Ch02 機率初論

學習目標 定義機率、樣本空間及事件 區別主觀與客觀機率 描述事件的餘集與兩事件的交集與聯集 計算各式各樣事件的機率 解釋條件機率的概念並且計算之 描述排列與組合並且運用它們計算某些機率 解釋貝氏定理及其應用

事件、樣本空間與機率(1/3) 事件 (event) 是樣本空間的子集合 (subset) 樣本空間 (sample space) 是某個給定狀況所有可能性的集合 (set) 機率 (probability) 是一種我們對發生某事件之信心的相對測度

事件、樣本空間與機率(2/3) 我們制定許多規則來計算事件的機率：聯集規則 (rule of union)、條件機率 (conditional probability)、總和機率法則 (law of total probability)及貝氏定理 (Bayes theorem)。

事件、樣本空間與機率(3/3) 我們也定義彼此分開的 (disjoint) 事件與彼此間獨立的 (independent) 事件。我們討論哪些與獨立事件有關的計算是可能的，且討論如何測試不同事件間是否獨立。

客觀機率(Objective probability) 基於機會遊戲的對稱性或類似的情況所產生的機率 也稱為古典機率 根據某些事件等可能發生的概念(術語「等可能發生」直覺上是清楚的，而且會被當作是機率定義的出發點) 根據洋基去年主場150場中贏了100場來看，今年主場贏的機率可能是2/3

主觀機率(Subjective probability) 涉及個人判斷、資訊、直覺及其他主觀評斷標準

集合 集合是所有元素 (elements) 的組合 就MLB的投手中，預測今年球季超過15勝的投手是哪些人? 例如：集合裡的元素可能是人、馬、桌子、車子、檔案櫃裡的檔案或是數字。我們定義的集合可以是牧場裡的所有馬、房間內的所有人、某時間某停車場的所有車輛、介於 0 與 1 間的所有數字，或所有整數。 就MLB的投手中，預測今年球季超過15勝的投手是哪些人?

空集合 空集合 (empty set) 是沒有元素的集合，記作φ 今年球季25勝以上的投手有哪些人?

宇集 宇集 (universal set) 包含所有我們談論的，與某一內容有關的任何事物，記做 S。 今年球季所有球隊(宇集)中，超過90勝的球隊有哪些?

餘集 餘集 (complement)：集合 A 的餘集包含那些不在 A 裡，但在宇集內的所有元素，記做 通常被稱為「非A」

餘集 S(宇集)：所有球隊 A(90勝以上) Venn Diagram (凡氏圖)

餘集、交集、聯集 交集 (intersection)：集合 A 與 B 的交集， 包含所有兩集合共有的元素，記做 A ∩ B

交集 S(所有球員) A(>40支HR) B(>130RBI)

聯集 聯集 (union)：集合 A 與 B 的聯集 ，包含兩集合的所有元素，記做 A ∪ B 符合19勝或平均防禦率4.0以下的有哪些投手?

聯集 S(所有投手) A(wins>15) B(ERA<4.0)

實驗(Experiment) 投球(實驗) 抽一張牌(實驗) 好球、壞球(樣本空間:投球實驗相關的宇集) 壞球(事件) 主觀機率 各種牌(樣本空間) 黑桃A(事件) 客觀機率

機率 事件A的機率： P(A) = n(A)/n(S) n(A)是事件A這個集合內元素個數 n(S)是樣本空間內的元素個數 季後賽共有洋基、印第安人等共八支球隊，假設不考慮主觀因素的強弱之分，洋基總冠軍的機率為何? 抽一副牌，抽到A的機率為何?

機率的四則運算 機率是一種不確定測度。事件 A 的機率表其發生可能性的數字測度。 例如：一事件不可能發生，則其機率是 0，發生空集合的機率是 0。 勝算?

解讀機率 王建民的勝率(獲勝機率)有7成~

餘集規則、機率 如果胡金龍打到球的機率是4/5，那麼他打不到球的機率有多少?

聯集規則 王建民沒有投出四死球或失分小於4分的場次機率為何?

互斥事件 兩件事的集合是分開的(沒有交集)，我們說兩件事是互斥(mutually exclusive) 15勝以上且防禦率大於10的投手存在機率為何?

