第八章 空间解析几何与向量代数 第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何 在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 数量关系 —

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2.6 隐函数微分法 第二章 第二章 二、高阶导数 一、隐式定义的函数 三、可微函数的有理幂. 一、隐函数的导数 若由方程 可确定 y 是 x 的函数, 由 表示的函数, 称为显函数. 例如, 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数, 但此隐函数不能显化. 函数为隐函数. 则称此 隐函数求导方法.
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平面向量.
精品课程《解析几何》 第三章 平面与空间直线.
§3.4 空间直线的方程.
第6章 多元函数微积分 6.1空间解析几何简介. 6.2多元函数微分学. 6.3多元函数积分学..
高等数学II 课程网页: 答疑时间:(周一10:00-12:00三教三楼答疑室)
第七章 空间解析几何与向量代数 用代数的方法研究几何问题称为解析几何 平面解析几何 一元微积分 空间解析几何 多元微积分 本章的主要内容 :
空间解析几何 湖南大学 数学与计量经济学院.
第七章 空间解析几何与向量代数 1、空间直角坐标系; 2、向量及其线性运算; 3、向量的坐标、数量积、向量积;
第七章 向量代数与空间解析几何 第一节 空间直角坐标系与向量的概念 第二节 向量的坐标表示 第三节 向量的数量积和向量积 第四节 平面方程
第八章 空间解析几何与向量代数 第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何 在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 数量关系 —
第四章 向量组的线性相关性 §1 向量组及其线性组合 §2 向量组的线性相关性 §3 向量组的秩 §4 线性方程组的解的结构.
《解析几何》 -Chapter 3 §7 空间两直线的相关位置.
第七章 空间解析几何与向量代数 第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何 在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 数量关系 —
第七章 向量代数与空间解析几何 如同平面解析几何那样,空间解析几何是通过建立空间直角坐标,把空间的点与三元有序数组对应起来,用三元方程及方程组来表示空间几何图形,从而可以用代数的方法来研究空间几何问题,而这又是学习微积分的基础。 §1 向量及其线性运算 一.向量的概念 1.数量与向量:仅有数值大小的物理量称数量或标量,如温度、时间等。不仅有大小,还有方向的量称向量或矢量,如力、速度等。
空间解析几何与向量代数 第一节 向量及其线性运算 第二节 数量积 向量积 *混合积 第三节 曲面及其方程 第四节 空间曲线及其方程
第七章 向量与空间解析几何 第一节 空间直角坐标系与向量的概念 第二节 向量的点积与叉积 第三节 平面与直线 结束.
第一节 空间解析几何的基本知识 1、空间直角坐标系 2、几种特殊的曲面 3、空间曲线.
第八章 向量代数 空间解析几何 第五节 空间直线及其方程 一、空间直线的点向式方程 和参数方程 二、空间直线的一般方程 三、空间两直线的夹角.
第三章 空间解析几何 与向量代数.
第九章 空间解析几何 一、主要内容 二、典型例题.
平面向量复习建议.
3.4 空间直线的方程.
第八章 空间解析几何与向量代数 第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何 在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 数量关系 —
第六章 向量代数与空间解析几何 第一节 向量及其线性运算 一、空间直角坐标系 二、向量与向量的线性运算 三、向量的坐标表示式
第9章 向量与空间解析几何 9.1 空间直角坐标系与向量的概念 9.2 向量的数量积与向量积 9.3 平面方程与空间直线方程
空间直角坐标系 这一章,我们为学习多元函数微积分学作准备,介绍空间解析几何和向量代数。这是两部分相互关联的内容。用代数的方法研究空间图形就是空间解析几何,它是平面解析几何的推广。向量代数则是研究空间解析几何的有力工具。这部分内容在自然科学和工程技术领域中有着十分广泛的应用,同时也是一种很重要的数学工具。
