任课教师： 孙秀峰 大连理工大学工商管理学院 金 融 学 任课教师： 孙秀峰 大连理工大学工商管理学院

15: 期权定价 目标 用一价定律为期权定价 通过期权定价公式得到隐含的波动性 Copyright © Prentice Hall Inc. 1999. Author: Nick Bagley

本章内容 15.1 期权如何运作的 15.2 使用期权进行投资 15.3 卖出期权-买入期权的平价关系 15.4 波动性与期权期权价格 15.5 二项式期权定价 15.6 动态复制与二项式模型 15.7 Black-Scholes 模型 15.8 隐含波动性 15.9 公司负债与权益的或有索取权分析 15.10 信用担保 15.11 期权定价方法的其他应用

介绍 本章将探讨基础资产价格的波动性对期权价格 的影响。 1973年开始运作的交易所交易期权,使我们能 够不依赖历史数据即可得到市场对未来价格波 动性的预期。

期权的定义 美式{欧式} 看涨 (看跌) 期权是赋予期权买方的在到期日之前{到期日}以确定的价格买入（卖出）一项金融资产的权利而非义务。

无所不在的期权 本章我们主要研究的是交易期权，但这并不意味着期 权的应用仅局限于此。 下面几页幻灯片给出了一些期权在实际中应用的例子。

政府的价格支持 政府有时会以特定的支持价格向农民收购农产品从而保护 农民利益。 如果市场价格低于支持价格,那么农民可以行使权利，即 以较高的支持价格向政府出售农产品，这相当于一个卖出 期权。

旧式住房抵押贷款 新式住房抵押贷款 传统的美国住房抵押贷款赋予房主以与未付本金相等的价格赎回贷款的权利。 如果利率降到贷款利率之下,那么房主将会考虑重新借贷。 新式住房抵押贷款 房主可以通过支付“利差”来锁定贷款利率。 如果利率下降，那么重新协商贷款,并支付更多的利差锁定新的较低的贷款利率。 如果市场利率上升，那么可以以低于市场的利率贷款。

终身雇佣 如果一家公司采用“后进先出”政策,那么年长的员工会 拒绝另一家公司较高的薪水，因为跳槽会使他们失去工作 保障。 员工被赋予了在不利的经济环境下能继续拥有工作的权利 而非义务。

铜制便士与银币 为降低开采成本，铜和银铸币被锌铜合金取代。 过去金属铸币是法定货币,因此它具有期权特征： 如果铸币金属的价格降到法定价格之下,那么持有者有 权将铸币用于流通。

保险 保险通常是赋予人们做某事的权利而非义务,因此它与 期权类似。 附有展期条款的定期寿险就是期权。 如果一个人： 得了晚期疾病，那么附加条款是有价值的； 身体健康，那么附加条款没有价值。

供应协议 一家核电站供应商曾保证以固定的价格供应高浓缩 铀，这使其陷入了严重困境。 因为市场上高浓缩铀的价格急剧上涨。

技术租赁 一家电脑租赁公司在其租约的一则条款中赋予了其客 户取消租约的权利。 当电脑生产商推出新一代产品时，租赁公司的客户会 取消租约，这导致大量的电脑被废弃。

有限责任 有限责任公司的所有者有将公司出售给贷款人或债券持有 人的权利而非义务。 事实上，有限责任相当于一个卖出期权。

佣金交易 假设你是交易商，并且根据协议每月将从交易利润中获得20%作为佣金。 如果你在交易中亏损，那么你可以离开；但是如果盈利,你会选择留下。 这会诱使你倾向于高风险以提高期权价值。

15.1 期权如何运作的 与期权相关的专用名词： 或有要求权：资产未来的报酬支付取决于不确定性事件 的结果。 买入期权：按固定价格买入特定资产的权利。 卖出期权：按固定价格卖出特定资产的权利。 敲定价格（执行价格）：期权合约中确定的固定价格。 行权日（到期日）：执行期权的最后日期。 美式期权：可以在到期日及到期日之前任何时间执行的 期权。

欧式期权：只能在到期日执行的期权。 内在价值（有形价值）：假设期权立即到期时的价值。 两平期权：执行价格等于基础资产价格的期权。 虚值期权：内在价值为零时的期权。 实值期权：内在价值不为零的期权。 时间价值：期权的价格与其内在价值的差额。 场内交易期权：有交易所规定的标准条款，交易所撮 合买方与卖方并为任何一方的违约行为提供担保。 场外期权：不在交易所交易的期权。