空集合 無任何交集 S(所有投手) B(ERA>10) A(wins>15)

條件機率 不為0 在事件B發生的條件下，事件A的條件機率為何? 在王建民失3分以下的場次，洋基的勝率有多少?

獨立事件 則事件A與B彼此獨立 歐尼爾的罰球命中率(命中的機率)為7成、王建民的勝率(勝投機率)為7成，請問歐罰球命中同時王勝投的機率為何?

獨立事件的乘法規則 隨機抽樣(random sampling) 從大型母體隨機抽樣 從任意規模的母體取出放回地隨機抽樣 元素與元素間彼此是獨立的 一場球迷各半的球賽且混在一起觀賞比賽(共有5萬名觀眾)，在沒有刻意挑選的情形下，連續到100位支持同一支球隊的機率為何?

交集規則 二支實力相當的球隊比賽10場，其中一支球隊連贏10場的機率為何? 二支實力相當的球隊比賽10場，其中一支球隊贏得其中1場比賽的機率為何?

獨立與互斥的差異 兩互斥事件不獨立，而是相依的，所指的是：如果其中一件發生了，另一件就不可能發生，其交集機率為0 年度平均防禦率大於10的投手，不可能獲得15勝以上 兩獨立事件交集的機率不會是0，除非其中一項的機率是0，這項機率等於各別機率的乘積

排列與組合(1/3) 任何正整數 n，我們定義 n 階乘為 n(n－1)(n－2)…1，n 階乘記做 n!。該數字是排列 n 個物品所有的可能方式。我們定義 0!＝1。 九名先發棒次的排列方式共有幾種?

樹狀圖

排列與組合(2/3) 排列(permutation)是一種從n種物品挑選r種依序排列的方式。排列方式的總數記做nPr 要從九名先發中挑出2名選手做為3、4二棒，有幾種可能?

排列與組合(3/3) 組成(combination)是一種從n種物品挑選r種的方式。組合方式的總數記做 要從九名先發中挑出2名選手做為3、4二棒，有幾種可能?

總和機率法則(1/2) 總和機率法則 (the law of total probability) 可以用來評估那些不容易直接計算事件的機率。

總和機率法則(2/2) 利用與集合B與 交集分割集合A及意含的總和機率法則 洋基的在王建民投球下的勝率等於王建民當場ERA大於3的勝率加上ERA小於3的勝率 洋基的在王建民投球下的勝率等於王建民當場ERA在0-1、1-2、2-3及3以上的勝率

總和機率法則的例子 定義事件 A 是從一副牌「抽到圖形牌」(圖形牌指 A，J，Q，K 牌)。 令 H，C，D，S 分別代表抽到心形牌、梅花牌、方塊牌或黑桃牌的事件。 我們發現，抽到圖形牌的機率為 P(A)= P(A∩H)+ P(A∩C)+ P(A∩D)+ P(A∩S)= 4/52 + 4/52 + 4/52 + 4/52 = 16/52

貝氏定理(1/3)

貝氏定理(2/3) P(B)及 被稱為事件B與 事件的先驗機率(prior probability)，條件機率 被稱為事件B的後驗機率(posterior probability) 可以視為在已知事件A發生之後，轉換某一事件B的先驗機率到它的後驗機率的一項機率結果

貝氏定理(3/3) 二個以上集合的分割

習題2-1 假設你/妳參加星光大道挑戰賽，原班底有10位選手，請問： 第一次選到王大明(10位選手之一)的機率為何? 假設要比二次，二次都抽到王大明的機率為何? 10選手中的女性有3成，是女性又小於20歲的有1成，請問要在女性的選手中抽到小於20歲的機率為何?

習題2-2 胡金龍的安打的機率為0.3，請問： 假設他的每次打擊都是獨立事件，那麼他連10次打出安打的機率為何? 承上題，他連10次打擊都打不出安打的機率為何? 假設道奇隊上共有15位球員(含胡金龍)，他被抽籤選在9人先發的機率為何? 承上題，假設要排3、4、5棒次，共有幾種排法?

習題2-3 王在早上出賽而勝投的機率是0.7、在下午勝投的機率是0.6、在晚上勝投的機率是0.8；又得知王的早上出賽率是0.4、下午出賽率是0.3、晚上出賽率是0.3。 請問王勝投了，而是在晚上出賽的機率為何?

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