第八章 空间解析几何 与向量代数 一. 内 容 要 点 二. 重 点 难 点 三. 主 要 内 容 四. 例 题与习题.
第七章 空间解析几何 §5 空间直线及其方程 一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程 三、两空间直线的夹角
第七章 空间解析几何 §3 向量的乘法 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 三、向量的混合积.
§1 二阶与三阶行列式 ★二元线性方程组与二阶行列式 ★三阶行列式
一、二阶行列式的引入 用消元法解二元线性方程组. 一、二阶行列式的引入 用消元法解二元线性方程组.
§1 线性空间的定义与性质 ★线性空间的定义 ★线性空间的性质 ★线性空间的子空间 线性空间是线性代数的高等部分,是代数学
第七章 空间解析几何与向量代数 §7.1 向量及其线性运算 §7.2 数量积 向量积 混合积 §7.3 曲面及其方程
§2 求导法则 2.1 求导数的四则运算法则 下面分三部分加以证明, 并同时给出相应的推论和例题 .
1.1特殊的平行四边形 1.1菱形.
2.1.2 空间中直线与直线 之间的位置关系.
平行四边形的性质 灵寿县第二初级中学 栗 彦.
§1.1空间直角坐标系 一.空间直角坐标系 坐标原点; 坐标轴; 坐标平面。
空间向量的数量积运算.
专题二: 利用向量解决 平行与垂直问题.
实数与向量的积.
2.6 直角三角形(二).
胜利油田一中 杨芳.
3.3 垂径定理 第2课时 垂径定理的逆定理.
第五节 对坐标的曲面积分 一、 对坐标的曲面积分的概念与性质 二、对坐标的曲面积分的计算法 三、两类曲面积分的联系.
复习.
第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.5空间向量运算的 坐标表示.
复习: 若A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2), 则 AB = OB - OA=(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)
§6.7 子空间的直和 一、直和的定义 二、直和的判定 三、多个子空间的直和.
抛物线的几何性质.
3.1.2 空间向量的数量积运算 1.了解空间向量夹角的概念及表示方法. 2.掌握空间向量数量积的计算方法及应用.
平面向量基本定理.
直线和圆的位置关系 ·.
O x y i j O x y i j a A(x, y) y x 5.4 平面向量的坐标运算 5.4 平面向量的坐标运算 5.4 平面向量的坐标运算 5.4 平面向量的坐标运算 5.4 平面向量的坐标运算 5.4 平面向量的坐标运算 5.4 平面向量的坐标运算.
2.2矩阵的代数运算.
轴对称在几何证明及计算中的应用(1) ———角平分线中的轴对称.
第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.2空间向量的数乘运算.
高中数学必修 平面向量的基本定理.
§2 方阵的特征值与特征向量.
§2-2 点的投影 一、点在一个投影面上的投影 二、点在三投影面体系中的投影 三、空间二点的相对位置 四、重影点 五、例题 例1 例2 例3
双曲线及其标准方程(1).
9.5空间向量及其运算 2.共线向量与共面向量 淮北矿业集团公司中学 纪迎春.
欢迎大家来到我们的课堂 §3.1.1两角差的余弦公式 广州市西关外国语学校 高一(5)班 教师:王琦.
第一模块 向量代数与空间解析几何 第二节 向量及其坐标表示法 一、向量的概念 二、向量的坐标表示法.
第四节 向量的乘积 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积.
制作者:王翠艳 李晓荣 o.
第三节 数量积 向量积 混合积 一、向量的数量积 二、向量的向量积 三、向量的混合积 四、小结 思考题.
正方形的性质.
3.3.2 两点间的距离 山东省临沂第一中学.
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第八章 空间解析几何与向量代数 第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何 在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 数量关系 — 第二部分 空间解析几何 在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 数量关系 — 坐标, 方程(组) 基本方法 — 坐标法; 向量法

