群組未知 水蜜桃每4個裝一盒，爸爸買了5盒，一共買了幾個水蜜桃？ 爸爸想把20個水蜜桃平分給他的5個朋友，每個朋友可以得到幾個水蜜桃？ 爸爸想把20個水蜜桃放進每盒裝4個的盒子裡，他需要幾個盒子？

比例 一個水蜜桃要40元，5個水蜜桃要多少元？ 5個水蜜桃要400元，一個水蜜桃要多少元？ 1個水蜜桃要40元，400元可以買幾個水蜜桃？

倍數 妹妹有20元，哥哥的錢是妹妹的5倍，哥哥有多少元？ 哥哥有20元，他的錢是妹妹的5倍，妹妹有多少元？ 哥哥有20元，妹妹有5元，哥哥的錢是妹妹的幾倍？

組合 妹妹有3件上衣和2條裙子，如果每一次都選一件上衣和一條裙子，可以有幾種不同的組合？ 妹妹買了上衣和裙子，總共有6種搭法，如果妹妹有3件上衣，那麼她有幾件裙子？

矩形面積 有一個長方形長5公分，寬3公分，長方形面積是多少平方公分？ 有一個面積是15平方公分的長方形，他的長是5公分，寬是幾公分？

小結 情境問題結構相同，但數字改變，難度就增加很多。 這種類型的題目，教師從與整數連結敎起，教師的目的是什麼？

低年段能力指標 年級 能力指標 一 A-1-01能在具體情境中，認識等號兩邊數量一樣多的意義與＜、＝、＞的遞移律。 二

低年段分年細目 年級 分年細目 一 二 1-a-01能在具體情境中，認識加法的交換律。 1-a-02能在具體情境中，認識加減互逆。 2-a-01能用＜、＝與＞表示數量大小關係，並在具體情境中認識遞移律。(同2-n-03) 2-a-02能在具體情境中，認識加法順序改變並不影響其和的性質。 2-a-03能在具體情境中，認識乘法交換律。 2-a-04能理解加減互逆，並運用於驗算與解題。

中年段能力指標 年級 能力指標 三 A-2-01能理解乘除互逆，並運用於驗算與解題。 四

中年段分年細目 年級 分年細目 三 四 3-a-01能理解乘除互逆，並運用於驗算及解題。 4-a-01能在具體情境中，理解乘法結合律。

高年段能力指標 年級 能力指標 五 A-3-01能在具體情境中，理解乘法對加法的分配律與其他乘除混合計算之性質，並運用於簡化計算。 A-3-02能由生活中常用的數量關係，運用於理解問題，並解決問題。(N-3-18) A-3-03能認識等量公理。 A-3-04能用含未知數符號的算式表徵具體情境之單步驟問題，並解釋算式與情境的關係。 A-3-05能解決用未知數列式之單步驟問題。 A-3-06能用符號表示簡單的常用公式。 六

五年級分年細目 年級 分年細目 五 5-a-01能在具體情境中，理解乘法對加法的分配律，並運用於簡化計算。

六年級分年細目 年級 分年細目 六 6-a-01能理解等量公理。 6-a-04能利用常用的數量關係，列出恰當的算式，進行解題，並檢驗解的合理性。(同6-n-13)

3+4=7與4+3=7一樣嗎？ 引自師大書苑教學案例低年級篇

引自小牛頓數學

等號的意義 結果的答案→等號的左右相等 等號的遞移性 A=B,B=C,A=C

不等號的意義 引自小牛頓數學

教師的數學知識：數運算性質 三一律：A、B 二數恰有下列一種關係 等價關係：A、B、C 三數滿足 A ＜ B，A ＝ B，A ＞ B A ＝ A(反身性) 若A ＝ B，則B ＝ A(對稱性) 若A ＝B，且B＝C，則A＝C(遞移性)

教師的數學知識：數運算性質 數的運算關係：A、B、C 三數滿足 A ＋ B ＝ B ＋ A(加法交換律) (A ＋ B) ＋ C ＝ A ＋ (B ＋ C)(加法結合律) A × B ＝ B × A(乘法交換律) (A × B) × C ＝ A × (B × C)(乘法結合律) (A ＋ B) × C ＝ A × C ＋ B × C(乘法對加法的前分配律)

加法的交換律 引自小牛頓數學

加法的結合律 引自小牛頓數學

乘法交換律 A*B=B*A 生活中的情境─行列

乘法的結合律 A*B*C=A*(B*C)=(A*B)*C 生活中的情境─長方體體積

乘法對加法的分配律 引自小牛頓數學

引自五南數學教材教法

引自五南數學教材教法 帶分數的乘法也是一種

乘除互逆的意思 所謂的「乘除互逆」性質是指乘法問題與除法問題是可以互相轉換的 在乘法問題或除法問題情境中 透過除法運算取消乘法問題 透過乘法運算來取消除法問題

乘除互逆的例題與學生發展 「一包糖果有12 顆，老師買了一盒糖果，裡面有很多包，全部拆開後，數一數共有84 顆，請問這盒糖果有幾包？」此情境問題為「乘數（單位數）未知的乘法問題」，若引入乘的分解紀錄「84＝12×（ ）」 來逆溯「分」的操作活動，反思「分」的結果，幫助學生理解此問題，並將原問題轉換成「一盒糖果有84 顆， 12 顆裝成一包，可分裝成幾包？」之「商數未知的包含除問題」，而以「84÷12＝（ ）」來進行解題，使學生能將「部份－全體」之認知基模與解題策略加以連結，進而掌握全體、單位量、單位數間的「部分－全體」關係，以提昇學生的「乘除互逆」概念。

