多項式函數 教學網頁規劃 組別：第四組 組員：499402314周佳蓉 499403148郭宇晨 499403289曾廂圓

目錄 1.多項式函數教材分析 2.學生學習切入點分析 3.教學網頁設計理念 4.教學網頁教學目標 5.網頁設計規劃流程 6.參考資料

多項式函數教材分析 --多項函數的定義 多項函數的定義 設n為自然數或零,則形如 多項式函數教材分析 --多項函數的定義 多項函數的定義 設n為自然數或零,則形如 f(x)= anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 的式子, 稱為x的多項式其中 an,an-1,...,a1,a0 為實數

多項式函數教材分析 --相關的名詞說明 相關的名詞說明：設f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0為x的多項式 ★項：anxn,an-1xn-1，…,a1x,a0分別稱為此多項式的n次項,n-1次 項,…一次項,常數項。 ★係數：an,an-1,…,a1,a0分別為此多項式的n次項,n-1次項,…一次項, 常數項的係數。 ★領導係數：多項式中最高次項之係數(不為0)稱為此多項式之領導 係數。 ★次數：當an¹0時，稱此多項式為n次多項式，記為：deg f(x)=n。 ★單項式：只有一項的多項式稱為單項式。 ★常數多項式：若一多項式僅含常數項a0，則稱此多項式為常數多項 式。當a0=0，又稱為零多項式。 ★升羃與降羃式：若一多項式一變數x的次方由大而小排列者稱為降 羃式，由小而大排列者稱為升羃式。

多項式函數教材分析 -多項式的四則運算 (1)多項式的加減法：兩多項式相加減，則同次項的係數相加減 (2)多項式的乘法：利用乘法對加法的分配律，再合併同類項 (3)多項式的除法： 設f(x)，g(x)為二多項式且g(x)不是零多項式，則可找到二 多項式q(x)及r(x)滿足f(x)=q(x)×g(x)+r(x)，其中r(x)=0 或deg r(x)<deg g(x)。 此時稱f(x)為被除式，g(x)為除式，q(x)為商式，r(x)為餘 式。 例如：設f(x)=2x3+5x2+x-2，g(x)=x2+2x-3

多項式函數教材分析 --多項式的四則運算 (4)綜合除法： ◆綜合除法的原理： 設f(x)=a3x3+a2x2+a1x+a0，g(x)=x-b，若存在商式 q(x)=c2x2+c1x+c0， 餘式r(x)=d。 由除法的定義：(a3x3+a2x2+a1x+a0)=( c2x2+c1x+c0)(x-b)+d 經比較係數可得： 上面的關係可寫成以下的形式

多項式函數教材分析 --多項式的四則運算 ◆當f(x)除以g(x)=ax+b時，我們也可利用綜合除法求餘式 r(x)、商式q(x)。 由除法的定義： f(x)=(ax+b)×q(x)+r(x)=(x+ )×[aq(x)]+r(x)可先利 用綜合除法求出f(x)除以(x+ ) 的商式q'(x)=aq(x)與餘式r(x)， 而所要求的商式q(x)= ，餘式r(x)不變。 ◆多項式的係數和： f(x)= anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0， 則各項係數之和=f(1)，常數項=f(0)， 奇次項係數之和= 偶數項的係數之和=

多項式函數教材分析 --多項式方程式 如何由n次多項式到n次方程式: (1)f(x)= anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 是n次多項式， 方程式f(x)=0稱為n次(多項)方程式。 (2)方程式的根： 一個數x0若滿足f(x0)=0，就稱x0為方程式f(x)=0 的根或解。有時特別強調x0為複數、實數、有理數 或整數，x0又稱為複數根、實根、有理根或整數根。

多項式函數教材分析 --多項式方程式 (3)實根的幾何解釋： 例如: (1)y=f(x)=x2-3x-4的圖形，如右圖所示： 圖形與x軸相交於兩點(-1,0)、(4,0)， 其橫坐標-1與4就是x2-3x-4=0的實根。 (2)y=g(x)=x2+x+1的圖形，如右圖所示： 圖形與x軸沒有交點，因為y=g(x)= ， 所以沒有任何實數x，使得g(x)=0，故 g(x)=0 沒有實根。方程式x2+x+1=0 的解 x= 。

多項式函數教材分析 --多項式方程式 一般而言，n次多項式y=f(x)的圖形是一條波浪形、 平滑的連續曲線。 若該曲線和x軸相交，那麼交點P(x0,f(x0))的橫坐標 x0必滿足f(x0)=0，所以x0是方程式f(x)=0的一個實 根，如果該曲線與x軸沒有交點，此時任何實數均不 是方程式f(x)=0的根，因此方程式f(x)=0無實根。 結論:實係數n次方程式f(x)=0的實根α<=>n次函數 y=f(x)的圖形與x軸交於點(α,0)

多項式函數教材分析 --多項式方程式 函數的定義和圖形、二次函數的極值 若ax+bx+c為二次函數 (1)a>0開口向上 多項式函數教材分析 --多項式方程式 函數的定義和圖形、二次函數的極值 若ax+bx+c為二次函數 (1)a>0開口向上 x= ， f(x)有最大值 (2)a<0開口向下 x= ， f(x)有最小值 b-4ac>0和x軸交於兩點(兩個相異實數解) b-4ac=0和x軸交於一點(重根) b-4ac<0和x軸沒交點(無實數解)