第一节 向量及其线性运算 一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影 第八章 第一节 向量及其线性运算 一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影

一、向量的概念 或 a , 或 a . 向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量). 表示法: 有向线段 M1 M2 , 向量的模 : 向量的大小, 自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 记作 e 或e . 零向量: 模为 0 的向量,

若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a=b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, 记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作-a ; 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 . 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .

二、向量的线性运算 1. 向量的加法 平行四边形法则: 三角形法则: 运算规律 : 交换律 结合律 三角形法则可推广到多个向量相加 .

2. 向量的减法 三角不等式

3. 向量与数的乘法  是一个数 ,  与 a 的乘积是一个新向量, 记作 规定 : 可见 总之: 运算律 : 结合律 分配律 因此

定理1. 设 a 为非零向量 , 则 ( 为唯一实数) a∥b 证: “ ”. 设 a∥b , 取 =± , a , b 同向时取正号 反向时取负号, 则 b 与  a 同向, 且 再证数  的唯一性 . 设又有 b= a , 则

则 “ ” 已知 b= a , b=0 a , b 同向 a∥b a , b 反向 例1. 设 M 为 ABCD 对角线的交点, 解:

三、空间直角坐标系 1. 空间直角坐标系的基本概念 过空间一定点 O , 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 z 轴(竖轴) Ⅱ 坐标原点 Ⅲ 坐标轴 Ⅳ Ⅰ 坐标面 zOx面 卦限(八个) y轴(纵轴) Ⅶ Ⅵ Ⅴ Ⅷ x轴(横轴)

在直角坐标系下 点 M 有序数组 向径 (称为点 M 的坐标) 特殊点的坐标 : 原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C

坐标轴 : 坐标面 :

2. 向量的坐标表示 在空间直角坐标系下, 任意向量 r 可用向径 OM 表示. 设点 M 的坐标为 则 此式称为向量 r 的坐标分解式 , 记 此式称为向量 r 的坐标分解式 , 沿三个坐标轴方向的分向量,

四、利用坐标作向量的线性运算 设 则 平行向量对应坐标成比例:

例2. 求解以向量为未知元的线性方程组 ① ② 解: 2×① -3×② , 得 代入②得

例3. 已知两点 及实数 在AB所在直线上求一点 M , 使 解: 设 M 的坐标为 如图所示 得 即

说明: 由 得定比分点公式: 点 M 为 AB 的中点 , 于是得 中点公式:

五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模与两点间的距离公式 则有 由勾股定理得 对两点 与 因 得两点间的距离公式:

例4. 求证以 为顶点 的三角形是等腰三角形 . 证: 即 为等腰三角形 .

例5. 在 z 轴上求与两点 及 等距 离的点 . 解: 设该点为 故所求点为 解得 思考: (1) 如何求在 xOy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程? (2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?

提示: (1) 设动点为 利用 得 且 (2) 设动点为 利用 得 例6. 已知两点 求AB的单位向量 e . 解: (1) 如何求在 xOy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程? (2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?

2. 方向角与方向余弦 设有两非零向量 任取空间一点 O , 称  =∠AOB (0≤ ≤  ) 为向量 的夹角. 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角 ,  ,  为其方向角. 方向角的余弦称为其方向余弦.

方向余弦的性质:

例7. 已知两点 和 计算向量 的模 、方向余弦和方向角 . 解:

例8. 设点 A 位于第一卦限, 向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹 角依次为 求点 A 的坐标 . 解: 已知 则 故 于是 故点 A 的坐标为 第二节

3. 向量在轴上的投影 设 a 与 u 轴正向的夹角为 , 则 a 在轴 u 上的投影为 , 即 例如, 在坐标轴上的投影分别为 投影的性质 1) 2) (为实数) 第二节

作业 P12 3 , 5, 13, 14, 15, 18, 19 例9. 设立方体的一条对角线为OM, 一条棱为 OA, 且 求OA 在 OM 方向上的投影. 解: 如图所示, 记 ∠MOA =  , 作业 P12 3 , 5, 13, 14, 15, 18, 19 第二节

备用题 1. 设 求向量 在 x 轴上的投影及在 y 轴上的分 向量. 解: 因 故在 x 轴上的投影为 在 y 轴上的分向量为

求以向量 为边的平 2. 设 行四边形的对角线的长度 . 解: 对角线的长为 该平行四边形的对角线的长度各为