§8．1 提公因式法

一、学习目标 1．会判断一个整式的变形是否因式分解． 2．会确定一个多项式的各项是否有公因式，公因式是怎样的式子． 3．会把多项式的各项化为公因式和另一因式的乘积，再把公因式提到括号外． 4．会提出系数为负数的公因式． 5．会用换元的思想分解公因式为多项式的整式． 另一方面，运用提公因式法分解因式来处理多项式，有助于观察掌握多项式的特征，是处理代数式问题常用的基本技能，必须熟练掌握．

二、重点难点 本节的重点：运用提公因式法分解因式． 本节的难点：多项式各项公因式的判定和 提公因式时换元法的运用． 中考中本节内容常体现在与其他方法综合 运用之中．

三.新课 例1 等式(a＋b)(a－b)＝a2－b2的不同方向的变形为什么会有不同的意义?它的不同方向的变形有什么不同的意义? 【答案】(1)等式一方面表示了两个式子的相等关系，另一方面又表示了在具有相等关系的条件下，一个式子可以从一种形态转变为另一种形态，所以变形的方向不同，变形的意义也不同； (2)等式(a＋b)(a－b)＝a2－b2由左向右的变形是说明a＋b与a－b的乘积为a2－b2，是多项式乘法的运算；由右向左的变形则是把多项式a2－b2转化为两个多项式a＋b与a－b的乘积的形式，是把一个多项式作因式分解．

三.新课 例1 等式(a＋b)(a－b)＝a2－b2的不同方向的变形为什么会有不同的意义?它的不同方向的变形有什么不同的意义? 【点评】这是意义截然不同的两种变形，在运用时切不可混淆．在这里要特别注意因式分解的意义． 　　因式分解的意义：把一个多项式转化为几个 整式乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解．

三.新课 例2 下列各恒等变形若是因式分解，打“√” ； 若不是，打“×”．并说明理由: (1) am＋bm－1＝m(a＋b)－1 ( ) × 【理由】等式的两边虽恒等，但右边不是几 个整式的积．

三.新课 例2 下列各恒等变形若是因式分解，打“√” ； 若不是，打“×”．并说明理由: (2)a2b＋a＝a2(b－ ) ( ) × 【理由】等式的两边虽恒等，但右边b＋ 不是整式．

三.新课 例2 下列各恒等变形若是因式分解，打“√” ； 若不是，打“×”．并说明理由: (3)x2＋3xy＋x＝x(x＋3y) ( ) × 【理由】等式的两边不恒等．

三.新课 例2 下列各恒等变形若是因式分解，打“√” ； 若不是，打“×”．并说明理由: (4)2(b＋c)(b－c)＋2＝2(b2－c2＋1) ( ) √ 【理由】等式的两边恒等，且符合因式分解 的意义．

三.新课 例2 下列各恒等变形若是因式分解，打“√” ； 若不是，打“×”．并说明理由: 小结: 判断一个多项式的变形是否因式分解， 要看以下三点： (1)是否恒等变形； (2)是否变形为几个整式的乘积的形式； (3)在一般情况下，分解得到的每一个整式 不能再继续分解．

三.新课 例3 12a3b，－18a2b4c，21a4b3是多项中的三个项， 确定它们的公因式，再分别确定乘积等于这些项的 另一个因式． 【分析】事实上，3，3a，3b，3a2，3ab，3a2b都 是多项式各项的公因式，但只有提出3a2b或－3a2b 时，括号内才不再有公因式可提，达到一次提净 的目的．我们把像这样的公因式(3a2b)叫做最高公 因式．

三.新课 例3 12a3b，－18a2b4c，21a4b3是多项中的三个项， 确定它们的公因式，再分别确定乘积等于这些项的 另一个因式． 【解】 (1)它们的公因式是3a2b(或是－3a2b)； (2)乘积等于这些项的另一个因式分别是 4a，－6b3c，7a2b2．

三.新课 小结 公因式是按以下两个步骤来确定的： (i)公因式的系数是多项式各项系数的绝对值的最大公约数，如上例中各项的系数的绝对值是12，｜－18｜，21的最大公约数是3，所以公因式的系数是3或－3； (ii)公因式的字母部分是由各项都含有的字母的幂组成的，如上例中公因式3a2b的字母部分是以a、b为底的幂组成的，由于c不是各项都包含的字母，所以因式中不包含以c为底的幂； (iii)在相同字母的幂中选取次数最低的，如上例中，a3，a2，a4中选取的是a2，b，b3，b4中选取的是b．