15.2 使用期权进行投资 期权收益图 可以用收益图表示期权价值与基础资产价格的关系， 假设买入期权和卖出期权的执行价格都是$100。 行权时期权的价值可通过定义直接得到。 假设买入期权的执行价格为$100，如果股票价格 变为$90 ($110)，那么执行期权意味着将以$100 的价格购买股票，这比从市场上购买的价格高出 $10（低$10）， 所以你不会(会) 行使买入的权 利。

图15.1 买入期权和卖出期权的收益图 买入期权 卖出期权 收益 基础股票的价格 -20 20 40 60 80 100 120 140 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 基础股票的价格 收益 买入期权 卖出期权

15.3 卖出期权-买入期权的平价关系 考虑下面两种投资策略： 买入执行价格为$100的卖出期权和基础股票； 买入执行价格为$100的买入期权和面值为$100且到 期日为行权日的贴现债券。 到期日投资组合的价值与股票价格的对应关系如表 15.3所示。

表15.3 到期日投资组合价值与股票价格的关系 执行价格 100 股票 看涨期权 看跌期权 股票+看跌期权 债券 债券+看涨期权 10 90 10 90 20 80 30 70 40 60 50 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

图15.2 不同投资策略的收益图 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 股票价格 收益 买入期权 卖出期权 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 股票价格 收益 买入期权 卖出期权 股票+卖出期权 债券 买入期权+债券 股票

买入期权（C）+债券（B）=卖出期权（P）+股票（S） 观察 观察图15.3可以发现“买入期权+债券”策略与防卫性 卖出期权策略（即“卖出期权+股票”）在到期日的收 益是相同的。 所以，如果看涨期权与看跌期权的执行价格相同，那 么可以得到以下卖出-买入平价关系式： 买入期权（C）+债券（B）=卖出期权（P）+股票（S）

说明 上面的关系式对存续期内股票不支付股利的欧式期权 是适用的，但严格的证明要考虑期权在到期日之前被 执行的情况。 因此上面的讨论仅对我们识记平价关系具有启发性作 用。 更严格的证明大家将在投资学课上学习。

欧式与美式期权的卖出-买入平价关系式 卖出-买入平价关系式： 存续期内股票不支付股利的欧式期权完全符合卖出-买入 平价关系式。 对美式期权来说，只有在到期日行权才符合平价关系式， 这是因为美式期权是可以在到期日之前执行的。 卖出-买入平价关系式：

证券综合性产品 利用卖出-买入平价关系式可以将其中任意三种证券 组合作为第四种证券的综合性产品。 C=S+P-B S=C-P+B P=C-S+B B=S+P-C

C=S+P-B 与 P=C-S+B可以被交易商用来迅速的对 买入期权和卖出期权进行转换。 S=C-P+B可以被短期的交易商用来降低交易成本。 B=S+P-C可以被用来创造收益率略高于基础债券的 综合性债券。

期权与远期 通过上一章的学习我们知道对远期价格进行折现即可得到现货价格。 因此卖出-买入平价关系式可写成：

欧式期权的隐含信息 如果基础股票的远期价格等于期权的执行价格，那么买入 期权和卖出期权的价格相等。 这个关系非常重要，所以一些期权交易商用远期价格而非 现货价格来定义“两平期权”。

欧式期权的隐含信息 如果 F > E， 那么 C > P； 如果 F = E， 那么 C = P；

图15.3 期权价格关于远期价格的函数关系 Call = Put Strike = Forward

图15.4 期权价格关于股票价格的函数关系（1）

图15.5 期权价格关于股票价格的函数关系（2） PV Strike Strike

15.4 波动性与期权价格 接下来我们研究当基础股票价格的波动性增大时期权 的价格会怎样变化。 假设股票现在的价格为$100，并且1年后期权到期 时的股票价格只有两种情况。 假设每种情况的发生是等可能的。

表15.4 波动性与期权价格的关系 （P0 = $100, Strike = $100） 股票价格 买入期权的收益 卖出期权的收益 股价波动性小的情况 上涨 120 20 下跌 80 20 100 10 10 期望 股价波动性大的情况 上涨 140 40 下跌 60 40 期望 100 20 20

