的標準分數）（WISC=15z+100）

比西智力測驗的離差智商＝16Z＋100 (比西智力測驗的平均數100，標準差16) 魏氏智力測驗的離差智商＝15Z＋100 (魏氏智力測驗的平均數100，標準差15)

例題 例1：小華班上的數學成績平均分數為82分，標準差9，而小華的數學成績為91分，請問小華的Z分數是多少？

答案是…

另一個標準分數：T分數 T分數是由Z分數以線性轉換而得的標準分數。T分數的計算方式為：T＝10Z＋50 承Z分數例1與例2，小華的Z分數為1，小明Z分數為-2，則小華與小明的T分數為 小華的T分數＝10 × 1＋50＝60 小明的T分數10 ×-2＋50=30

　當原始分數的分佈情形並不是常態分配時，通常會考慮將原始分數轉換成常態化標準分數，以使分數的分配達到趨近常態分配的情形。 計算常態化的標準分數，首先將原始分數轉換成百分等級，再藉由常態分配表，查出百分等級相對應的Z分數，即為原始分數的常態化標準分數。

常態分配

何謂常態？ 天下烏鴉一般黑 ………………嗎？ 表示… 只要有一隻烏鴉不是黑色的，則「烏鴉是黑色的」的說法就可以被推翻。 事實上，找不到烏鴉不是黑色的，所以烏鴉是黑色的是一種常態。 但萬一哪一天找到烏鴉不是黑色的呢…?

中國人常講不怕“一萬”，只怕〝萬一〞… 表示〝一萬次中最多 只有可能一次發生〞的事件為意外， 統計學家則以〝20次實驗中最多 只有1次發生〞， 此種機率低於5%的事件為異常。

機率與分配：機率是什麼？ 一副撲克牌有52張 其中有4張K 出現老K的機率為多少？

機率與分配：機率是什麼？ a：A事件出現的次數 n：所有事件出現的次數

出現老Ｋ的機率是…

二項分配：binominal distribution 投擲1個銅板出現正面的機率 a：A事件出現的次數 n：所有可能出現的次數

二項分配：binominal distribution 投擲2個銅板有4種可能 正面 正面 正面 反面 反面 正面 反面 反面 可能情況 機率 2個正面 1/4 1個正面 2/4 0個正面

二項分配：binominal distribution 投擲2次 N＝2

二項分配：binominal distribution 投擲3個銅板有8種可能 正面 正面 正面 正面 正面 反面 正面 反面 正面 反面 正面 正面 正面 反面 反面 反面 正面 反面 反面 反面 正面 反面 反面 反面 可能情況 機率 3個正面 1/8 2個正面 3/8 1個正面 0個正面

二項分配：binominal distribution 投擲4個銅板出現正面的機率 可能情況 機率 4個正面 1/16 3個正面 4/16 2個正面 6/16 1個正面 0個正面

二項分配：binominal distribution 投擲4次 N＝4

二項分配：binominal distribution 投擲6個銅板出現正面的機率 可能情況 機率 6個正面 1/64 5個正面 6/64 4個正面 15/64 3個正面 20/64 2個正面 1個正面 0個正面

二項分配：binominal distribution 投擲6次 N＝6

二項分配：binominal distribution 投擲10次 N＝10

二項分配：binominal distribution 投擲次數愈多、愈像常態分配 樣本數量愈大、愈像常態分配 當pn與qn皆≧10時，出現正面的平均數μ 當pn與qn皆≧10時，出現正面的標準差σ

常態分配：normal distribution 鐘形分配 兩邊對稱 反曲點 反曲點 μ－1σ μ＋1σ μ

常態分配：normal distribution 連續的分配 兩邊對稱於平均數 平均數＝中數＝眾數 曲線有兩個反曲點：μ＋1σ與μ－1σ 曲線下的面積代表機率 曲線下的全部面積為1

標準常態分配 以Z分數為基礎 μ＝0 σ＝1 反曲點 反曲點 －1 +1

標準常態分配

回到教育議題… 假設某次IQ測驗有一萬人，平均分數為100分，標準差為15分，且IQ測驗成績直方圖呈鐘形…

我們可以知道 約有6800人的成績在85分到115分之間，約有9500人的成績在70分到130分之間，約有9970人的成績在55分到145分之間， 也可由此推得IQ成績低於55分約有15人，而IQ超過145分的大約有15人

例如，在IQ測驗中 平均分數是100分，標準差為15分， IQ超過130分者為智優， 低於70分者為智劣

IQ成績直方圖

IQ成績直方圖頂邊中點連線

IQ成績次數分配折線圖

IQ成績常態分佈圖

常態曲線(或高斯曲線) 1.常態曲線公式是一條由兩個參數（平均數和標準差）所決定的函數。 將χ‐μ 以z分數取代 σ 　換算公式所得出來的分配曲線稱之為標準化分配曲線（standardized normal distribution）

常態曲線圖

鐘形分佈

標準常態分配密度函數 呈對稱鐘形

查表練習

查表練習

查表練習

查表練習

查表練習

查表練習 σ=100 μ=500 ？