新人教版第27章《相似》总复习课件

一.比例线段 知识要点1 1. 成比例的数（线段）： = 叫做四个数成比例。 a c 若 a、b、c、d 为四条线段 ，如果 b d 那么 或 若 , : c b a d = 若 a、b、c、d 为四条线段 ，如果 （或a：b=c：d），那么这四条线段a、b、 c 、 d 叫做成比例的线段，简称比例线段. a c b d =

= a c a∶b=c∶d bc ad d b Û ; 比例的性质： 其中 ：a、b、c、d 叫做组成比例的项， a、d 叫做比例外项，

练习: 6 D 1.若a, b, c, d成比例,且a=2, b=3, c=4,那么d= 2、下列各组线段的长度成比例的是（ ） 2、下列各组线段的长度成比例的是（ ） D A. 2 , 3, 4, 1 B. 1.5 ,2.5 ,6.5 , 4.5 C. 1.1 ,2.2 ,3.3 ,4.4 D. 1 , 2 , 2 , 4

3、 = = m n = 5 6 已知 ,求 的值. m n 6 5 = m 6 n 5 = m n = 6 5 已知 ,求 的值. 3、 解:方法(1)由对调比例式的两内项比例式仍成立得： m n 6 5 = 方法(2)因为 ,所以5m=6n m 6 n 5 = m n = 所以 6 5 4、已知 (1) x：(x+2)=(2—x)：3，求x。 (2)若 ， 求 。 (3) 若 ， 求 ， 1或-4 = - 2x 3y + y x 1 2 7/3 a+b b = 6 5 a a-b 1/5,-4/5

5 6 已知1, 2, 3三个数，请你再添上一个数，写出一个比例式。 6或2/3或1.5

ac b = 即： 一.比例线段 2.比例中项： a b b c = ， 练习： 当两个比例内项相等时， 即 (或 a：b=b：c)， = ， (或 a：b=b：c)， 当两个比例内项相等时， 那么线段 b 叫做a 和 c 的比例中项. 2 ac b = 即： 练习：

一.比例线段 3.黄金分割： A C B 练习：

知识要点2 二、相似三角形 定义： 相似比： 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。 相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。 ∽ ABC A’B’C’,如果BC=3,B’C’=1.5,那么 A’B’C’与 ABC的相似比为_________.

二、相似三角形 三角形相似的判定方法有哪几种? 预备定理 A B C D E D E A B C ∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC

二、相似三角形 相似三角形判定定理1：三边对应成比例的两个三角形相似. A B C D E F △ABC∽△DEF

二、相似三角形 相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. A B C D E F △ABC∽△DEF

二、相似三角形 相似三角形判定定理3：两个角对应相等的两个三角形相似 A B C D E F

（1）平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)相交；（2）两角对应相等；（3）两边对应成比例且夹角相等；（4）三边对应成比例； 二、相似三角形 相似三角形的判定： （1）平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)相交；（2）两角对应相等；（3）两边对应成比例且夹角相等；（4）三边对应成比例；

相似三角形基本图形的回顾： E D A C B E D B C A A D D B B C C △ADE绕点A 旋转 A 点E移到与C点 重合 A A D ∠ACB=Rt∠ D CD⊥AB B B C C

二、相似三角形 相似三角形的性质： 1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例 2、相似三角形的周长比等于相似比，对应高、对应角平分线，对应中线的比都等于相似比 3、相似三角形的面积比等于相似比的平方。

知识要点3 三、相似多边形 相似多边形的判定：对应角相等、对应边的比相等 相似多边形的对应角相等，对应边的比相等. 定义：各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形. 相似多边形的性质： 相似多边形的对应角相等，对应边的比相等. 相似多边形的周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方.

四、位似 知识要点4 1、 两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的相似叫做位似,点O叫做位似中心． 2、利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小

3.如何作位似图形(放大). 4.如何作位似图形(缩小). 5.体会位似图形何时为正像何时为倒像. A′ B′ C′ D′ E′ F′ G′ ●P A B G C E D F ●P 4.如何作位似图形(缩小). 5.体会位似图形何时为正像何时为倒像. O P

1.如果两个相似图形的每组对应点所在的直线都交于一点,那么这样的两个图形叫做位似图形, 这个交点叫做位似中心, 这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比. 2.位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上,它们到位似中心的距离之比等于相似比. 3.位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.

在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k. 位似变换中对应点的坐标变化规律: 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k.