2xyz·3xy2＋2xyz·(－2y)＋2xyz·x2 三.新课 例4 把6x2y3z－4xy2z＋2x3yz分解因式． 【分析】首先确定各项的公因式为2xyz，于是多项式可以写为 2xyz·3xy2＋2xyz·(－2y)＋2xyz·x2 m·a ＋ m·b ＋ m·c 的形式，然后把公因式2xyz提到括号外面，得 2xyz (3xy2－2y＋x2)．   m ( a ＋ b ＋ c )

三.新课 例4 把6x2y3z－4xy2z＋2x3yz分解因式． 【解】6x2y3z－4xy2z＋2x3yz ＝2xyz·3xy2＋2xyz·(－2y)＋2xyz·x2 ＝2xyz(3xy2－2y＋x2)． 【点评】利用公式ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)作因式分解，首先要确定多项式各项的公因式，然后把多项式的各项写成公因式与另一个单项式的乘积的形式，最后把公因式像等号右边那样写成公因式与另一个多项式相乘的形式，就完成了这个分解步骤．

三.新课 例5 把下列各式分解因式： (1)－x3＋x2－x； 【分析】 这个多项式的第一项是系数为负数的项，一般地，应提出负系数的公因式．但应注意，这时留在括号内的每一项的符号都要改变，且最后一项“－x”提出时，应留有一项“＋1”，而不能错解为－x(x2－x)． 【解】 原式＝－(x3－x2＋x)＝－x(x2－x＋1)

三.新课 例5 把下列各式分解因式： (2) a2n－an＋1－an－1(n为大于等于2的整数) 【分析】应注意，当n为大于等于2的整数时，有n－1＜n＋1＜2n，所以各项的公因式是an－1，于是a2n＝an＋1＋n－1＝an＋1an－1，an＋1＝a(n－1)＋2＝an－1a2．含字母指数的幂的运算是十分重要的，常常是中考的考查的技能点之一． 【解】 原式＝an－1(an＋1－a2－1)．

三.新课 例6 把3x(a－2b)2－2y(a－2b)＋5(a－2b)分解因式． 【解】把a－2b看作一个字母，a－2b就是公因式．于是可以有 原式＝(a－2b)·3x(a－2b)＋(a－2b)·(－2y)＋(a＋2b)·5 m 　· 　a ＋ 　 m · b ＋ m · c ＝(a－2b)［3x(a－2b)－2y＋5］   m ( a ＋ b ＋ c ) ＝(a－2b)(3ax－6bx－2y＋5)．

三.新课 例6 把3x(a－2b)2－2y(a－2b)＋5(a－2b)分解因式． 【点评】“把一个多项式看作一个字母”，就是把一个复杂的对象看作一个简单的对象的想法，是一种解决问题的策略，这种思想叫做换元思想，它是数学中一类重要的思想．这里，把3x(a－2b)2－2y(a－2b)＋(a＋2b)看作关于m(设m=a － 2b)的多项式3xm2－2ym＋m，就是运用换元的思想化难为易．

(a－b)2＝(b－a)2，(b－a)3＝－(b－a)3， 三.新课 例7 把下列各式分解因式： (1) (a－b)2－(b－a)3 【分析】由于a－b＝－(b－a)，所以有 (a－b)2＝(b－a)2，(b－a)3＝－(b－a)3， 这样，可以使不同底的幂化为同底的幂，从而产生公因式 原式＝(a－b)2＋(a－b)3＝(a－b)2(1＋a－b) 或原式＝(b－a)2－(b－a)3 ＝(b－a)2［1－(b－a)］ ＝(b－a)2(1－b＋a)

三.新课 例7 把下列各式分解因式： (2) (3x－y)(3x＋y)－(x＋5y)(y－3x) 【分析】注意3x－y＝－(y－3x) 【解】原式＝(3x－y)(3x＋y)＋(x＋5y)(3x－y) ＝(3x－y)(3x＋y＋x＋5y) ＝(3x－y)(4x＋6y) ＝2(3x－y)(2x＋3y) 【点评】出对于因式分解的结果，一定要检查分解所得的多项式中的各项是否仍含有公因式．如本题中,因式(4x＋6y)中仍含有公因式“2”，还需要提出“2”才完成分解．

