条件概率 Conditional Probability

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小结与复习( 4 ). 1 、内容小结 互斥事件互斥事件 不对立不对立 特点特点 ⑴ A 、 B 不能同时发生, A 发生必 然 B 不发生。 ⑵事件 A+B 是随机事件 概率概率 ,又若 A 1 , A 2 , … , A n 彼此互斥,则 对立对立 特点特点 ⑴ A 、 B 不能同时发生,但必有一.
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概率论与数理统计 张剑 Q 概率论与数理统计 张剑 Q 2 : 概率论是一门研究客观世界随机现象数量 规律的数学分支学科. 数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、 整理和分析带有随机性的数据,以对所考 察的问题作出推断或预测,直至为采取一 定的决策和行动提供依据和建议的数学分 支学科.
概率统计( ZYH ) 1.3 古典概型与几何概型 一、古典概型 二、几何概型. 概率统计( ZYH ) 回忆 1.1 节的试验, E 1,E 3,E 4 有共同特性: 一、古典概型 ①(有限性)试验的样本空间 Ω 中仅含有限个样本点: ②(等可能性)每个基本事件 {ω i } 发生的可能性相同 :
山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人:程述汉 苏本堂 §1.3 古典概型 1. 古典概型  古典概型中事件概率的计算公式  古典概型的概率计算步骤  古典概型的概率计算举例.
随机变量及其概率分布 第二章 离散型随机变量及其分布律 正态分布 连续型随机变量及其分布律 随机变量函数的分布.
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全微分 教学目的:全微分的有关概念和意义 教学重点:全微分的计算和应用 教学难点:全微分应用于近似计算.
§1.2 §1.2随机事件的概率 0≤P(A)≤1 用一个数来度量可能性的大小。这个 数应该是事件本身所固有的,可以在相同 的条件下通过大量的重复试验予以识别和 检验;可能性大的事件用较大的数来度量, 可能性小的事件用较小的数来度量。这个 用来度量可能性大小的数称为事件的概率, 用 P(A) 表示。
概率论与数理统计 主讲:统计学院 任俊柏.
考研辅导 概率论与数理统计.
条件概率与乘法公式.
高二数学 选修 条件概率(一).
古典概型习题课.
第五章 機率論.
1.4 古典概型(等可能概型) 1.古典概型 2.典型例题 3. 小结.
第一节 预备知识 一、乘法原理 排列及组合 1、乘法原理 乘法原理:若完成一件事情要经过两个步骤,其中第一步中有 种不同的方法,第
3.1.3 概率的基本性质 事件 的关系 和运算 概率的 几个基 本性质 南海中学分校高一备课组.
3.1.3 概率的基本性质.
6.6 单侧置信限 1、问题的引入 2、基本概念 3、典型例题 4、小结.
四种命题 2 垂直.
常用逻辑用语复习课 李娟.
25.2 用列举法求概率(第3课时) 保靖民中:张 强.
高二数学 选修 独立重复试验与二项分布.
第四章 时间序列的分析 本章教学目的:①了解从数量方面研究社会经济现象发展变化过程和发展趋势是统计分析的一种重要方法;②掌握时间数列编制的基本要求;③理解和掌握水平速度两方面指标的计算及运用④理解和掌握长期趋势分析和预测的方法。 本章教学重点:现象发展的水平指标和速度指标。 本章教学难点:现象变动的趋势分析。
第5章 定积分及其应用 基本要求 5.1 定积分的概念与性质 5.2 微积分基本公式 5.3 定积分的换元积分法与分部积分法
事件的独立性.
事件的独立性与独立试验概型.
主要内容 § 3.1 多维随机变量及联合分布 联合分布函里数 联合分布律 联合概率密度 § 3.2 二维随机变量的边缘分布
第三节 格林公式及其应用(2) 一、曲线积分与路径无关的定义 二、曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数的全微分的求积 四、小结.