五、知识运用 1.找一找: (1) 如图1,已知:DE∥BC,EF ∥AB,则图中共有_____对三角形相似. 3 (2) 如图2,已知:△ABC中, ∠ACB=900 ,CD⊥ AB于D,DE⊥BC于E,则图中共有_____个三角形和△ABC相似. 4 A B C D E F 如图(1) E A B C D 如图(2)

4 A D B E C 1 3 2

4.若如图所示，△ABC∽△ADB，那么下列关系成立的是 ( ) B A.∠ADB=∠ACB B.∠ADB=∠ABC C.∠CDB=∠CAB D.∠ABD=∠BDC 5.△ABC中，AC=6，BC=4，CA=9，△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′最短为12，则它的最长边的长度为( ) A.16 B.18 C.27 D.24 C

6.将两块完全相同的等腰直角三角形摆放成如图所示的样子,假设图形中的所有点,线都在同一平面内,试写出一对相似三角形(不全等) . 6.将两块完全相同的等腰直角三角形摆放成如图所示的样子,假设图形中的所有点,线都在同一平面内,试写出一对相似三角形(不全等) . △ADE、△BAE、△CDA都相似 G A B C D E F 1

7.如图，正方形ABCD的边长为8，E是AB的中点，点M，N分别在BC，CD上，且CM=2，则当CN=_________时，△CMN与△ADE相似。 1或4 E A B C D M N

8.在平面直角坐标系，B（1，0）, A（3，－3）, C（3，0）,点P在y轴的正半轴上运动，若以O，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，则点P的坐标是__________________. （0，1.5）或（0，2/3） y ·A B C x · O ·P

. 6 9、如图, 在△ABC中,AB=5,AC=4,E是AB上一点,AE=2, 在AC上取一点F,使以A、E、F为顶点的三角形与 △ABC相似,那么AF=________ E A B C . D A B C F1 F2 10、 如图, 在直角梯形中, ∠BAD=∠D=∠ACB=90。， CD= 4, AB= 9, 则 AC=______ 6

11、如图, 已知点P是边长为4的正方形ABCD内的一点，且PB=3，BF⊥BP 11、如图, 已知点P是边长为4的正方形ABCD内的一点，且PB=3，BF⊥BP. 试问在射线BF上是否存在一点E，使以点B、E、C为顶点的三角形与△ABP相似?若存在,请求出BE的长;若不存在,请说明理由. C A B D P Ｅ F Ｅ

12、在∆ABC中，AB=8cm,BC=16cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4cm/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟∆BPQ与∆BAC相似？ B C A Q P 8 16 2cm/秒 4cm/秒

1 A P 2 C B 或∠APC=∠ACB 13、如图点P是△ABC的AB边上的一点,要使△APC∽△ACB,则需补上哪一个条件? ∠ACP=∠B 或AP:AC=AC:AB

14、如图,点C,D在线段AB上, △PCD是等边三角形. (1)当AC,CD,DB满足怎样关系时, △PCA∽△BDP. (2)当△PCA∽ △BDP时,求∠APB的度数. P B C D A

E D C B 15、 如图D,E分别AB,AC是上的点, ∠AED=72o， ∠A=58o，∠B=50o, 那么△ADE和△ABC相似吗？ 若AE=2,AC=4,则BC是DE的 倍. A E B D C

16、若△ ACP∽△ABC，AP=4，BP=5，则AC=_______，△ ACP与△ABC的相似比是_______，周长之比是_______，面积之比是_______。 2 : 3 2 : 3 4 : 9 A P B C D A B C 5 3 4 11、如图：已知∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝5cm，BC=3cm，当BD取多少cm时 △ABC和△BDC相似？

（3）请找出图中的相似三角形 D C H G A E F B (2)以正方形的边长等量过渡.

练一练 54 18 若S△AEF=6cm2,则S△CDF = cm2 S △ADF=____cm2 18、在平行四边形ABCD中,AE:BE=1:2. 54 若S△AEF=6cm2,则S△CDF = cm2 S △ADF=____cm2 18 A B C D E F

答案：１：３：５ 19、如图（６）， △ＡＢＣ中，ＤＥ⁄⁄ＦＧ⁄⁄ＢＣ， ＡＤ＝ＤＦ＝ＦＢ，则Ｓ△ＡＤＥ:Ｓ四边形ＤＦＧＥ:Ｓ四边形ＦＢＣＧ=_________ 答案：１：３：５

20、已知梯形ABCD中， AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，若△AOD的面积为4cm2, △BOC的面积为9cm2, 则梯形ABCD的面积为_________cm2 25 A B C D O 解: ∴△AOD∽△COB S△AOD :S△COB =4:9 ∴OD:OB=2:3 ∴S△AOD : S△AOB =2:3 ∴S△AOB =6cm2 ∴梯形ＡＢＣＤ的面积为25cm2 ∵AD∥BC

