第四章 相似三角形复习课

知识回顾 比例的定义 比例的性质：a/b=c/d ad=bc 比例中项： A C B 黄金分割：

练习： . ( ) , 1 5 2 - = AC AB 则 的黄金分割点，较长线段 C 是线段 2、 4 3、计算：

相似三角形 定义： 相似比： 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。 相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。 4、 ∽ ABC A’B’C’,如果BC=3,B’C’=1.5,那么 A’B’C’与 ABC的相似比为_________.

做一做 5、 已知3:X=4:12,则X= 6、 如图D,E分别AB,AC是上的点, △AED∽ △ACB, ∠AED=720 A ∠ADE=550. 则∠A= , ∠C= A 若AE=2,AC=4,则 BC是DE的 倍. E D C B

相似三角形的判定 预备定理: 相似三角形的判定方法 判定定理1,2,3. 相似三角形的传递性. △1 ∽ △2 △1 ∽ △3 ∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC. 相似三角形的判定方法 判定定理1,2,3. 相似三角形的传递性. A B C D E D E A B C △1 ∽ △2 △1 ∽ △3 △2 ∽ △3或△2 ≌ △3

现在给你一个锐角三形ABC和一条直线MN 相似三角形基本图形的回顾： 现在给你一个锐角三形ABC和一条直线MN 问题：请同学们利用直线MN 在△ABC的边上 作出一个三角形与 △ABC相似， 并说明理由 M N A B C

第一种作法： 理由： 第二种作法： A （1）DE∥BC （2）∠ADE=∠B 或∠AED=∠C （3）AD：AB=AE：AC （1） ∠ADE=∠C 或∠AED=∠B （2）AE：AB=AD：AC E D B C A M D E B C

第七种作法： A （1）∠ACD=∠B （2）∠ADC=∠ACB （3）AD：AC=AC：AB M D C B N

相似三角形基本图形的回顾： E D A C B E D B C A A D D B B C C △ADE绕点A 旋转 A 点E移到与C点 重合 A A D ∠ACB=Rt∠ D CD⊥AB B B C C

议一议 7、下面两个三角形相似吗?为什么? （2） （1） 30 36 48 F D E （3） （4） 54 72 45 A B C E 40° 80° 80° DE ∥BC 60 ° 30 36 48 F D E （3） （4） 54 72 45 A B C

相似三角形 相似三角形的性质： 1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例 2、相似三角形的周长比等于相似比，对应高的比 等于相似比 3、相似三角形的面积比等于相似比的平方

三角形相似的应用（1）

做一做 8、 已知, △ABC∽△DEF,相似比为2, 那么他们的周长之比为 面积之比为 2 4

练一练 1 A P 2 C B 或∠APC=∠ACB 10、如图点P是△ABC的AB边上的一点,要使△APC∽△ACB,则需补上哪一个条件? ∠ACP=∠B 或AP:AC=AC:AB

13、如图,正方形ABCD中,E是DC中点,FC= BC. 求证: AE⊥EF 2 3 证明:∵四边形ABCD是正方形 ∴BC=CD=AD，∠D=∠C=90° ∵E是BC中点，FC= BC ∴ ∵∠D=90° ∴ ∴∠1+ ∠3=90 ° ∴△ADE∽△ECF ∴∠2+ ∠3=90° ∴ AE⊥EF ∴∠1=∠2

15、如图, 在△ABC中,∠ACB= 900，四边形BEDC为正方形, AE交BC于F, FG∥AC交AB于G. 求证: FC=FG. ∴CF∥DE ，DE=BE ∴△ACF∽△ADE D E F A B C G ∴ ① 又∵FG ∥AC∥BE ∴△AGF∽△ABE ∴ ② 又∵ DE=BE ∴FC=FG 由①②可得：

17、在平面直角坐标系，B（1，0）, A（3，－3）, C（3，0）,点P在y轴的正半轴上运动，若以O，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，则点P的坐标是__________________. x · O ·P

19、画一画: 如图,在△ABC和△DEF中, ∠A=∠D=700, ∠B=500, ∠E=300,画直线a,把△ABC分成两个三角形,画直线b ,把△DEF分成两个三角形,使△ABC分成的两个三角形和△DEF分成的两个三角形分别相似.(要求标注数据) E D F 700 300 b C A B 700 500 a 300 300 b E D F 700 300 C A B 700 500 a 200 200

21、如图正方形ABCD的边长为2，AE=EB，线段MN的两端点分别在CB、CD上滑动，且MN=1，当CM为何值时△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似？

做一做 16、在∆ABC中，AB=8cm,BC=16cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4cm/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟∆BPQ与∆BAC相似？ B C A Q P 8 16 2cm/秒 4cm/秒

· · 22、已知:四边形ABCD内接于⊙O,连结AC和BD交于点E,则图中共有_____对三角形相似. 2 23、已知:四边形ABCD内接于⊙O,连结AC和BD交于点E,且AC平分∠BAD,则图中共有_____对三角形相似. 6 · A B C D E O 1 2 3 4

（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值 18、如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45° （1）求证：△ABD∽△DCE （2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值 （3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长 A B C D E 1

证明：∵AB=AC，∠BAC=90° ∴∠B=∠C=45° 又∵∠ADE=45° ∴∠ADE=∠B ∵∠ADC是△ABD的外角 如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45° （1）求证：△ABD∽△DCE A B C D E 证明：∵AB=AC，∠BAC=90° ∴∠B=∠C=45° 1 又∵∠ADE=45° ）2 ∴∠ADE=∠B ∵∠ADC是△ABD的外角 ∴∠ADC=∠ADE+∠2=∠B+∠1 ∴∠1=∠2 ∴ △ABD∽△DCE

（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值 如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45° （2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值 A B C D E 解：∵△ABD∽△DCE 1 ∴ ∴ 当 时 ∴

分类讨论 AD=AE AE=DE DE=AD （3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长 如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45° （3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长 分类讨论 A B C D E 1 AD=AE AE=DE DE=AD

思考题 20、 在△ABC中, ∠ACB= 90。过AB上任意一点D作DE⊥BC F A B C 20、 在△ABC中, ∠ACB= 90。过AB上任意一点D作DE⊥BC 于E，DF⊥AC于F, 若BC=3, AC= 4, 设DE= x, 矩形面 积为y. (1)求y与x之间的函数关系式,并求自变量x的取值范围; (2)求DE多长时,矩形DECF的面积最大?最大面积是多少? ， 相似三角形应用的复习

练一练 54 18 若S△AEF=6cm2,则S△CDF = cm2 S △ADF=____cm2 9、在平行四边形ABCD中,AE:BE=1:2. 54 若S△AEF=6cm2,则S△CDF = cm2 S △ADF=____cm2 18 A B C D E F

练一练 11、若△ ACP∽△ABC，AP=4，BP=5，则AC=_____，△ ACP与△ABC的相似比是_______，周长之比是_______，面积之比是_______。 A P B C D A B C 5 3 4 12、如图：已知∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝5cm，BC=3cm，当BD取多少cm时 △ABC和△BDC相似？

14、如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB=AC. 求证:AB2=AE·AD 证明：连接BD ∵AB=AC ∴ = ∴∠ADB=∠ABE 又∵∠BAD=∠EAB ∴△ABC∽△AEB ∴ ∴AB2=AE·AD