第二讲 微积分概揽、发展简史 实数理论

微积分概观 微积分研究对象：函数（ 主要是连续函数, 特别是初等函数 ） 微积分基础： 极限论（Calculus without limits is like Romeo without Juliet ）

微积分概观 关于函数的微积分: 主要研究连续函数, 特别是初等函数

微积分研究的对象 微积分是研究变量之间的关系(即函数)的科学。例如，函数曲线的切线，曲线下的面积，函数的极值等。 按自变量的多少分为一元微积分和多元微积分。 研究的函数主要为连续函数，特别是初等函数。

微积分 微分学 积分学

微分学 导数、微分的概念(求瞬时速度、切线问题) 导数的计算 导数的应用

积分学 不定积分 定积分

不定积分 不定积分以及原函数的概念、性质（微分的逆运算） 不定积分的计算 基本积分公式 换元积分法 分部积分法

定积分 定积分的概念、性质（求面积，力做的功等） 定积分的应用 定积分的扩展：非正常积分 定积分的计算 定义 微积分基本定理（微分与积分的桥梁，参下页） 基本积分公式 换元积分法 分部积分法

微积分基本定理（Newton-Leibniz定理） 或

微积分基础： 极限论 Calculus without limits is like Romeo without Juliet 诸多基本概念如 导数 定积分 连续函数 都赖于极限概念

微积分概观 微积分研究对象：函数（ 主要是连续函数, 特别是初等函数 ） 微积分基础： 极限论（Calculus without limits is like Romeo without Juliet ）

学习关键 理解基本概念 极限 连续函数 导数与微分 不定积分与定积分 掌握基本计算 求导数 求积分 了解基本应用 导数，微分 定积分

微积分发展史 从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。

阿基米德（Archimedes，古希腊, 287BC-212BC） 和牛顿、高斯并列为有史以来三个贡献最大的数学家 在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，隐含着近代积分学的思想。“穷竭术”

穷竭术求弓形面积

不可分量法 穷竭术太依赖于特殊的几何曲线 改善为不可分量法（伽利略，开普勒，伽利略的学生卡瓦列里（表现最系统））

思考题 求 抛物线 y=x^2 和 直线 y=0, x=1 所围区域的面积。

中国古代朴素的极限思想（例一） 庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有 “一尺之棰，日取其半，万世不竭”。

中国古代朴素的极限思想（例二） 刘徽（公元263年）撰《九章算术注》 割圆术 ：“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。” 得到 的近似值3.14

古代对圆周率的经验值 圆周率是指圆周长与直径的比，Pi 经验值：3 （“周三径一，方五斜七”）

最早计算圆周率的科学家 阿基米德第一个科学地考察了这个常数，给出了将 Pi 计算到任何精确度的方法 给出估值： 3.14271 给出估值： 3.14271 约率 22/7 ≈ 3.1429 密率 221/71 ≈ 3.1126

圆周率的计算－中国的骄傲 祖冲之 (429-500, 南北朝时期) 3.1415926 <  < 3.1415927 3.1415926 <  < 3.1415927 约率：22/7 ≈ 3.142871 密率：355/113 ≈ 3.1415929

内接多边形周长的一半 < < 外切多边形周长的一半 割圆术求 值 用圆的内接多边形逼近圆 用圆的外切多边形逼近圆 设圆的半径为1，则 内接多边形周长 <圆周长2 < 外切多边形周长 从而： 内接多边形周长的一半 < < 外切多边形周长的一半

由正三边形来近似，可得估值 2.59808< <5.19615 使用正六边形可得估值： 3.00000< <3.46410

n 圆内接 n边形 圆外切 12 3.10583 3.21539 24 3.13263 3.15966 48 3.13935 3.14609 96 3.14103 3.14271 192 3.14145 3.14187 n sin(Pi/n) n tan(Pi/n)

微积分产生的因素：问题 到了十七世纪，有许多科学问题需要解决 求即时速度 求曲线的切线 求函数的最大值和最小值问题 求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力

费尔玛（Fermat, 法国，1601－1665） 和笛卡儿一起奠定了解析几何的基础； 从几何角度，第一次给出了求函数极值的法则 和帕斯卡一起奠定了概率论的基础

笛卡尔(René Descartes，法国，1596—1650) 希腊人的几何过于抽象，而且过多的依赖于图形，总是要寻求一些奇妙的想法。代数却完全受法则和公式的控制，以致于阻碍了自由的思想和创造。 解析几何结合了几何的直观与推理的优势和代数机械化运算的力量。 “笛卡尔，欧洲文艺复兴以来，第一个为人类争取并保证理性权利的人”

笛卡尔与解析几何

微积分的创立 十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。 他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。

