随机变量及其 概率分布

随机试验 一个试验如果满足下述条件： （1）试验可以在相同的条件下重复进行； （2）试验的所有结果是明确的且不止一个； （3）每次试验总是出现这些结果中的一个， 但在试验之前却不能肯定这次试验会出现哪 一个结果。 这样的试验就叫做一个随机试验，也简称 试验。

例(1)某人射击一次，可能出现哪些结果？ 可能出现命中0环，命中1环，…， 命中10环等结果， 即可能出现的结果（环数）可以由0，1，……10 这11个数表示；

(2)某次产品检验，在含有4件 次品的100件产品中任意抽取4件， 那么其中含有的多少件次品？ 其中含有的次品可能是0件，1件，2件，3件，4件，即可能出现的结果(次品数) 可以由0，1，2，3，4 这5个数表示

一、随机变量 的概念 在随机试验中，我们确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示，在这种对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化。我们把这种变量称为随机变量．随机变量常用字母X，Y，z等 等表示． 或ξ,η

随机变量和函数有没有类似的地方？若有，你认为它们有哪些类似的地方？

在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量可能取的值，我们可以一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．

电灯泡的使用寿命X是离散型随机变量吗？ 连续型随机变量.

如果随机变量可以取某一区间内 的一切值,这样的随机变量叫做连 续型随机变量. 例如: 某林场树木最高达30米， 则此林场树木的高度是一个连续型随机变量。

注1：随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量。 注2：某些随机试验的结果不具备数量性质，但仍可以用数量来表示它。 注3： 若 是随机变量，则 （其中a、b是常数）也是随机变量 ．

抛掷一枚骰子，设得到的点数为ξ，则ξ可能取的值有： 离散型随机变量的分布列 抛掷一枚骰子，设得到的点数为ξ，则ξ可能取的值有： 1，2，3，4，5，6 ξ 1 2 3 4 5 6 p 此表从概率的角度指出了随机变量在随机试验中取值的分布情况，称为随机变量ξ的概率分布.

P（ξ＝xｉ）＝Ｐｉ①，则称①为随机变量ξ的概率分布列，简称为ξ的分布列. 离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量ξ可能取的 值为：x1，x2，……，xｉ，……． ξ取每一个xｉ（ｉ＝1，2，……）的概率 P（ξ＝xｉ）＝Ｐｉ①，则称①为随机变量ξ的概率分布列，简称为ξ的分布列.

上表称为随机变量ξ的概率分布表， 它和①都叫做随机变量ξ的概率分布. 也可将①用表的形式来表示 ξ Ｘ1 Ｘ2 … Ｘｉ Ｐ Ｐ1 Ｐ2 Ｐｉ 上表称为随机变量ξ的概率分布表， 它和①都叫做随机变量ξ的概率分布.

2.分布列的构成: ⑴列出随机变量ξ的所有取值; ⑵给出ξ的每一个取值的概率． 3.分布列的性质:

例.抛掷一个骰子,设得到的点数为ξ,则ξ的取 值情况如何?ξ取各个值的概率分别是什么? 例.连续抛掷两个骰子,得到的点数之和为ξ,则 p 1 2 3 4 5 6 例.连续抛掷两个骰子,得到的点数之和为ξ,则 ξ取哪些值?各个对应的概率分别是什么? ξ P 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

特殊的分布: “0 - 1”分布(两点分布)： 特点:随机变量X的取值只有两种可能 记法:X～0-1分布或X～两点分布 “～”表示服从

练习. 某一射手射击所得环数ξ的分布列如下: 0.22 10 0.29 9 0.28 0.09 0.06 0.04 0.02 P 8 7 6 5 4 ξ 求(1)P(ξ≥7); (2)P(5≤ξ≤8); (3)P(ξ≥2).

例.设随机变量ξ的分布列如下： P 4 3 2 1 ξ 则a的值为　　　　． 例.设随机变量ξ的分布列为 ,则a的为　　　　　．

例.从一批有10个合格品与3个次品的 产品中,一件一件地抽取产品,设各个产 品被抽到的可能性相同.每次抽取出的 产品都不放回此批产品,求直到取出一 个合格品为止时所需抽取次数X的概率 分布表.

变式1.从一批有10个合格品与3个次品的 产品中,一件一件地抽取产品,设各个产 品被抽到的可能性相同.每次取出的产品 都立即放回此批产品,然后再取，求直到 取出一个合格品时所需抽取次数Y的概率 分布表.

变式2.从一批有10个合格品与3个次品的 产品中,一件一件地抽取产品,设各个产 品被抽到的可能性相同.每次取出一件次 品后，总有一件合格品放进此批产品中, 求直到取出一个合格品为止时所需抽取 次数Z的概率分布表.

例.某同学向如图所示的圆形靶投掷飞镖， 飞镖落在靶外的概率为0.1，飞镖落在靶 内的各个点是随机的.已知圆形靶中三个 圆为同心圆，半径分别为20cm，10cm， 5cm，飞镖落在不同区域的环数如图所 示，设这位同学投掷一次得到的环数为X， 求随机变量X的分布列 10 9 8

例.一个袋中装有黑球和白球共7个，从中 任取2个球都是白球的概率为1/7，现在 甲、乙两人从袋中轮流摸取一球，甲先 取，乙后取，然后甲再取，……，取后 不放回，直到两人中有一人取到白球时 即终止，每个球在每一次被取出的机会 是等可能的 (1)求袋中原有白球的个数； (2)用X表示取球终止时所需要的取球次数， 求随机变量X的概率分布； (3)求甲取到白球的概率；

例.某大厦的一部电梯从底层出发后只能 在第18,19,20层停靠，若该电梯在底层 载有5位乘客，且每位乘客在这三层的 每一层下电梯的概率均为1/3，用X表示 这5位乘客在第20层下电梯的人数，求随 机变量X的分布列

课堂小结 1. 随机变量 如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．

1. 随机变量 2.离散型随机变量 课堂小结 对于随机变量可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量． 随机变量ξ的线性组合η=aξ+b(其中a、b是常数) 也是随机变量．

课堂小结 1. 随机变量 2.离散型随机变量 3.离散型随机变量的分布列 ξ Ｘ1 Ｘ2 … Ｘｉ Ｐ Ｐ1 Ｐ2 Ｐｉ

作业： P：52 　　4、6.