2-7、函数的微分 教学要求 教学要点.
一、条件概率 许多情况下,我们会遇到在事件A发生的条件下求事件B的概率问题,我们把这个概率称为在事件A发生的条件下事件B的条件概率。记作:P(B/A); 相应地,P(B)称为无条件概率。 例如:老张有3个孩子,已知老大是女孩,求另外两个孩子也是女孩的概率(假设男孩、女孩出生率相同)。 解:记A={老大是女孩},B={三个孩子都是女孩}
初中数学八年级下册 (苏科版) 10.4 探索三角形 相似的条件(2).
3.解:连续掷同一枚硬币4次的基本事件总数为 ,
第5章 §5.3 定积分的积分法 换元积分法 不定积分 分部积分法 换元积分法 定积分 分部积分法.
例1 :甲击中的环数; X :乙击中的环数; Y 平较高? 试问哪一个人的射击水 : 的射击水平由下表给出 甲、乙两人射击,他们
§2 求导法则 2.1 求导数的四则运算法则 下面分三部分加以证明, 并同时给出相应的推论和例题 .
第二讲 数据统计与分析 秦 猛 南京大学物理系 参考教材:《概率论与数理统计》 高新祖 陈华钧 编著 南京大学出版社 1.
概率论 Probability.
第一章 随机事件及其概率.
第一章.
第四章 機率概論.
概率论与数理统计 2019/4/9 1.
习题 一、概率论 1.已知随机事件A,B,C满足 在下列三种情况下,计算 (1)A,B,C相互独立 (2)A,B独立,A,C互不相容
抽样和抽样分布 基本计算 Sampling & Sampling distribution
实数与向量的积.
2.6 直角三角形(二).
《概率论》总复习.
概 率 统 计 主讲教师 叶宏 山东大学数学院.
5.2 常用统计分布 一、常见分布 二、概率分布的分位数 三、小结.
课件制作:淮北矿业集团公司中学纪迎春 10.7相互独立事件同时发生的概率 授课教师:纪迎春.
§1.3 条件概率 条件概率与乘法公式   引例 袋中有7只白球,3只红球,白球中有4只木球,3只塑料球;红球中有2只木球,1只塑料球.现从袋中任取1球,假设每个球被取到的可能性相同.若已知取到的球是白球,问它是木球的概率是多少? 古典概型 设 A 表示任取一球,取得白球; B 表示任取一球,取得木球.
复习: 若A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2), 则 AB = OB - OA=(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)
§6.7 子空间的直和 一、直和的定义 二、直和的判定 三、多个子空间的直和.
3.1.2 空间向量的数量积运算 1.了解空间向量夹角的概念及表示方法. 2.掌握空间向量数量积的计算方法及应用.
概率论与数理统计 2019/5/11 1.
概 率 统 计 主讲教师 叶宏 山东大学数学院.
第三章 函数的微分学 第二节 导数的四则运算法则 一、导数的四则运算 二、偏导数的求法.
第4课时 绝对值.
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第15讲 特征值与特征向量的性质 主要内容:特征值与特征向量的性质.
職業學校群科課程綱要規劃原理及修訂重點 報告人:鄭慶民
高中数学必修 平面向量的基本定理.
§2 方阵的特征值与特征向量.
9.5空间向量及其运算 2.共线向量与共面向量 淮北矿业集团公司中学 纪迎春.
欢迎大家来到我们的课堂 §3.1.1两角差的余弦公式 广州市西关外国语学校 高一(5)班 教师:王琦.
用列举法求概率 (第二课时).
美丽的旋转.
1.3 概率的定义及其运算 ? ? 从直观上来看,事件A的概率是指事件A发生的可能性 P(A)应具有何种性质?
笛卡儿说:“数学是知识的工具,亦是其它知识工具的泉源。所有研究顺序和度量的科学均和数学有关。”
第3讲 概率论初步 3.1 概率 条件概率和加法公式 3.3 计数原则.
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条件概率 Conditional Probability 定义 设A,B为同一个随机试验中的两个随机事件 , 且P(B)>0, 则称 为在事件B发生的条件下,事件A发生的条件概率.