解释 第二种情况下股票价格的波动性大，而且无论是买 入期权还是卖出期权的收益也较大。 这是由于期权到期时收益不会为负，波动性增大 只会增加收益而不会扩大损失。 结论：买入期权和卖出期权的价格随着股票价格波 动性的增加而上升。

15.5 二项式期权定价 现在我们来学习一种相对简单的期权定价模型。 模型最初的假设条件是完全不现实的，但是利用现有的 数学知识可以将期权定价的精确度达到任意期望的水平。 该模型的优点在于可以不用学习随机微积分就能掌握推 导其它期权定价模型的关键步骤。

二项分布模型的假设条件 假设： 期权的执行价格与基础股票的远期价格相同。 这样期权价格仅取决于股价波动性和距到期日的长短，而不取决于利率水平。 买入期权和卖出期权的价格相同。

我们进一步假设： 股票价格 = 执行价格 = $100， 距到期日时间 = 1 年， 股利率 = 利率 = 0， 股票价格在这一年中将上涨或下跌20%，所以年终 价格为$80 或 $120。

二项分布模型：买入期权 策略： 通过以下投资组合复制买入期权： 基础股票 ， 无风险债券。 根据一价定律，买入期权的价格应与构建的投资组合（综合性买入期权）的价格相同。

二项分布模型：买入期权 操作： 综合性买入期权（设价格为C）是通过以下方法构造的： 以比例x购买股票，设股票价格为S，同时以市场价格y卖空无风险债券， X称为杠杆比例。

二项分布模型：买入期权 计算： 前面已经给定到期日股票的价格，并且可以得到 两种情况下买入期权的价格，将它们代入等式： 通过计算可以得到 x=1/2, y = 40。

二项分布模型：买入期权 结果： 我们下面将计算得到的参数值 x=1/2, y = 40 代 入等式： 得到期权价格：

二项分布模型：卖出期权 策略： 通过基础股票和无风险债券的投资组合来复制卖 出期权。 根据一价定律，卖出期权的价格应与投资组合、 （综合性卖出期权）的价格相同。 下面几页幻灯片展示了卖出期权定价与前面买入期 权的微小差别。

二项分布模型：卖出期权 操作： 综合性买入期权（设价格为P）是通过以下方法构 造的： 以比例x卖空股票，设股票价格为S，同时以市场价 格y购买无风险债券， X称为杠杆比例。

二项分布模型：卖出期权 计算： 前面已经给定到期日股票的价格，并且可以得到 两种情况下卖出期权的价格，将它们代入等式： 通过计算可以得到：x=1/2, y = 60。

二项分布模型：卖出期权 结果： 我们下面将计算得到的参数值 x=1/2, y = 60 代 入等式： 得到期权价格：

15.6 动态复制与二项分布模型 为了更具现实性，我们将1年期分为两个半年的时间段， 这样年终有3种可能的结果。 我们的首要任务是寻求用于复制期权收益结构的自筹资金 投资策略，这样我们在期权的存续期内不需要注入和收回资 金。 我们首先来画决策树。

动态复制买入期权的决策树 ($120*100%) + (-$100) = $20

分析决策树 因为我们只知道未来期权的价格，所以决策树是从 后向前计算的。 比如，计算后半年的杠杆比率时用到了年终期权 的价格。 为了与下面的模型保持一致，连续的股票价格通常 保持固定的比率（即构成等比数列），比如： 121, 110, 100, 90.91, 82.64。

点阵模型的作用 二项分布模型是点阵模型的一种最简形式。点阵 模型对期权交易商来说是非常重要的，因为模型 经过改进后可以用于处理不同的情况，比如不同 的分布特征，期权在到期前被执行和股利支付等。 利用点阵模型可以很容易的改变分布假设。比如， 前面例子的分析会导致股票价格服从正态分布， 那么对模型进行改进会导致股价服从对数正态分 布。

