第八章 空间解析几何与向量代数 第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何 在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 数量关系 — 第二部分 空间解析几何 在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 数量关系 — 坐标, 方程（组） 基本方法 — 坐标法; 向量法

第一节 向量及其线性运算 一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影 第八章 第一节 向量及其线性运算 一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影

一、向量的概念 或 a , 或 a . 向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量). 表示法: 有向线段 M1 M2 , 向量的模 : 向量的大小, 自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 记作 e 或e . 零向量: 模为 0 的向量,

若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, 记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作－a ; 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 . 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .

二、向量的线性运算 1. 向量的加法 平行四边形法则: 三角形法则: 运算规律 : 交换律 结合律 三角形法则可推广到多个向量相加 .

2. 向量的减法 三角不等式

3. 向量与数的乘法  是一个数 ,  与 a 的乘积是一个新向量, 记作 规定 : 可见 总之: 运算律 : 结合律 分配律 因此

定理1. 设 a 为非零向量 , 则 ( 为唯一实数) a∥b 证: “ ”. 设 a∥b , 取 ＝± , a , b 同向时取正号 反向时取负号, 则 b 与  a 同向, 且 再证数  的唯一性 . 设又有 b＝ a , 则

则 “ ” 已知 b＝ a , b＝0 a , b 同向 a∥b a , b 反向 例1. 设 M 为 ABCD 对角线的交点, 解:

三、空间直角坐标系 1. 空间直角坐标系的基本概念 过空间一定点 O , 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 z 轴(竖轴) Ⅱ 坐标原点 Ⅲ 坐标轴 Ⅳ Ⅰ 坐标面 zOx面 卦限(八个) y轴(纵轴) Ⅶ Ⅵ Ⅴ Ⅷ x轴(横轴)

在直角坐标系下 点 M 有序数组 向径 (称为点 M 的坐标) 特殊点的坐标 : 原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C

坐标轴 : 坐标面 :

2. 向量的坐标表示 在空间直角坐标系下, 任意向量 r 可用向径 OM 表示. 设点 M 的坐标为 则 此式称为向量 r 的坐标分解式 , 记 此式称为向量 r 的坐标分解式 , 沿三个坐标轴方向的分向量,

四、利用坐标作向量的线性运算 设 则 平行向量对应坐标成比例:

例2. 求解以向量为未知元的线性方程组 ① ② 解: 2×① －3×② , 得 代入②得

例3. 已知两点 及实数 在AB所在直线上求一点 M , 使 解: 设 M 的坐标为 如图所示 得 即

说明: 由 得定比分点公式: 点 M 为 AB 的中点 , 于是得 中点公式:

五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模与两点间的距离公式 则有 由勾股定理得 对两点 与 因 得两点间的距离公式:

例4. 求证以 为顶点 的三角形是等腰三角形 . 证: 即 为等腰三角形 .

例5. 在 z 轴上求与两点 及 等距 离的点 . 解: 设该点为 故所求点为 解得 思考: (1) 如何求在 xOy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程? (2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?

提示: (1) 设动点为 利用 得 且 (2) 设动点为 利用 得 例6. 已知两点 求AB的单位向量 e . 解: (1) 如何求在 xOy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程? (2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?

2. 方向角与方向余弦 设有两非零向量 任取空间一点 O , 称  =∠AOB (0≤ ≤  ) 为向量 的夹角. 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角 ,  ,  为其方向角. 方向角的余弦称为其方向余弦.

方向余弦的性质:

例7. 已知两点 和 计算向量 的模 、方向余弦和方向角 . 解:

例8. 设点 A 位于第一卦限, 向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹 角依次为 求点 A 的坐标 . 解: 已知 则 故 于是 故点 A 的坐标为 第二节

3. 向量在轴上的投影 设 a 与 u 轴正向的夹角为 , 则 a 在轴 u 上的投影为 , 即 例如, 在坐标轴上的投影分别为 投影的性质 1) 2) (为实数) 第二节

作业 P12 3 , 5, 13, 14, 15, 18, 19 例9. 设立方体的一条对角线为OM, 一条棱为 OA, 且 求OA 在 OM 方向上的投影. 解: 如图所示, 记 ∠MOA =  , 作业 P12 3 , 5, 13, 14, 15, 18, 19 第二节

备用题 1. 设 求向量 在 x 轴上的投影及在 y 轴上的分 向量. 解: 因 故在 x 轴上的投影为 在 y 轴上的分向量为

求以向量 为边的平 2. 设 行四边形的对角线的长度 . 解： 对角线的长为 该平行四边形的对角线的长度各为