条件概率 P(A|B)的样本空间 Sample space Reduced sample space given event B

乘法法则 推广

全概率公式    设A1 ,A2 ,...,An 构成一个完备事件组,且P(Ai )>0 ,i=1,2,...,n,则对任一随机事件B,有

贝叶斯公式 Bayes’ Theorem 证明 设A1,A2,…, An构成完备事件组,且诸P(Ai)>0) B为样本空间的任意事件,P( B) >0 , 则有 ( k =1 , 2 , … , n) 证明

事件的独立性与独立试验概型

一、事件的独立性引例 一个盒子中有6只黑球、4只白球,从中有放回地摸球。求(1) 第一次摸到黑球的条件下,第二次摸到黑球的概率;(2) 第二次摸到黑球的概率。 例 解 A={第一次摸到黑球},B={第二次摸到黑球} 则

事件的独立性 independence 定义 设A、B为任意两个随机事件,如果 P(B|A)=P(B) 即事件B发生的可能性不受事件A的影响,则称事件B对于事件A独立. 显然,B对于A独立,则A对于B也独立,故称A与B相互独立.

事件的独立性 判别 事件A与事件B独立的充分必要条件是 证明 实际问题中,事件的独立性可根据问题的实际意义来判断 如甲乙两人射击,“甲击中”与“乙击中”可以 认为相互之间没有影响,即可以认为相互独立

例如 一个家庭中有若干个小孩,假设生男生女是 等可能的,令A={一个家庭中有男孩、又有女孩}, B={一个家庭中最多有一个女孩},对下列两种情形, 讨论A与B的独立性:(1)家庭中有两个小孩; (2)家庭中有三个小孩。 解 情形(1)的样本空间为 Ω={(男男),(男女),(女男),(女女)} 此种情形下,事件A、B是不独立的。

例如 一个家庭中有若干个小孩,假设生男生女是 等可能的,令A={一个家庭中有男孩、又有女孩}, B={一个家庭中最多有一个女孩},对下列两种情形, 讨论A与B的独立性:(1)家庭中有两个小孩; (2)家庭中有三个小孩。 解 情形(2)的样本空间为 Ω={(男男男),(男男女),(男女男),(女男男) (男女女),(女男女),(女女男),(女女女)} 此种情形下,事件A、B是独立的。

直觉未必可信 必须深入研究

定理 下列四组事件,有相同的独立性: 证明 若A、B独立,则 所以, 独立。

概念辨析 事件A与事件B独立 事件A与事件B互不相容 事件A与事件B为对立事件

甲乙二人向同一目标射击,甲击中目标的概率为0. 6,乙击中目标的概率为0 甲乙二人向同一目标射击,甲击中目标的概率为0.6,乙击中目标的概率为0.5。试计算 1)两人都击中目标的概率;2)恰有一人击中目标的概率;3)目标被击中的概率。 例 解 设A表示“甲击中目标”,B表示“乙击中目标” 则

有限多个事件的独立性 如果事件A,B,C满足 P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B)P(C) P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 则称事件A,B,C相互独立。 事件A,B,C相互独立与事件A,B,C两两独立不同,两两独立是指上述式子中前三个式子成立。因此,相互独立一定两两独立,但反之不一定。 注意

例 设同时抛掷两个均匀的正四面体一次,每 一个四面体标有号码1,2,3,4。令 A={第一个四面体的触地面为偶数} B={第二个四面体的触地面为奇数} C={两个四面体的触地面同时为奇数,或者同时为偶数} 试讨论A、B、C的相互独立性。

A={第一个…为偶数};B={第二个…为奇数} C={两个…同时为奇数,或者同时为偶数} 解 试验的样本空间为 所以,A、B、C 两两独立,但总 起来讲不独立。

定义 共有(2n-n-1)个等式

对满足相互独立的多个事件,有

好! 例 加工某一种零件需要经过三道工序,设三道工序的次品率分别为2%,1%,5% ,假设各道工序是互不影响的.求加工出来的零件的次品率. 例 加工某一种零件需要经过三道工序,设三道工序的次品率分别为2%,1%,5% ,假设各道工序是互不影响的.求加工出来的零件的次品率. 解 设A1 ,A2 ,A3 分别表示第一、第二、第三道工序出现次品,则依题意:A1 ,A2 ,A3 相互独立,且 P(A1)=2 % , P(A2)=1% , P(A3)=5% 又设A表示加工出来的零件是次品, 则 A=A1∪A2∪A3 方法2 (用对立事件的概率关系) 好! =1-(1- 0.02)(1- 0.01)(1- 0.05) = 0.0783

将试验E重复进行n次,若各次试验的结果互不影响,则称这n次试验是相互独立的. 贝努利试验 Bernoulli trials 相互独立的试验 将试验E重复进行n次,若各次试验的结果互不影响,则称这n次试验是相互独立的. 贝努利试验 设随机试验E只有两种可能的结果:A及 ,且P(A)=p,在相同的条件下将E重复进行n次独立试验,则称这一串试验为n重贝努利试验,简称贝努利试验(Bernoulli trials).