牛顿（Isaac Newtons，1643－1727） 牛顿和他的《自然哲学的数学原理》

莱布尼茨(Leibniz，1646－1716) 莱布尼茨的多才多艺在历史上很少有人能和他相比，他的研究领域及其成果遍及数学、物理学、力学、逻辑学、生物学、化学、地理学、解剖学、动物学、植物学、气体学、航海学、地质学、语言学、法学、哲学、历史和外交等等。

微积分初期在逻辑上的矛盾 牛顿的无穷小量： 说它不是零，并用看起来很像零的英文字母 来记它；又常用 ，或在两个无穷小量乘积中令它为零。

微积分初期在逻辑上的矛盾 牛顿的无穷小量： 说它不是零，并用看起来很像零的英文字母 来记它；又常用 ，或在两个无穷小量乘积中令它为零。 说它不是零，并用看起来很像零的英文字母 来记它；又常用 ，或在两个无穷小量乘积中令它为零。 说它是零，又允许以它为分母，并且称 为不定式。

爱尔兰红衣大主教伯克莱的指责 连牛顿的微积分、无穷小量那样模糊不清，逻辑混乱的东西都可以相信，为什么你们却不肯相信上帝呢？ 《分析学家，或致一位不信神的数学家》 (指 哈雷)

对于微积分应用的成功 “我所非议的不是您的结论，而是您的逻辑和方法：您是怎样进行证明的？您所熟知的对象是什么？关于它们您的表述是否清楚？您依据的原理是什么？它们是否可靠？ 您是如何应用他们的？” 至于得到了正确的结论，这是“因为这个错误被另一个相反的但程度相当的错误抵消了”（指莱布尼茨）

第二次数学危机 把微积分放在一个严格的基础上是很长一段时间数学家着重努力的大问题。 史称第二次数学危机。

微积分的严格化－基于极限论 柯西（Cauchy），魏尔斯特拉斯(Weierstrass)等建立极限理论。 无穷小量是极限为零的量。 分析基础严密化的工作

微积分的严格化－基于极限论 柯西（Cauchy），魏尔斯特拉斯(Weierstrass)等建立极限理论。无穷小量是极限为零的量。 极限是一个数，但数是什么？例如问题：序列（根号2的不足近似值） 在有理数范围内没有极限，这就需要先定义实数。

《数，科学的语言》 【美】丹奇克著，上海教育出版社

实数系的演变－数的分类 自然数集 整数集 有理数集 实数集 实数系是将度量型的各种量的通性抽象化和组织化而得出的数系，它是用来表达、计算和研究这一类型的量的数学工具

从数学运算的封闭性看数系的发展 数数－>自然数 描述左右，高低－>负数 由上述得到 整数 整体的部分－>分数（有理数） 开方运算（正方形的对角线）－>无理数 由上述得 实数 (负数开方－>复数)

有理数与实数的差别 有理数具有的性质 对＋、－、×、÷ 封闭 有序 稠密性 实数 有理数所具有的性质 对开方运算封闭 具有连续性

第一次数学危机 有理数本质上只可用于刻画离散的对象，而几何图形如线段等等本质上却是连续的。

实数理论的建立 直到19世纪六七十年代，实数理论才比较完备。 例如，戴德金(Dedekind,1813-1916德国)用有理数德分割作为实数的定义。

实数域构造的成功，使直线上的点与数一一对应，从而填平了算术与几何之间的鸿沟 使古希腊人的算术连续统的设想终于在严格的意义下得以实现 给新生的微积分学奠定了巩固的基础，使分析数学步入新的发展阶段。

为科学而疯的人－康托尔 康托尔 （Cantor ，1845 －1918） 集合论创始人 集合论是现代数学中重要的基础理论

《无穷之旅－关于无穷大的文化史》【以色列】马奥尔

为科学而疯的人－康托尔 过度的思维劳累以及强列的外界刺激曾使康托患了精神分裂症。这一难以消除的病根在他后来30多年间一直断断续续影响着他的生活。1918年1月6日，康托在哈勒大学的精神病院中去世。 1897年举行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认，罗素称赞康托尔的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。”

康托尔的理论略识 整数和偶数一样多 有理数可数，实数不可数 （含或不含端点的）有限线段与无穷直线的点能够一一对应 一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应 （参: 希尔伯特旅馆）

第三次数学危机 1903年，罗素出版了《数学的原理》一书 书中提到著名的罗素悖论 罗素（1872-1970）

罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所组成。然后罗素问：S是否属于S呢？ 数学基础产生了裂纹，震动了整个数学界

第三次数学危机的消除 1908年，策梅罗提出第一个公理化集合论体系 后来经其他数学家改进，称为ZF系统。这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。

Conclusion 微积分概揽 微分分发展简史 概念，计算技能，应用方法 古代的极限思想 微积分的草创 微积分基础不牢固引发的数学危机 微积分基础的奠定－极限论，实数理论

微积分发展的启示 数学的学习也需要不畏艰难，坚持之后就是成功。 这是一门值得学习的学科： 柯朗：“这门学科乃是一种撼人心灵的智力奋斗的结晶”