第五章 機率分配 授課教師： 2011.02.18更新

本章重點 認識隨機變數 瞭解期望值與變異數的定義與意義 認識二項分配與常態分配的各種性質 瞭解標準常態分配如何查表與其應用

大綱 隨機變數與機率分配 機率分配的重要參數 二項分配 百努力試驗 常態分配 標準常態分配

5-1 隨機變數與機率分配 並非所有的事件發生機率都是定值 機率也是一個變數 在本節中將介紹隨機變數與其對應的機率分配

5.1.1隨機變數的意義 隨機變數 定義於樣本空間的實數函數，一般可解釋為樣本出像的分類標準，也可視作一個樣本空間的總代表 例如用變數X來表示隨機從前程大學中抽出100人的性別 用變數Y來表示這100人中的血型 此處X、Y即代表樣本出像的分類標準

若X表示性別，那麼可用x=1表示男生，x=2表示女生 Y表示血型，那麼y=1表示A型血，y=2表B型血，y=3表O型血，y=4表AB型血

隨機變數的種類 離散型隨機變數 連續型隨機變數 離散型隨機變數最大的特性是「可數」 可以一筆一筆資料逐項進行計數 例如隨機抽出100人中男性的人數 連續型隨機變數 連續型隨機變數最大的特性是「不可數」 不能夠一筆一筆的將資料逐項進行計數 例如：連續發生兩次地震所需時間

例 1 隨機抽樣100人記錄這100人的性別、居住地（北、中、南）、家庭背景（雙親、單親、他人扶養）以及出生月份。請你以隨機變數的方式來描述這些變數與其對應的變量。

5.1.2機率分配 指某個隨機變數各變量所對應的機率值 隨機變數與其機率分配的對應關為一對一對應或多對一對應

機率分配表示法 機率分配表 機率函數 x 1 2 3 f(x) 1/8 3/8

機率分配圖

例 2 同時投擲四枚硬幣，假設隨機變數X表示出現人頭像的硬幣數，試求隨機變數X的機率分配。請你分別使用機率分配表、機率分配圖、與機率函數三種方式表示。 (3)機率函數

5-2 機率分配的重要參數 想要描述一組資料的分佈情形，最重要的兩個參數分別為平均數與變異數 常態分配，只要知道平均數與標準差，整個機率函數的圖形就可以描繪出來

5.2.1 期望值 期望值其實就是平均數 期望值的定義為 期望值等於隨機變數值與對應機率乘積的總和

例 3 詢問全班16位修高等統計學的學生，從住處到學校需花費時間為何，假設隨機變數X為學生回答之花費時間（單位：分鐘），將調查所得到的資料製作成機率分配表如下所示： 求隨機變數X的期望值（即求學生到校平均花費時間）。

例 4 某人向保險公司投保1千萬的意外險，保費一年4000元。根據契約書的規定，若被保險人在保險期間意外死亡，保險公司需理賠1千萬元。已知此人一年內發生意外死亡的機率為 10-10，試求保險公司獲利的期望值多少元？

5.2.2變異數與標準差 變異數的定義 E這個符號具有下列性質 ★表任意的式子 標準差的定義 標準差則等於變異數開根號

例 5 承例題3，求隨機變數X的變異數與標準差（即求到校花費時間的變異數與標準差）。

5-3 二項分配 凡是調查的結果只有兩種情況—成功或失敗；是或否；對或錯…..等，都屬於二項分配

5.3.1 二項試驗 二項試驗必須滿足下列四個條件 重複進行n次相同的試驗 每一次試驗皆僅有兩種結果—成功或失敗 每一次試驗，成功與失敗的機率永遠固定不變，且成功機率加失敗機率等於1 每一次試驗均為獨立事件

例 6 請舉出至少3個二項試驗的例子。 第一個例子是：生10位小孩。小孩子的性別只有男女兩種情況，且重複相同的試驗，生男生女的機率永遠固定都是0.5，相加等於1，同時滿足獨立事件。 第二個例子是：買樂透10期且每期只買一張。樂透只有中獎（不考慮獎項）或不中獎兩種情況，且重複相同的試驗，中獎與不中獎的機率永遠固定不變，兩者機率和等於1，同時滿足獨立事件。 第三個例子是：從0到9十個數字中，任選一個數字，連續選10次，選出數字1。選出的數字只有兩種情況，1或不是1，且重複相同的試驗，選出1的機率永遠等於0.1，不是1的機率等於0.9，相加等於1，同時滿足獨立事件。

