电动力学 Electrodynamics

Introduction 引 言 电动力学的研究对象是电磁场的基本性质、运动规律以及其与带电物质之间的相互作用。 引 言 Introduction 电动力学的研究对象是电磁场的基本性质、运动规律以及其与带电物质之间的相互作用。 电动力学的研究内容是阐述宏观电磁场理论，主要从实验定律中总结电磁场的普遍规律，建立Maxwell’s equations。讨论稳恒电磁场、电磁波传播、电磁波辐射及电动力学的参考系问题。

1） 掌握电磁场的基本规律，加深对电磁场性质和时空概念的理解； 学习电动力学课程的主要目的是： 1） 掌握电磁场的基本规律，加深对电磁场性质和时空概念的理解； 2） 获得本课程领域内分析和处理一些基本问题的初步能力，为以后解决实际问题打下基础； 3） 通过电磁场运动规律和狭义相对论的学习，时空本质的认识及其它物理规律本质的认识 。

学习电动力学课程的主要意义是： 在生产实践和科学技术领域内，存在着大量和电磁场有关的问题。 例如电力系统、凝聚态物理、天体物理、粒子加速器等，都涉及到不少宏观电磁场的理论问题。在迅变情况下，电磁场以电磁波的形式存在，其应用更为广泛。无线电波、热辐射、光波、X射线和γ射线等都是在不同波长范围内的电磁波，它们都有共同的规律。因此，掌握电磁场的基本理论对于生产实践和科学实验都有重大的意义。

要想学好电动力学，必须树立严谨的学习态度和刻苦的学习作风。 电动力学比电磁学难学，主要体现在思维抽象、习题难解等。为此，在学习时要注意掌握好概念、原理、结构和方法，这些在听课、阅读、复习、小结和总复习时都要注意做到，既见树木，更见森林。要在数学与物理结合上下硬功夫，培养物理与数学间相互“翻译”的能力，能熟练地运用数学独立地对教材内容进行推导，并明确它们的物理意义和图象。

电动力学课程的基本内容 1.电磁现象的普遍规律 2.与时间无关的电磁问题，静电，静磁（相对于观察者来说，静止不动） 3.电磁波的传播和辐射（与时间有关，我们研究的只是这两个方面） 4.狭义相对论的基础

其它说明 1.课前预习，课后复习 2.课中认真听讲，及时沟通，记笔记（三方面的信息都要记，板书，语言，动作） 3.利用好辅导答疑时间，及时完成作业

5、Classical Electrodynamics J.D.Jackson 高等教育出版社 学习参考书： 1、电动力学 郭硕宏 高等教育出版社 2008 2、电动力学 汪德新 科学出版社 2005 3、电动力学 尹真 科学出版社 2005 4、经典电动力学 蔡圣善 高等教育出版社 5、Classical Electrodynamics J.D.Jackson 高等教育出版社

知识前提 1.普通物理（主要是电磁学），初等微积分，矢量代数—应很熟悉 2.矢量分析，场论基础—作为本课程的第0章 3.数理方法（程），特殊函数—提到时应该能理解

第 0 章 ——预备知识—矢量场论复习 Preliminary Knowledge — Revise in the Vector Field Theory

本章重点阐述梯度、散度、旋度三个重要概念及其在不同坐标系中的运算公式，它们三者之间的关系。其中包括两个重要定理：即 Gauss theorem 和 Stokes theorem，以及二阶微分运算和算符 运算的重要公式。

本 章 主 要 内 容 标量场的梯度 算符 矢量场的散度 高斯定理 矢量场的旋度 斯托克斯定理  在正交曲线坐标系中 运算的表达式 标量场的梯度 算符 矢量场的散度 高斯定理 矢量场的旋度 斯托克斯定理 在正交曲线坐标系中 运算的表达式 二阶微分算符 格林定理     

§0-1 标量场的梯度， 算符 Gradient of Scalar Field, Operator §0-1 标量场的梯度， 算符 Gradient of Scalar Field, Operator

1、场的概念(The Concept of Field) 场是用空间位置函数来表征的。在物理学中，经常要研究某种物理量在空间的分布和变化规律。如果物理量是标量，那么空间每一点都对应着该物理的一个确定数值，则称此空间为标量场。如电势场、温度场等。如果物理量是矢量，那么空间每一点都存在着它的大小和方向，则称此空间为矢量场。如电场、速度场等。若场中各点处的物理量不随时间变化，就称为稳定场，否则，称为不稳定场。

2、方向导数(Directional Gradient) 方向导数是标量函数 在一点处沿任意方向 对距离的变化率，它的数值与所取 的方向有关， 一般来说，在不同的方向上 的值是不同的，但 它并不是矢量。如图所示， 为场中的任意方向，P1是这个方向线上给定的一点，P2为同一线上邻近的一点。 P1 P2