多項式函數教材分析 --多項式函數的圖形與多項式不等式 多項式函數教材分析 --多項式函數的圖形與多項式不等式 (甲)多項不等式的基礎概念 (1).n次不等式： 設y=f(x)=anxn+an-1xn-1+…..+a1x+a0是實係數n次多項式， 那麼不等式f(x)>0，或f(x)<0，或f(x)≦0，或f(x)≧0就 叫做多項不等式或n次多項不等式(簡稱n次不等式)    例：2x-3>0  , x2-3x+2>0   (2)不等式的解：滿足n次不等式的值，叫做n次不等式的解 (3)不等式的基本性質：   三一律：a>b,a=b,a<b 三式中恰有一式會成立   遞移律：若a>b且b>c，則a>c   加法律：若a>b，則a+c > b+c (c屬於實數)   乘法律：若a>b，且c >0，則ac>bc  (不變號)           若a>b，且c <0，則ac<bc  (要變號)

多項式函數教材分析 --多項式函數的圖形與多項式不等式 多項式函數教材分析 --多項式函數的圖形與多項式不等式 (乙)一次與二次不等式 (1)一次不等式是形如ax+b>0(≧0)或ax+b<0(≦0)的不等式。 二次不等式是形如ax2+bx+c>(≧)0或ax2+bx+c<(≦)0，其中a,b,c為實數。 (2)解二次不等式： 設不等式ax2+bx+c(>,<,≦,≧)0，先將a調整為正 先解一元二次方程式ax2+bx+c=0的二根a、b (a)設a>0，D=b2-4ac>0，a ,b (a>b)為兩實數 因為ax2+bx+c=a(x-a)(x-b) 分段討論ax2+bx+c的正負： 解ax2+bx+c>0 則x>a或x<b(大於大的根或小於小的根) 解ax2+bx+c<0 則b<x<a (介於兩實根之間) x x < a a < x < b x > b x-a - + x-b (x-a)(x-b)

多項式函數教材分析 --多項式函數的圖形與多項式不等式 多項式函數教材分析 --多項式函數的圖形與多項式不等式 (b)設a>0，D=b2-4ac=0， a=b為兩相等實數    因為ax2+bx+c=a(x-a)2    分段討論ax2+bx+c的正負： 解ax2+bx+c>0 Û x =a(或b) [x>a或x<a] 解ax2+bx+c<0 Û無解 x a<x x>a x-a - + (x-a)2

多項式函數教材分析 --多項式函數的圖形與多項式不等式 多項式函數教材分析 --多項式函數的圖形與多項式不等式  (c)設a>0，D=b2-4ac<0，a、b均為虛數         ax2+bx+c =         因為a>0且b2-4ac<0，所以         故不管x代入那一個實數，ax2+bx+c恆正。    解ax2+bx+c>0  Û 所有實數均為解。    解ax2+bx+c<0  Û 無解。

多項式函數教材分析 --  解根的方法 整係數的n次方程式找有理根： (a)一次因式檢驗定理： 設f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0為一個整係數n次多 項式，若整係數一次式ax-b是f(x)的因式，且a,b 互質，則a|an且b|a0。 (b)有理根檢驗定理： 設f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0為一個整係數n次 方程式，若 為f(x)=0之一有理根，a,b為整數 且互質，則a|an且b|a0。

多項式函數教材分析 --無理根之勘根定理 無理根: 利用整係數一次因式檢驗定理，可解決有理根的問題，但是就一 多項式函數教材分析 --無理根之勘根定理 無理根: 利用整係數一次因式檢驗定理，可解決有理根的問題，但是就一 般的方程式而言，要找出解，尤其是高次的方程式，通常不是一 件容易的事情。 例如：f(x)=x5+3x2-7x+2=0，由於它是整係數的5次多項式，所以 一定有實根，先考慮是否有理根，根據牛頓定理，x=±1，±2逐一 代入多項函數f(x)中，去看f(x)值的變化： 可以看出，f(x)=0並無有理根，因為它一定有實根，所以它的實 根必為無理根。通常我們無法直接求出f(x)=0無理根的形式，只 能求得它的近似值。 推廣這個概念可得以下的定理：

多項式函數教材分析 --無理根之勘根定理 勘根定理： 設f(x)=0為實係數n次多項方程式，a,b是兩個實數， 若f(a)f(b)<0，則在a,b之間至少有一個f(x)=0的實根。 注意：從觀察圖形可知， 當f(a)f(b)<0時， 則a,b之間的根必有奇數個根。 當f(a)f(b)>0時， f(x)=0在a,b之間可能有根，也可能無根， 但若有根一定是偶數個根。

多項式函數教材分析 --多項式解的共軛 多項式解的共軛(複數型、有理數型)

學生學習切入點分析 多項式是代數的基本成員，而代數學的中心問題─解方 程式，便是我們著重的主題之一。 學習步驟 : 1.熟習多項式的四則運算 2.清楚多項式函數圖形 3.知道任意多項式方程式是否都一定有根 4.如何解根 5.了解多項式不等式

教學網頁設計理念 希望能改變學生對於數學的刻板印象，不是枯燥乏味， 而是變的有趣 簡單的流程，增加學生學習的動機 運用多元的方式提高學生對於這方面的興趣 透過網頁測驗20題，來檢驗學生的學習程度

教學網頁教學目標 了解多項式函數定義與名詞意義 學習多項式函數的四則運算 了解多項式函數圖形之幾何概念 解出多項式方程式之解 延伸至多項式不等式運用

網頁設計規劃流程 以主題式的方式呈現數學觀念，輔以數學媒體幫 助學生進入學習情境，並提高學習樂趣 利用簡單好玩的動畫以及小遊戲增強學生學習的 動機 藉由主題測驗20題，使學生立即了解自己的學習 狀況並作改進 透過題目讓學生實際了解到函數的幾何與代數性 質

參考資料 參考資料： 數學一，龍騰文化 指考關鍵，翰林