二次型

一、二次型及其标准形的概念 定义：含n个变量的 二次齐次函数 称为二次型. 例如 都为二次型；

二次型的表示方法 1．用和号表示 对二次型

2．用矩阵表示 记为A,称为二次型的矩阵， A为对称矩阵 记为x

二次型的矩阵及秩 　　在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．

例１ 解

二、化二次型为标准形 只含有平方项的二次型 称为二次型的标准形（或法式）． 定义 对于二次型， 何为可逆 线性变换？ 我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，(非退化的线性变换，非奇异的线性变换） 将其化为标准形．

定义 设 若C可逆，称上述变换为可逆线性变换 (非退化的线性变换，非奇异的线性变换） ， 进一步，若C 是正交的，称上述变换为正交线性变换， 几何角度: 正交变换的特性在于保持线段的长度不变, 即，在不同的坐标系下几何图形不变。 x, y 是n维列向量 线性变换常用矩阵记号： 化为关于 y的二次型

说明 B与A的这种关系称为合同关系 定义 对于矩阵A、B，若满足 ，称矩阵 A、B 合同 性质： 1. 反身性， 2. 对称性 3. 传递性

要使二次型经可逆变换 化为标准型， 就是要使 常用的方法： 1 正交代换法(用正交变换化二次型为标准形， 其特点是保持几何形状不变)． 2 配方法

1 正交代换法

用正交变换化二次型为标准形的具体步骤

例2 解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值

从而得特征值 2．求特征向量 的特征向量为: 的特征向量为: 3．将特征向量正交化 得正交向量组

4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 得 于是所求正交变换为

例3 解 二次型的矩阵为： 他的特征多项式为： 这是一个特殊行列式，请注意计算

时，解 时，解

习 题 化为标准型，并指出 表示何种二次 曲面. 求一正交变换，将二次型

思考题解答

2. 用配方法化二次型为标准型 例1 解 含有平方项 去掉配方后多出来的项

如此得出的变换矩阵一定是此类上三角

拉格朗日配方法的步骤 　　1.　若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形; 　　2.　若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方 法配方.

正 定 二 次 型

一、惯性定理 一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 　　一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是 不唯一 的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩． 　　下面我们限定所用的变换为实变换，来研究 二次型的标准形所具有的性质．

定义 形如 的二次标准型称为规范标准型。 正惯性指数 定理 （惯性定理） 对任何实二次型 必存在非退化的线性变换化二次型为规范标准型， 并且一个二次型的规范标准型是唯一的。 例 如果二次型的秩为r ，二次型按合同分类可分为几类？ （加推论）

二、正(负)定二次型的概念 定义 设实二次型 如果对任何 x ≠0 都有 f (x) > 0 (显然 f (0) = 0 )，则称 f 为 正定二次型， 并称其矩阵为正定矩阵； 如果对任何x ≠0 都有 f (x) ≥ 0 ，则称 f 为 半正定二次型，并称其矩阵为半正 定矩阵。 如果对任何x ≠0 都有 f (x) < 0 ，则称 f 为 负定二次型，并称其矩阵为负 定矩阵。 为正定二次型 例如 为半正定二次型 为负定二次型

三、正(负)定二次型的判别 推论：　 对称矩阵 为正定 正惯性指数为 n 合同于单位矩阵 的特征值全为正

定理3 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的各阶主子式为正，即 对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇数阶主 子式为负，而偶数阶主子式为正，即 这个定理称为霍尔维茨定理．

正定二次型的等价条件与判定 XTAX > 0 标准型的系数全为正 正惯性指数等于 n 对应的矩阵为正定矩阵 总 结 正定矩的判定及等价条件 1. 特征值全为正（所以其秩为n） 2. 正定矩阵合同于单位矩阵 顺序主子式全大于零 存在可逆矩阵 M 使 A = MTM

正定矩阵具有以下一些简单性质

半正定二次型的等价条件与判定 XTAX  0 标准型的系数非负 正惯性指数等于二次型的秩 r 对应的矩阵为半正定矩阵 总 结 半正定矩的判定及等价条件 1. 特征值全非负 ,但零一定是特征值（秩小于n） 半正定矩阵合同于 主子式全非负（其中至少一个主子式为零） 存在矩阵M，但不可逆 使 A = MTM

例1 判别二次型 是否正定. 解 它的顺序主子式 故上述二次型是正定的.

例2 判别二次型 是否正定. 解 用特征值判别法. 二次型的矩阵为 即知 是正定矩阵， 故此二次型为正定二次型.

例3 判别二次型 的正定性. 解 故上述二次型是负定的.

思考题

思考题解答