6-n-13能利用常用的數量關係，列出恰當的算式，進行解題，並檢驗解的合理性。(同6-a-04) 本細目在六年級課程應佔相當份量，作為國小課程之總結。本細目之重點在解題，希望能整合國小階段所學到之數、量、運算、數量關係，解未知數等式之經驗，進行應用問題之解題，包含說明題意，列式表述問題，發展策略解題。傳統之應用問題：雞兔問題、年齡問題、龜兔賽跑等，皆屬於本細目。 希望學童能分析問題，列出多步驟之算式來解題(不一定用算式填充題)。

6-n-13能利用常用的數量關係，列出恰當的算式，進行解題，並檢驗解的合理性。(同6-a-04) 常用的數量關係包括：和不變、差不變、積不變、比例關係、基準量問題等。 例：(年齡問題)「小麗今年12歲，爸爸與小麗的年齡相差24歲，再過幾年爸爸的年齡是小麗的兩倍？」 例：(平均問題)「小明的國語、社會、自然三科平均為90分，問小明的數學要考多少分才會讓四科平均達到88分？」

例：(追趕問題)「小英跑步的速度是每秒5公尺 ，小麗跑步的速度是每秒4公尺，兩人賽跑，如果小麗在小英前方40公尺，請問小英何時可以趕上小麗？」 例：(雞兔問題)「倉庫中有一種輪胎100個，可以裝在六輪小貨車上，也可以裝在四輪汽車上，今天裝配了22輛車子，剛好將輪胎都用光，請問這些車子中，有幾輛是六輪小貨車，有幾輛是四輪汽車？」

各題檢測結果分析-第六題 ？ 下列圖形的排列有一定的規則，圖5有幾個黑色三角形？幾個白色三角形？把你的想法或做法寫下來。 題目： 評量目的： 圖1 圖2 圖3 圖4 圖5 本試題主要評量學生能否覺察數形的規律，並能將自己的想法或做法描述清楚。

學生解題(一) 2分 得分 解題類型舉隅 解題類型分析 這種做法都是把每一個圖的黑、白色三角形個數以類似表格的方式分別列出，再分別找出每一圖與前後兩圖中黑色、白色三角形個數的關係。發現每一個圖的黑色三角形個數乘以3，就會得到下一個圖的黑色三角形個數；每一個圖的白色三角形個數乘以3再加上1，就會得到下一個圖的白色三角形個數。

學生解題(二) 2分 得分 解題類型舉隅 解題類型分析 此種做法是由觀察每一圖，分別找出黑、白色三角形個數的規律。因為黑色三角形個數的規律比較顯而易見，所以採用2-C類型做法的學生多半先算黑色三角形的個數，再利用同一圖中黑、白色三角形間的關係，計算出白色三角形的個數。但此種做法與眾不同，先用白色三角形的個數乘以3加1後，可算出下一圖白色三角形個數的方法，算出圖5有40個白色三角形，再利用黑＝白×2＋1的關係，求出圖5有（40×2＋1）個黑色三角形。

學生解題(三) 得分 解題類型舉隅 解題類型分析 0分 這種做法都認為圖5沒有黑色三角形，是1個全部都是白色的大三角形。猜測第一個做法的答題學生是因為題目未畫出圖5，就認為圖5是1個白色三角形；第二、三個做法的答題學生應是只注意到每一圖變化成下一圖時，白色三角形不斷增加，就以為圖5會塞滿了白色三角形，成為1個全白的三角形，沒有黑色的部份。

本細目為「檢查細目」。藉由其他課題的教學，讓學生理解用符號代表數的好處。 例：正方形的面積＝a ×a，其中a為正方形的邊長。 長方形的面積＝ a×b，其中a、b為長方形的兩鄰邊長。 直柱體的體積＝A ×h，其中A為底面積，h為高。

5-n-18能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。(同5-s-05) 三角形面積公式＝(底×高)÷2 平行四邊形面積公式＝底×高 梯形面積公式＝(上底＋下底) ×高÷2

面積的最初經驗 引自小牛頓數學

平行四邊形的面積處理~江永明主任提供

平行四邊形的面積處理~江永明主任提供

梯形的面積處理~江永明主任提供

梯形的面積處理~江永明主任提供

梯形的面積處理~江永明主任提供

梯形的面積處理~江永明主任提供

引自小牛頓數學