例 一批产品的次品率为 5%,从中每次任取一个,检验后放回,再取一个, 连取 4 次.求 4 次中恰有 2 次取到次品的概率. 例 一批产品的次品率为 5%,从中每次任取一个,检验后放回,再取一个, 连取 4 次.求 4 次中恰有 2 次取到次品的概率. 分析 n = 4 的 Bernoulli 试验 设 B={恰好有 2 次取到次品}, A={取到次品}, 则 ={取到正品}. Ai={第i次抽样抽到次品}

四次抽样中A恰好发生两次(有两次取到次品)的情况有 因为A1,A2,A3,A4 相互独立,所以

贝努利定理 二项概率 定理 设在一次试验中事件A发生的概率为 p (0<p<1) , 则A在n次贝努里试验中恰好发生 k次的概率为 ( k= 0,1,2,...,n ) 二项概率 其中

解 例 有一批棉花种子,其出苗率为0.67,现每穴种4粒种子, (1) 求恰有k粒出苗的概率(0≤k≤4); 例 有一批棉花种子,其出苗率为0.67,现每穴种4粒种子, (1) 求恰有k粒出苗的概率(0≤k≤4); (2) 求至少有两粒出苗的概率. 解 (1) 该试验为4 重贝努利试验 (2) 设B表示至少有2粒出苗的事件,则

例 设某人打靶,命中率为0.7,重复射击5次,求恰好命中3次的概率。 解 该试验为5重贝努利试验,且 n=5,p=0.7;q=0.3;k=3 所求概率为

例 设某电子元件的使用寿命在1000小时以上的概率为0 例 设某电子元件的使用寿命在1000小时以上的概率为0.2,当三个电子元件相互独立使用时,求在使用了1000小时的时候,最多只有一个损坏的概率。 解 设A表示“元件使用1000小时不坏”,则 设B表示“三个元件中至多一个损坏”,则

例 一批种子的发芽率为80%,试问每穴至少播种几粒种子,才能保证99%以上的穴不空苗。 分析:“穴不空苗”即“至少有一颗种子发芽” 解 假设播n颗种子,则依题意可得 即 可解得 所以,每个穴中宜种3颗种子。

例题选讲

练一练 求下列事件 解

练一练 用x, y, z 表示下列事件的概率: 解

讨论 将线段AB任意分成三段AC、CD、DB,试求这 三段可构成三角形的概率。 解 如图,设AB长为1,AC长为x,CD长为y,则 DB长为1-x-y A C D B 于是x,y应满足 设A表示“三段可构成三角形” 则A发生的充分必要条件是 所以,所求概率为0.25

讨论 发报台分别以概率 0.6 和 0.4发出信号“ .” 和“ - ”,由于通信系统受到干扰,当发出信 号“ .”时,收报台分别以概率 0.8 及 0.2 收 到信号 “ .”和“ - ”,同样,当发报台发 出信号“ - ”时,收报台分别以概率 0 .9 和 0.1 收到信号“ - ”和“ .”.求 (1) 收报台收到信号“ .”的概率. (2) 当收报台收到信号“ .”时,发报台确系 发出信号“ .”的概率.(P26练习24) 设“发出信号.”为事件A,“接收信号.”为B 则

讨论 爱滋病普查:使用一种血液试验来检测人体内是 否携带爱滋病病毒.设这种试验的假阴性比例为5% (即在携带病毒的人中,有5%的试验结果为阴 性),假阳性比例为1%(即在不携带病毒的人中, 有1%的试验结果为阳性).据统计人群中携带病毒 者约占1‰,若某人的血液检验结果呈阳性,试问该 人携带爱滋病毒的概率.(P27练习33) 符号引入:“携带病毒”为A,“实验呈阳性”为B,则 求 (贝叶斯公式)

2, 在一盒子中装有15个乒乓球,其中有9个新球。 在第一次比赛时任意取出三个球,比赛后仍放回原 盒中;在第二次比赛时同样任意取出三个球,求第 二次取出的三个球均为新球的概率。 解 设第一次取出的球为“3新”、“2新1旧”、“1新2旧” “3旧”分别为事件A1、A2、A3、A4;“第二次取 出三个新球”为事件B,则

某工人照看三台机床,一个小时内1号,2号,3号机床需要照看的概率分别为0. 3, 0. 2, 0 某工人照看三台机床,一个小时内1号,2号,3号机床需要照看的概率分别为0.3, 0.2, 0.1。设各机床之间是否需要照看是相互独立的,求在一小时内:1)没有一台机床需要照看的概率;2)至少有一台不需要照看的概率;3)至多有一台需要照看的概率。 解 设Ai表示“第i台机床需要照看”,(i=1,2,3) 则 P(A1)=0.3; P(A2)=0.2; P(A3)=0.1;