15.7 Black-Scholes 模型 应用最为广泛的期权定价模型是Black-Scholes 模 型。 该模型可以被看成是股价连续变化的二项分布模 型， 该模型为分析期权行为提供了理论视角， 该模型的假设条件更简单也更现实。

Black-Scholes 模型 我们将使用该模型的一般形式，尽管一般形式较为复杂， 但却可以带来更广泛的应用性和更大的灵活性。 首先，定义符号。

Black-Scholes 模型：符号 C = 买入期权的价格 P = 卖出期权的价格 S = 股票的价格 E = 执行价格 T = 距到期日的时间 ln(.) = 自然对数 e = 2.71828... N(.) = 标准正态分布中小于某 一值的随机变量的概率分布 以下均为年复利率 r =国内无风险利率 d =国外无风险利率或连续股利 率 σ = 股票年收益率的标准差

与正态分布相关的问题 当查表计算累积正态分布时往往会遇到问题： 表的结构不是惟一的，所以使用前一定要注意， 由于减法造成的误差的存在，利用标准正态分布表计算 得到的期权价格低于实际值。 {许多专业人士使用Abramowitz和Stegun报告中的 Hasting公式作为方程式26.2.19 (永远不要使用方程式 26.2.18)，它在0<=x<Inf时是有效的，利用对称性可以 得到-Inf<x<0式的值。} Handbook of Mathematical Functions …, Ed. Milton Abramowitz and Irene A. Stegum

与正态分布相关的问题 Excel提供的函数可以保证足够的精确性，所以可以考虑 使用统计函数中的Normsdist()函数 (注意Normsdist中的 s)。

Black-Scholes 模型：局限 模型没有考虑对未来收益的预期， 模型没有考虑个人偏好因素， 风险指标选用的是相关性风险σ，而不是b。

Black-Scholes 模型：公式

Black-Scholes 模型：公式 (远期形式)

Black-Scholes模型：公式 (简化形式)

公式的作用 可以为在存续期内不支付股利的欧式期权定价。 利用一些技巧可以进一步得到支付股利的欧式期权和一 些美式期权的价格的近似值。

变量值增加： 买入期权 卖出期权 股票价格, S 上涨 下跌 执行价格, E 波动性, sigma 到期时间, T 不确定 利率, r 表15.5 股票价格的决定因素与期权价格的关系 变量值增加： 买入期权 卖出期权 股票价格, S 上涨 下跌 执行价格, E 波动性, sigma 到期时间, T 不确定 利率, r 现金股利, d

图15.6 执行价格=股票现货价格时买入与卖出期权价格 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 到期时间 买入与卖出期权价格 买入期权 卖出期权

图15.7 买入与卖出期权关于波动性的函数

关于变量 除了波动性σ和现金股利d，其它变量的值都是可以直 接观察得到的。 我们可以不必揣测投资者的想法即可为期权定价。 我们不必为得到期权价格而预测远期价格。

15.8 隐含波动性 下面两页幻灯片展示了如何用Excel来估算隐含的波动性。 通常用来估算波动性的期权的价格与执行价格的现值最接近：也就是说，这种期权的执行价格与远期价格最接近。 这样的期权最具“吸引力”。

计算期权的隐含波动性 输入任意数值开始计算 用定价公式得到的期权价格略低于其真实价格 volatility 0.3154 call 10.0000 strike 100.0000 share 105.0000 rate_dom 0.0500 rate_for 0.0000 maturity 0.2500 factor 0.0249 d_1 0.4675 d_2 0.3098 n_d_1 0.6799 n_d_2 0.6217 call_part_1 71.3934 call_part_2 -61.3934 error 输入任意数值开始计算 用定价公式得到的期权价格略低于其真实价格

计算隐含的波动性 volatility 0.315378127101852 call 10 strike 100 share 105 rate_dom 0.05 rate_for maturity 0.25 factor =(rate_dom - rate_for + (volatility^2)/2)*maturity d_1 =(LN(share/strike)+factor)/(volatility*SQRT(maturity)) d_2 =d_1-volatility*SQRT(maturity) n_d_1 =NORMSDIST(d_1) n_d_2 =NORMSDIST(d_2) call_part_1 =n_d_1*share*EXP(-rate_for*maturity) call_part_2 =- n_d_2*strike*EXP(-rate_dom*maturity) error =call_part_1+call_part_2-call

Pat 的计划 建立一个特殊的投资组合(Pat 将其称之为“曲率为正，风险中性的自筹资投资组合”，但Pat仅将其留在了口头上)。

Pat的投资策略 做空股票，通过做多买入期权抵消价格变动可能带来的损失，同时投资于债券。 The Excel example contains the details