三.新课 例8 某车间加工三块矩形钢板，它们的长分别是 1.28米，1.64米，2.08米，宽都是0.25米，每平方米钢板价值440元，共计价值多少元? 【解】列出的算式是 (1.28×0.25＋1.64×0.25＋2.08×0.25)×440． 对这个式子作计算，得 原式＝(0.32＋0.41＋0.52)×440＝1.25×440＝550(元) 但是，如果运用提公因式法先分解，再计算，将是 原式＝0.25×440×(1.28＋1.64＋2.08) ＝110×5 ＝550(元) 【点评】提公因式的变形，对简化运算起着重要的作 用．所以，在今后的学习中，应注意学会及时运用．

练 习 (一)填空题： x＋2 x－1 x2＋x－2 乘法 1．(x＋2)(x－1)＝x2＋x－2是表示 与 相乘，右边表示相乘的结果 练　习 x＋2 x－1 x2＋x－2 乘法 1．(x＋2)(x－1)＝x2＋x－2是表示　　　 与　　　相乘，右边表示相乘的结果 是 　　　，这是 　　运算．

练 习 (一)填空题： 2. x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)则是把多项式化 为 与 的积的形 式，这是 ． x2＋x－2 x＋2 x－1 练　习 2. x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)则是把多项式化 　　　　　为　　　与　　　的积的形 式，这是　　　　　　． x2＋x－2 x＋2 x－1 因式分解

(一)填空题： 练　习 化成几个整式乘积的形式 因式分解 3．把一个多项式　　　　　　　　　　　　 叫做分解因式，也可以叫做　　　　　．

练 习 (二)下列各恒等变形中，是因式分解的记作A， 是乘法运算的记作B，把A或B填写在括号里： 练　习 1．(a＋3)(－3＋a)＝a2－9 (　 　) B 2． 4x2－9＝(2x＋3)(2x－3) (　　 ) A 3．4a2＋4a＋1＝(2a＋1)2 (　　 ) A 4．－2m(m2－3m＋1)＝－2m3＋6m2－2m ( 　 ) B

练 习 (三)选择题： 下列各恒等变形中属于因式分解的是 ( ) D (A)(x＋3)(x－3)＝x2－9 练　习 下列各恒等变形中属于因式分解的是 (　 　) (A)(x＋3)(x－3)＝x2－9 (B)x2－9＋x＝(x＋3)(x－3)＋x (C)3x2－6x＝3x(x＋2) (D)a2＋2ab＋b2－(a＋b)2 D

练 习 (四)确定下列各组单项式的公因式，并填入括号： 1．20a3b2，15a2b3，－25a4b4c； ( ) 练　习 (四)确定下列各组单项式的公因式，并填入括号： 1．20a3b2，15a2b3，－25a4b4c； ( 　 　) 2．－36x3y，81x2z3，－72xy2z． (　　) 5a2b2 9x

练 习 (五)因式分解： 1．6a2b3c4＋9a4b3c2 ＝3a2b3c2·2c2＋3a2b3c2·3a2 练　习 1．6a2b3c4＋9a4b3c2 ＝3a2b3c2·2c2＋3a2b3c2·3a2 ＝3a2b3c2(2c2＋3a2)

(五)因式分解： 练　习 2. 4yn＋1－2yn＋6yn－1 (n是自然数，n≠0，1) 2yn－1(2y2－y＋3)

(五)因式分解： 练　习 3. x2(a＋b)＋x(－a－b)＋a＋b (a＋b)(x2－x＋1)

(五)因式分解： 练　习 4. (x－y)3－(y－x)2－(y－x) (b－a)2(b2－ab＋a)

练 习 (六)利用因式分解使计算简便： 23.1×24－46.2×7 ＝23.1×24－23.1×14 ＝23.1×(24－14) 练　习 23.1×24－46.2×7 ＝23.1×24－23.1×14 ＝23.1×(24－14) ＝23.1×10 ＝231

练　习 (七)解答题： 雷鸣同学购买价格为22.80元、14.40元和12.80元的三种书各38本，总价格有几种算法?各种算法有什么关系？哪一种比较简便? 【解法一】22.80×38＋14.40×38＋12.80×38 ＝866.40＋547.20＋486.40 ＝1 900(元)． 【解法二】22.80×38＋14．40×38＋12.80×38 ＝38×(22.80＋14.40＋12.80) ＝38×50 显然，第二种解法采用因式分解，简化了计算过程