为p2和p1之间的距离，从p1沿 到p2的增量为 若下列极限 存在，则该极限值记作 ，称之为标量场 在p1处沿 的方向导数。 3、梯度(Gradient) 由于从一点出发，有无穷多个方向，即标量场 在一点处的方向导数有无穷多个，其中，若过

该点沿某一确定方向取得 在该点的最大方向导数，则可引进梯度概念。记作 称之为 在该点的梯度（grad 是gradient 缩写）， 它是一个矢量，其大小 ，其方 向即过该点取得最大方向导数的某一确定方向,即 表示。 方向导数与梯度的关系：

是等值面 上p1点法线方向单位矢量。它指向 增长的方向。 表示过p2 点的任一方向。 显见， 等值面 等值面 θ

所以 即

该式表明： 即沿某一方向的方向导数就是梯度在该方向上的投影。 梯度的概念重要性在于，它用来表征标量场 在空间各点沿不同方向变化快慢的程度。 4、 算符（哈密顿算符）(Hamilton Functor) 算符既具有微分性质又具有方向性质。在任意方向 上移动线元距离dl， 的增量 称为方向微

分，即 显然，任意两点 值差为

§0-2 矢量场的散度 高斯定理 Divergence of Vector Field, Gauss’s Theorem §0-2 矢量场的散度 高斯定理 Divergence of Vector Field, Gauss’s Theorem

一个矢量场空间中，在单位时间内，沿着矢量场 方向通过 的流量是dN，而dN是以ds为底，以v cosθ为高的斜柱体的体积，即 1、通量(Fluid) 一个矢量场空间中，在单位时间内，沿着矢量场 方向通过 的流量是dN，而dN是以ds为底，以v cosθ为高的斜柱体的体积，即 称为矢量 通过面元 的通量。 对于有向曲面s，总可以 将s分成许多足够小的面元 ， 于是通过 θ ds

曲面s的通量N即为每一面元通量之积 对于闭合曲面s，通量N为 2、散度(Divergence) 设封闭曲面s所包围的体积为 ，则

就是矢量场 在 中单位体积的平均通量，或者平均发散量。当闭合曲面s 及其所包围的体积 向其内某点 收缩时，若平均发散量的极限值存在，便记作 称为矢量场 在该点的散度(div是divergence的缩写)。 散度的重要性在于，可用表征空间各点矢量场发散的强弱程度，当div ，表示该点有散发通量

的正源；当div ，表示该点有吸收通量的负源；当div ，表示该点为无源场。 3、高斯定理(Gauss’s Theorem) 它能把一个闭合曲面的面积分转为对该曲面所包围体积的体积分，反之亦然。

§0-3 矢量场的旋度 斯托克斯定理 Rotation of Vector Field, Stoke’s Theorem §0-3 矢量场的旋度 斯托克斯定理 Rotation of Vector Field, Stoke’s Theorem

1、矢量场 的环流(The Circumfluence of Vector’s Field) 2、旋度(Rotation) 设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近，那么

以闭合曲线L为界的面积 逐渐缩小， 也将逐渐减小，一般说来，这两者的比值有一极限值，记作

称为矢量场 的旋度（rot是rotation缩写）。 称为无旋场。 3、斯托克斯定理（Stoke’s Theorem） 它能把对任意闭合曲线边界的线积分转换为该闭合曲线为界的任意曲面的面积分，反之亦然。

§0-4 正交曲线坐标系中 运算的表达式 Expression of Operation on Orthogonal Curvilinear Coordinates Frame

1、度量系数(Measurement Coefficents) 设x,y,z是某点的笛卡儿坐标，x1, x2, x3是这点的正交曲线坐标，长度元的平方表示为 其中

称度量系数（或拉梅系数），正交坐标系完全由三个拉梅系数h1, h2, h3来描述。 2、哈密顿算符 、梯度、散度、旋度及拉普拉斯算符 在正交曲线坐标系下的一般表达式(The General Expression of Hamilton Operator, Gradient, Divergence, Rotation and Laplace Operator in Orthogonal Curvilinear Coordinates)

其中 为正交曲线坐标系的基矢； 是一个标量函数； 是一个矢量函数，只有在笛卡儿坐标系中， ，在其它正交坐标系中 其中 为正交曲线坐标系的基矢； 是一个标量函数； 是一个矢量函数，只有在笛卡儿坐标系中， ，在其它正交坐标系中

3、不同坐标系中的微分表达式(Difference Expression in Different Coordinates) x1=x， x2=y， x3=z h1=1，h2=1，h3=1 x y z Z为常数平面 y为常数平面 x为常数平面 (x,y,z) p

b) 圆柱坐标系 坐标变量: x1= r x2=φ x3= z 与笛卡儿坐标的关系： x=rcosφ y=rsinφ z= z 拉梅系数: h1=1 h2=r h3=1 φ z x y z为常数平面 r为常数平面 φ为常数平面 r