图15.8 构建Pat的投资组合 -120 -100 -80 -60 -40 -20 20 40 60 80 50 70 90 100 110 120 130 140 150 股票价格 投资组合的价值 买入期权 股票 债券 投资组合 切线

Pat的图形绘制 显然，Pat要做的就是找到买入期权价格曲线的切线(以现在的股票价格) ，从而保持股票与债券适当的比例关系。 这正是我们前面构建二项式定价模型时所做的。 以现在的股票价格$103，切线与买入期权曲线几乎重合。

Pat的计划（续） Pat通过做空图中切线所表示的股票与债券的投资组合，并在买入期权中做多头，从而构建图中黑色粗线所表示的投资组合。 观察图形会发现，投资组合的最小价值为零，而这只有在现在的价格下才会发生，所以这是自筹资金投资策略。 无论股票价格涨还是跌，Pat都将获利。

Pat计划的“成功” 这显然违背了一价定律：没有损失风险，没有构建成本，却无论在任何情况下都能得到一个正的收益。 Pat的分析犯了什么错误？

沮丧的Pat 答案是价格的变化是需要时间的，在这段时间内，在其他条件不变的情况下，期权的价值是递减的。 假设一个向下倾斜并且非常光滑的排雨沟里面有一个小动物。 这个小动物也许会爬到水沟的侧壁上，但它依然会不断的沿着水沟下滑。

绝望的Pat 图15.9展示了投资组合现在和一周以后的价值。 构建的投资组合曲线发生了移动，图形要重新绘制。

图15.9 投资组合一周后的收益情况

Pat计划的破产 通过图15.9可以发现：如果一周后股票的价格下降到$97 至 $105.5之间，那么Pat的投资将会面临损失。 随着时间的流逝，期权价值的衰减会使投资的风险变得非常大。 另外一个Pat没有考虑的因素是波动性自身就是易变的，所以对冲保值将会被瓦解。

15.9 公司负债与权益的或有索取权分析（CCA） CCA方法使用了一套与现金流折现方法(DCF) 不同的信息和假设： 使用无风险利率而非与风险相适应的折现率， 使用了一种或几种相关资产的价格与波动性的知识。

股票与债券的或有要求权分析：Debtco公司的例子 1,000,000股普通股股票， 80,000份纯贴现债券，每份面值$,1000， 1年后到期。

Debtco公司的例子（续） Debtco公司的总市场价值（总资产价格）为 $100,000,000。

定义符号 E表示股票（资本）当前的市场价格， D表示债券（负债）当前的市场价格， V 表示当前总资产的市场价格，V = E + D，

证券价格 债券的价格 根据一价定律，债券价格必须等于其面值按无风险利率进行1年期的折现： D = 80,000 * $1,000 / 1.04 = $76,923,077。 已知公司总资产的价格，根据V = E + D，股票的价格为： E = V - D = $100,000,000 - $76,923,077 = $23,076,923。

投资者的收益 Debtco债券的利率与无风险利率相同说明该公司从第三方购买了信用担保，或者是该公司的资产没有（损失）风险。 对于大多数公司来说，更现实的假设是公司的资产存在风险，这样在为证券定价的时候就要考虑债券或股票的投资者的风险收益。

图15.10 债券和股票的收益图 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 公司的价值 (百万) 债券与股票的价值(百万) 债券价值 股票价值

公司价值为负 我们前面假设公司的价值不会降到零以下，但在一些特殊情况下，公司总资产的价值有可能低于零。 考虑 Enviromess公司，这家公司生产过程中产生的副产品多年来对Hudson河造成了很大污染。 清理河流产生的成本可能大大超过其财务能力。

公司价值为负 有限责任公司的价值为负与收益图的绘制不相关。 它通过公司未来价值的（缩短的）分布来影响公司负债和资本的价值。

考虑概率 除了收益图，我们还需要公司未来价值取不同值时的概率信息。

图15.11 公司价值的概率密度 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 公司价值 概率密度

考虑概率 为使用CCA方法而估计概率要花费很大力气，但是为了对CCA方法有一个基本的理解，可以假设一种简单的分布。 我们假设从现在开始到1年后债券到期时公司价值只有两种可能：$70或$140（单位：百万）。 (这种双状态假设可以推广为点阵模型，可以保证任意给定的精确度)