5.2.3 二項分配 進行二項試驗，所得到的機率函數 二項分配的機率函數 其中p為成功機率， q為失敗機率

例 7 假設某保險業務員向客戶推銷保險，成功的機率永遠固定等於0.2。現在他連續向6個人推銷保險，請問這6個人恰有4個人向他買保險的機率為何？

5.3.3 二項分配的期望值與變異數 期望值 變異數

例 8 已知某袋中共有10個球，其中有8個黑球2個白球。現在隨機從這個袋中任取4球，試分別求取出黑球與白球的期望值個數與變異數。

5.3.4 二項分配圖形的製作 用一個實際例子來說明

例 9 已知二項分配的機率函數為 ，令n=10,p=0.3 ，請用Excel做出二項分配的圖形。 Excel指令說明 COMBIN(n, r)：等於組合公式 。 Excel指令說明 BINOMDIST(成功次數,試驗次數,成功機率,邏輯值)：邏輯值=FALSE傳回機率函數值；邏輯值=TRUE傳回累積分配函數值。 例如：BINOMDIST(3,10,0.3,FALSE) 打開檔案「5-3-4」

5.3.5二項分配圖形的性質 下列圖形為試驗次數n=10 ，在不同成功機率下的二項分配 成功機率p=0.1 成功機率p=0.3

成功機率0.5時圖形為對稱分配，成功機率小於0.5時，圖形為左偏分配，大於0.5時圖形為右偏分配 成功機率p=0.9

下列圖形為成功機率固定p=0.1的條件下，不同試驗次數的二項分配 n=5 n=10 n=20 n=30

n=40 n=50 試驗次數增加，二項分配的圖形會趨近於對稱分配

5-4百努力試驗 百努力試驗(Bernoulli trial)是二項試驗的一個特例 進行二項試驗時，不論成功或失敗，只做一次時，就稱為百努力試驗 也有人稱為點二項試驗

百努力分配的機率函數 期望值 變異數

5-5常態分配 常態分配在人文社會學的研究中扮演十分重要的角色 只要求出平均數與標準差，那麼整個分配的圖形就可以畫出來 因此在人文社會學的研究中平均數與標準差（或變異數）是最重要的兩個統計量

5.5.1常態分配的簡介 常態分配的機率函數曲線稱為常態曲線 常態分配之機率函數 為母體平均數， 為母體標準差 記作：

5.5.2常態曲線的繪製 繪製常態曲線必須給定母體平均數與母體變異數的數值，然後再利用描點的方式畫出

例 10 已知常態分配機率函數為 。現假設母體平 均數=10，母體變異數 2=2，試利用Excel繪製常態曲線。 打開檔案「5-5-2常態曲線的繪製」

5.3.3常態曲線的特性 曲線下方與x軸所圍面積等於1 對稱於直線 x=  由  開始向左 向右各一個標準差之處為常態曲線的兩個反曲點 常態分配曲線為單峰對稱分配，平均數、中位數、眾數三個數值相等

5.5.4常態分配機率的求法 採用面積的方式來定義機率大小

下列式子所求出來的答案是相同的

例 11 已知前程大學一共有1萬名學生，已知學生的身高服從常態分配，全體平均身高為172公分，標準差5公分。請你估計前程大學學生的身高在165-175公分大約有幾人？

5-6標準常態分配 沒有學過數值分析的人而言，想要計算常態分配的機率值，幾乎是不可能的事情 為了讓非數學背景的人也能夠順利求出常態分配的機率值，數學家想到透過查表的方式

常態分配的查表法是利用積分技巧中的變數變換法，讓所有的常態分配都能對應到相同的積分函數，如此便可以用單一的表查出所有的常態分配機率值

標準常態分配

5.6.1標準常態分配的特性 標準常態分配的平均數等於0，標準差為1

5.6.2標準常態分配的查表

例 12 試利用標準常態分配表求下列各小題之機率： (1) P(z>1.13) (2) P(z<2.06) (3) P(z>-1) (4) P(z<-1.96) (5) P(-1<z<2.14)

(1) (2)

(3) (4) (5) (6)

5.6.3標準常態分配的應用 解題步驟 列式（或畫圖） 標準化 查表

例 14 每年台灣地區都會舉辦大學聯考，許多考生對於自己的落點十分關心，因為能夠的預測落點的話，可以當作選填自願的參考。已知某次大學聯考一共有15萬名考生，已知均標（全體平均數）等於300分，標準差20分。假設全體考生的成績分配為常態分配，某人考了338分，請問這位考生的分數落在前百分之多少？順便請你幫他預估大約有多少考生的分數超越他？

例 15 一般購買產品都有保固期，對消費者來說保固期越長越好，但對製造商而言不希望有太多的產品在保固期內做免費的維修，因此如何定保固期是一門很大的學問。前程汽車股份有限公司是一家全球化的汽車製造商，根據他們自己內部的資料統計，他們所製造的汽車平均壽命20年，標準差10年，而且汽車的壽命服從常態分配。前程汽車公司於保固期內會免費修理任何的毛病，如果前程汽車公司對賣出的汽車只願意免費修理5%，請問保固期應該定多久？