将 应用于圆柱坐标可得：

c) 球坐标系 θ r φ y (r,θ,φ) x θ为常数平面 r为常数平面 φ为常数平面 z

坐标变量： 与笛卡儿坐标的关系： 拉梅系数：

其中

§0-5 二阶微分算符 格林定理 Second-order Difference Operator, Green’s Theorem §0-5 二阶微分算符 格林定理 Second-order Difference Operator, Green’s Theorem

1、一阶微分运算(First-order Difference Calculation) 将算符 直接作用于标量场和矢量场，即分别得到梯度、散度和旋度，即 这些都叫一阶微分运算。 举例： a)设 为源点 与场 之间的距离，r 的方向规定为源点指向场点，试分别对场点和源点求r 的梯度。

第一步：源点固定，r 是场点的函数，对场点求梯度用 r表示，则有 而 场点（观察点） 场源点 坐标原点 o

同理可得： 故得到：

第二步：场点固定，r是源点的函数，对源点求梯度用 表示。 而 同理可得：

所以得到： 作业: b) 设u是空间坐标x,y,z的函数，证明

证：这是求复合函数的导数（梯度），按复合函数微分法则，有

c) 设 求 解： 而 同理可得

那么 这里 同理可得 故有

由此可见： d) 设u是空间坐标x,y,z的函数，证明 证：

e) 设u是空间坐标x,y,z的函数，证明 证：

2、二阶微分运算(Calculation of Two-order Difference) 将算符 作用于梯度、散度和旋度，则称为二阶微分运算，设 为标量场， 为矢量场。

并假设 的分量具有所需要的阶的连续微商，则不难得到： （1）标量场的梯度必为无旋场 （2）矢量场的旋度必为无散场 （3）无旋场可表示一个标量场的梯度 （4）无散场可表示一个矢量场的旋度

（5）标量场的梯度的散度为 （6）矢量场的旋度的旋度为 3、 运算于乘积(Calculation of Multiplication with ) （1）

（2）

（3）

（4） （5）

(6) 根据常矢运算法则 则有：

故有： (7) 根据常矢运算法则： 则有

（8） 因为 故有 从而得到：

4、格林定理(Green’s theorem) 由Gauss’s theorem得到: 将上式 交换位置，得到 以上两式相减，得到 将上式 交换位置，得到 以上两式相减，得到

5、常用几个公式 设 试求： a) 而

同理： b)

从而可见： c)

d)

e)

f)

g)

h)

§0-5 二阶微分算符 格林定理 Second-order Difference Operator, Green’s Theorem §0-5 二阶微分算符 格林定理 Second-order Difference Operator, Green’s Theorem

1、一阶微分运算(First-order Difference Calculation) 将算符 直接作用于标量场和矢量场，即分别得到梯度、散度和旋度，即 这些都叫一阶微分运算。 举例： a)设 为源点 与场 之间的距离，r 的方向规定为源点指向场点，试分别对场点和源点求r 的梯度。

第一步：源点固定，r 是场点的函数，对场点求梯度用 r表示，则有 而 场点（观察点） 源点 坐标原点 o

同理可得： 故得到：

第二步：场点固定，r是源点的函数，对源点求梯度用 表示。 而 同理可得：

所以得到： 作业: b) 设u是空间坐标x,y,z的函数，证明

证：这是求复合函数的导数（梯度），按复合函数微分法则，有

c) 设 求 解： 而 同理可得

那么 这里 同理可得 故有

由此可见： d) 设u是空间坐标x,y,z的函数，证明 证：

e) 设u是空间坐标x,y,z的函数，证明 证：

2、二阶微分运算(Calculation of Two-order Difference) 将算符 作用于梯度、散度和旋度，则称为二阶微分运算，设 为标量场， 为矢量场。

并假设 的分量具有所需要的阶的连续微商，则不难得到： （1）标量场的梯度必为无旋场 （2）矢量场的旋度必为无散场 （3）无旋场可表示一个标量场的梯度 （4）无散场可表示一个矢量场的旋度

（5）标量场的梯度的散度为 （6）矢量场的旋度的旋度为 3、 运算于乘积(Calculation of Multiplication with ) （1）

（2）

（3）

（4） （5）

(6) 根据常矢运算法则 则有：

故有： (7) 根据常矢运算法则： 则有

（8） 因为 故有 从而得到：

4、格林定理(Green’s theorem) 由Gauss’s theorem得到: 将上式 交换位置，得到 以上两式相减，得到 将上式 交换位置，得到 以上两式相减，得到

5、常用几个公式 设 试求： a) 而

同理： b)

从而可见： c)

d)

e)

f)

g)

h)