表15.6 Debtco的证券收益表（单位：百万）

Debtco的复制资产组合 令： X表示投资组合中公司总资产的比重， Y表示利率为无风险利率的的债券在投资组合中的比重。 则投资组合一定满足下列关系：

表15.7 复制Debtco的资产组合（单位：千）

Debtco的复制资产组合 表15.7表示(数值是前面计算得到的)：复制的资产组合与股票的价值在现在和1年后都是相等的。

Debtco的复制资产组合 我们知道公司的价值为$1,000,000，公司总资本的价值为$28,021,978，所以面值为$80,000,000 的公司负债的市场价值为$71,978,022。 债务的利率为(80…/71…) - 1 = 11.14%。

表15.8 复制Debtco资产组合的另一种方法 （单位：千）

解释 公司风险负债的市场价值包括大约$58（百万）的无风险负债和大约$14（百万）的公司价值。 这说明风险债券的持有人接受了一部分整个公司的风险现金流，这与股票持有者是一样的。 股票持有者接受了其余$85（百万）的公司价值，并通过$58（百万）无风险负债为其融资。

利用股票价格为债券定价 以下三种价格之间存在均衡关系： 公司价格 (Ö 已知) 债券价格 (下一步要解决的) 股票价格 如果我们知道其中一个价格，则可以推出另外两个。

利用股票价格为债券定价（单位：百万） 做与前面相同的假设： 情景a：一年后公司的价值= $70， 情景b：一年后公司的价值= $140； 一年期无风险债券的收益率为4%； Debtco债券的总面值为$80。 同时假设： Debtco共发行1百万股股票，总市场价值为$20。

债券定价 我们可以通过x = 6/7公司价值，Y = $58（百万） 的借入无风险资产（前面已分析过）来复制公司的资本： 则债券隐含的价值为$90,641,026 - $20,000,000 = $70,641,026 ，同时可得到债券的收益率为(80.00-70.64)/70.64 = 13.25%。

利用债券收益率为股票定价 做与前面相同的假设： 情景a：一年后公司的价值= $70， 情景b：一年后公司的价值= $140； 一年期无风险债券的收益率为4%。 同时假设： Debtco债券的收益率为10% （现在的价值为 $909.09）。

复制债券 为了复制债券，我们将以比例x购买公司价值，并且购买价值为Y的无风险债券。 到期时债券的价值为： 情景a，V = $70 million: $70 million； 情景b，V = $140million: $80 million。

表15.9 复制债券的资产组合（单位：百万）

确定投资于债券中的公司价值的比重x和无风险债券的价值Y

股票定价 我们可以通过购买1/7的公司价值和$57,692,308一年期无风险债券来复制公司债券。 债券的市场价值为$909.0909 * 80,000 = $72,727,273。 因此股票的价值为E=V -D = $105,244,753 - $72,727,273= $32,517,480。

可转换债券 可转换债券的发行公司有在到期日以面值赎回债券的义务，它允许债券持有人将债券按事先的规定转换为一定数量的普通股股票。

可转换债券：Convertidebt公司的例子 假设Convertidebt公司的其他条件与Debtco公司完全相同，但该公司发行的债券为可转换债券，每份债券在到期日可转换为20股普通股股票。 如果所有的债券都是可转换的，那么普通股的股数将从1,000,000股增加到1,000,000 + 80,000 * 20 = 2,600,000 股。

图15.12 可转换债券的收益图 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 公司价值 股票与债券的价值 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 公司价值 股票与债券的价值 可转换债券的价值 稀释后的股票价值

债券持有人的权利 如果发生转换，那么每股普通股股票的价值将会变为： 公司价值/ 2,600,000。 债券持有人将获得1,600,000股股票，所以他们将获得公司价值的1.6/2.6，而股票持有人仅占有公司价值的1/2.6。 转换的临界值为公司价值 = 80*2.6/1.6 = $130（单位：百万）。

从可转换债券获得的收益 情景a：公司价值变为70（百万），债券持有人将获得公司全部资产，所以债券价值为70（百万）。 情景b：公司价值变为140（百万），债券持有人将获得公司价值的1.6/2.6，即$86,153,846。 接下来的分析完全遵照前面分析普通债券的方法。

动态模拟 回到前面可转换债券的例子，你会发现仅取了弯折的收益曲线上的两个点做样本(显然是不现实的)。 在二项式期权定价模型中，通过增加样本点的数量，可以达到任意期望的精确度。