画一画 1、 在方格纸中,每个小格的顶点叫做格点,以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.在如图4×4的格纸中, △ABC是一个格点三角形 (1)在右图中,请你画一个格点三角形,使它与△ABC相似(相似比不为1) (2)在右图中,请你再画一个格点三角形,使它与△ABC相似(相似比不为1),但与图1中所画的三角形大小不一样. A B C

A B C A B C 2 5 1 2 5 1 A B C 2 5 1

六、例题讲解 例1、如图,正方形ABCD中,E是DC中点,FC= BC. 求证: AE⊥EF 证明:∵四边形ABCD是正方形 2 3 证明:∵四边形ABCD是正方形 ∴BC=CD=AD，∠D=∠C=90° ∵E是BC中点，FC= BC ∴ ∵∠D=90° ∴ ∴∠1+ ∠3=90 ° ∴△ADE∽△ECF ∴∠2+ ∠3=90° ∴ AE⊥EF ∴∠1=∠2

例2、如图,DE∥BC,EF∥AB,且S△ADE=25,S△CEF=36. 求△ABC的面积. ∴∠A=∠CEF，∠AED=∠C ∴△ADE∽△EFC ∵DE∥BC ∴ ∴△ADE∽△ABC ∴ ∴ ∵ S△ADE=25 ∴ ∴S △ABC=121

例3. 过ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、边 BC、边DC的延长线于E、F、G . 求证：EA2 = EF· EG . 分析：要证明 EA2 = EF· EG ， 即 证明 成 立，而EA、EG、EF三条线段在同一直线上，无法构成两个三角形，此时应采用换线段、换比例的方法。可证明：△AED∽△FEB， △AEB ∽ △GED. 证明：∵ AD∥BF AB∥BC ∴△AED ∽△FEB △AEB ∽△GED ∴

例4、如图, 在△ABC中,∠ACB= 900，四边形BEDC为正方形, AE交BC于F, FG∥AC交AB于G. 求证: FC=FG. ∴CF∥DE D E F A B C G ∴△ACF∽△ADE ∴ ① 又∵FG ∥AC∥BE ∴△AGF∽△ABE ∴ ② 又∵ DE=BE ∴FC=FG 由①②可得：

例5、如图, AB/AD=BC/DE=AC/AE. (1) 求证: ∠BAD= ∠CAE; (2) 若已知 AB=6, BD=3, AC=4, 求 CE 的长. 证明： (1) ∵ 得 D E A B C ∴ΔABC∽ΔADE ∴ ∠BAC=∠DAE ∴ ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC 即∠BAD=∠CAE (2) 由 ∴ ∵∠BAD=∠CAE ∴ΔABD∽ΔACE ∴ ∴

七、相似三角形的应用 1、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h.

2、在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例，在某一时刻,有人测得一高为1 2、在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例，在某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某一高楼的影长为60米,那么高楼的高度是多少米? 解:设高楼的高度为X米，则 答:楼高36米.

3、皮皮欲测楼房高度，他借助一长5m的标竿，当楼房顶部、标竿顶端与他的眼睛在一条直线 上时，其他人测出AB=4cm,AC=12m。已知皮皮眼睛离地面1.6m.请你帮他算出楼房的高度。 D E F

4、已知左、右两棵并排的大树的高分别是AB=8m 和CD=12m,两树的根部的距离BD=5,一个身高1 4、已知左、右两棵并排的大树的高分别是AB=8m 和CD=12m,两树的根部的距离BD=5,一个身高1.6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路从左向右前进,当他与走边较低的树的距离小于多少时,就不能看到右边较高的树的顶端C? C FG=8米 A E H G B D F

5、如图，教学楼旁边有一棵树，数学小组的同学们想利用树影测量树高。课外活动时在阳光下他们测得一根长为1米的竹杆的影长是0 5、如图，教学楼旁边有一棵树，数学小组的同学们想利用树影测量树高。课外活动时在阳光下他们测得一根长为1米的竹杆的影长是0.9米，当他们马上测量树的影子长时，发现树的影子不全落在地面上，于是他们测得落在地面上的影子长2.7米，落在墙壁上的影长1.2米,求树的高度. 1.2m 2.7m

八、相似与函数的相关习题 1. 如图, 边长为4的正方形ABCD中, P是边BC上的一点, QP⊥AP 交 DC于Q, 设 BP= x, △ADQ的面积为y. (1) 求y与x之间的函数关系式,并求自变量x的取值范围; (2) 问P点在何位置时,△ADQ的面积最小?最小面积是多少? D Q A B C P