方法概述 将1年分为两个半年的时间区间。 从当前的状态节点A开始(公司价值为$100MM)，接下来有两种情况： 公司价值上升为$115 MM (节点B)， 公司价值下降到$90 MM (节点C)。

建立假设条件 假设节点B是6个月后发生的情况($115 MM)，那么再 过6个月，又可能发生两种情况： 公司价值上升为$140 MM (节点D)， 公司价值下降到$90 MM (节点E)。 假设节点C是6个月后发生的情况($90 MM)，那么再过 6个月，又可能发生两种情况： 公司价值上升为$110 MM (节点F)， 公司价值下降到$70 MM (节点G)。

决策树 Month 0 Month 6 Month 12 Node-D $140MM Node-B $115MM Node-F $110MM Node-A $100MM Node-E $90MM Node-C $90MM Node-G $70MM

方法概述 有三个决策点A，B，C。 在每一点上，决策的方法都是相同的。 首先计算B点 (通过D点和E点来做)，然后是C点(通过F点和G点来做)； 其次，利用逆向推导计算A点(通过B点和C点来做)。 具体步骤与非复合决策完全相同。 教材对这样的例子做了重点介绍。

方法概述 大家惟一需要注意的是投资组合在任一节点上都完全是自筹资的。

总结 CCA方法最基本的原理是通过购买和出售整个公司的资产和无风险资产来复制公司发行的证券，这一动态模拟策略是自筹资的。 注意：几乎没有信息的投入。

概率 选择在何种价格水平上复制投资组合等价于选择一种概率分布。 通常是根据给定的价格构建点阵，就好像结成渔网一样。 基点的间隔，时间间隔与空间间隔的比决定了概率分布。 这一步需要相当的技巧。

纯条件证券的定价 回顾：在Debtco和Convertidebt的例子中，在到期日公司的价值只有两种可能的情况。 将在一种情况下收益为$1而在另一种情况下收益为$0的证券定义为纯条件证券。

纯条件证券的定价

纯条件证券的定价

利用纯条件证券为普通证券定价 Debtco股票的价格等价于60倍的第1类（#1）纯条件证券的价格而不包含第2类（#2）纯条件证券，所以股票价格 = 60 * 0.467033 = $28.02。 Debtco债券的价格等价于1000倍的第1类纯条件证券的价格与875倍的第2类纯条件证券的价格之和，所以债券价格 = 1000 * $0.467033 + 875 * $0.494505 = $899.73。

纯条件证券（SCS）的优点 SCS使我们能够对任何依赖于公司价值和无风险债券价格的证券进行定价。 比如，可以通过SCS的价格（已经计算出来）和收益表为Convertidebt证券定价。 可以将1份SCS的价格看成一个事件的条件概率，概率值为货币无风险的时间价值。

15.10 信用担保 对信用风险进行担保是很普遍的做法： 母公司对其分支机构的债务提供担保； 商业银行和保险公司对大量的金融工具，如信用证、掉期等提供担保，并收取手续费； 美国政府对银行存款、小企业债务、养老金、农场贷款、学生贷款、住房抵押贷款、其他主权债务和一些大企业债务提供担保； 只要发放一笔贷款，就涉及到对贷款隐含的担保。

例子 前面，我们计算得到Debtco债券的价格为$899.73，但无风险债券的价格为$961.54。

(我们假设保险公司本身不存在信用风险) 我们可以通过前面计算得到的SCS的价格和信用担保的收益表来计算这类保险的成本(如表15.10所示)。 只有当公司价值高于$70,000,000是保险公司才会获得收益。

表15.10 Debtco债券信用担保的收益表

利用SCS对信用担保定价 信用担保的价格为125 * $0.494505 = $61.81。

15.11 期权定价方法的其他应用 下面将要介绍的是在产品与合约中内在包含着的期权。 与金融工具无关的期权称为实质期权。 未来是不确定的，当不确定性有了确定的结果后可以灵活决定如何去做，期权定价理论提供了对此进行价值评估的方法。

期权在项目投资估值中的应用 发起的期权 扩张的期权 放弃的期权 缩减规模的期权 等待时机的期权 研发新技术的期权

例子 选择石油或天然气进行发电 药品的研发 是否拍一部电影的续集 是否利用假期接受培训 诉讼决策 战略决策

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