相似三角形性质应用 2. 如图, AD⊥BC, D为垂足, AD=8, BC=10, EFGH是△ABC内接矩形,(H、G是BC上的两个动点,但H不到达点B, G不到达点C) 设 EH=x,EF=y (1)求y与x之间的函数关系式,并求自变量x的取值范围; (2)当EF+EH=9时,求矩形EFGH的周长和面积. H P D E F G A B C

相似三角形性质应用 3、 , 的面积最大。 何处时， 在 的函数解析式，且点 与 ，求 面积为 高 中， 如图， PMN M x y BC BM AC PM AB MN AD ABC D = // 10 12 3、 A P B C M D N

拓展提高 4、如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45° （1）求证：△ABD∽△DCE （2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值 （3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长 A B C D E 1

证明：∵AB=AC，∠BAC=90° ∴∠B=∠C=45° 又∵∠ADE=45° ∴∠ADE=∠B ∵∠ADC是△ABD的外角 如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45° （1）求证：△ABD∽△DCE A B C D E 证明：∵AB=AC，∠BAC=90° ∴∠B=∠C=45° 1 又∵∠ADE=45° ）2 ∴∠ADE=∠B ∵∠ADC是△ABD的外角 ∴∠ADC=∠ADE+∠2=∠B+∠1 ∴∠1=∠2 ∴ △ABD∽△DCE

（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值 如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45° （2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值 A B C D E 解：∵△ABD∽△DCE 1 ∴ ∴ 当 时 ∴

分类讨论 AD=AE AE=DE DE=AD （3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长 如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45° （3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长 分类讨论 A B C D E 1 AD=AE AE=DE DE=AD

（4）请你探索在点P运动的过程中，△BPE能否成为等腰三角形？如果能，求出AP的长，如果不能，请说明理由。 拓展提高 5、如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD, ∠A=900,AB=2, AD=5,P是AD上一动点(不与A、D重合),ＰＥ⊥ＢＰ，ＰＥ交ＤＣ于点Ｅ． （１）△ABP与△DPE是否相似？请说明理由； C A B D P E x 5 5-x y （２）设ＡＰ＝x　ＤＥ=y，求y与x之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围； 2 （3）请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由； （4）请你探索在点P运动的过程中，△BPE能否成为等腰三角形？如果能，求出AP的长，如果不能，请说明理由。

拓展提高 B C A D E P H 6.如图，梯形ABCD中 AD∥BC ，∠ABC=90°，AD=9，BC=12，AB=10，在线段BC上任取一P，作射线PE⊥PD，与线段AB交于点E. （1）试确定CP=5时点E的位置； （2）若设CP=x，BE=y，试写出y关于自变量x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围. C E P A D 提示：体会这个图形的“模型” 作用，将会助你快速解题！

拓展提高 X=4 7.如图，已知抛物线与x轴交于A、B 两点，与y轴交于C点. （1）求此抛物线的解析式； （2）抛物线上有一点P，满足 ∠PBC=90°，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，问在y轴 上是否存在点E，使得以A、O、E 为顶点的三角形与⊿PBC相似？若 存在，求出点E的坐标；若不存在， 请说明理由. A B P C O x y X=4 3 2 6 Q

拓展提高 8、某生活小区的居民筹集资金1600元,计划在一块上、下底分别为10m，20m的梯形空地上种植花木（如下图） （1）他们在△AMD和△BMC地带种植太阳花，单价为8元/m2。当在△AMD地带 （图中阴影部分）中种满花后，共用去了160元。请计算种满△BMC地带所需的费用 是多少元。 （2）若其余地带要种的有玫瑰花和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m2、10元/m2，应选择哪种花木，刚好用完所筹集的资金？ （3）若梯形ABCD为等腰梯形，面积不变（如图2），请你设计一种花坛图案，即在梯形内找到一点P，使得△APB≌ △DPC，且△APD的面积与△BPC的面积相等，并说明你的理由。

作业 必做题： 如图，在平面直角坐标系中，A（0，1）、B（3，0）、C（-1，0）D（-2，0），连结AB、AC、AD. (2) 找出图中相似的一对三角形，并说明 相似的理由； (3) ∠ABD+∠ADB=_________度. 选做题： 2. 如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴y轴分别A（3，0）B（0， ）两点，点C为线段AB上的一动点，过点C作CD⊥x轴于点D. (1)求直线AB的解析式； (2)在第一象限内求作一点P,使得以P，O，B为顶点的三角形与⊿OBA相似,并求出所有符合条件的点P. A O D C B y x