第十章 測量方法及應用 10-1 間接量測 10-2 應用於面積與體積之計算 10-3 求積儀之原理及操作 10-4 直線封閉之區域 第十章　測量方法及應用　 10-1　間接量測 10-2　應用於面積與體積之計算 10-3　求積儀之原理及操作 10-4　直線封閉之區域 10-5　不規則圖形 10-6　體積：土方計算 10-7 等高線及地形測量

測量在施測時難免會碰上困難，如圖9-8及9-9所示， 量測視線受阻或測點無法擺置儀器等問題， 這時便需要利用到平面幾何關係來解決問題。

幾何關係中最基本的便是正弦定律及餘弦定律，

之座標算出，最常被使用的就是前方交會法 。 圖10-4(p.196) A、B兩點座標及其方位角已知，要將P點定位， 10-1 間接量測 當儀器無法在測點擺置，可利用幾何關係將無法擺設儀器的測點 之座標算出，最常被使用的就是前方交會法 。 圖10-4(p.196) A、B兩點座標及其方位角已知，要將P點定位， 由(10-4)及(10-5)可知 圖10-4　前方交會法

一種由三個已知點利用幾何關係，來定出一個未知點的位置， 這種方法稱為後方交會法或三點法（three-point resection）。 圖10-5(p.198) 已知A、B及C三點的座標， 由已知條件便可算出兩個邊長a及c，以及在B點的角度。 圖10-5　後方交會法

例題10-3（P.198） 當使用全站儀施測時，後方交會法在操作及計算上是很便利。 不過在使用後方交會法時， 要注意當ABCP四點共圓時， 亦即四個點都位在同一個圓周上， 後方交會法將無法定出 P 點位置， 因為會有無窮多的解。

10-2 應用於面積與體積之計算 面積之計算係包含在體積的計算之內， 並在下列項目下進行處理： (1) 機械的求積法 ─ 求積儀 (2) 直線封閉之區域 (3) 不規則圖形

(2)極臂，其一端以極為支點，而另一端為求積單位。 (3)描臂 ( 長度可分為固定式或可變式 )，將其一端附著於 求積儀基本組成如圖10-6： (1)「極」，其以細針固定於紙上一位置。 (2)極臂，其一端以極為支點，而另一端為求積單位。 (3)描臂 ( 長度可分為固定式或可變式 )，將其一端附著於 求積單位並於另一端加設指針或光學指標。 圖10-6　固定臂式求積儀

10-3 求積儀之原理及操作 若極適當的放置於待測圖相關的地方，而指針沿圖形外緣線 移動一圈，則求積盤會顯示一與圖形面積成比例之數量， 在固定臂儀器，測微鼓刻劃成可直接讀取面積讀數， 惟於平面圖上進行時，須再加上比例改正係數。 例題 10-4 （P. 201） 而當描臂為可變的，桿刻劃成設置於特殊之刻劃位置， 並可於各特殊比例之平面圖上直接讀取面積之讀數。 求積儀可以二種方式使用 ( 圖10-7）

以極設於待測圖形外側之方式量測任何面積之步驟為 ： (1)將極放置於面積之外側適當位置，確定指針可接觸到 外緣線的任一位置。 (2)將指針置於外緣線上一已知點位並讀游標讀數。 (3)順時移動指針繞外緣線一周，回到已知點並讀游標讀數。 (4)將二讀數之差值乘上比例係數即可得面積之值。 (5)重覆三次，取其平均即為所求。 圖10-8 舉 Famaya's 數值求積儀 Planix 7 為例 其加入求積迴路的工業技術。其有一含指標鏡及指標點之描臂， 但極及極臂則已除去，可注意到現改成滾軸，在輪軸上附上接觸環。

描臂設於待測面積的大概中心處，並於鎳鎘電池供應電力後， 打開開關，可選擇量測單位，如 m2，而比例尺則自鍵盤上 相對鍵上輸入，如上述般選定一參考之起始點或周界上的記號 並將指標置於其上。按下‘ 開始 ’鍵，顯示零，而指標沿周界 以順時方向移動並回到參考點，顯示面積之數字， 儀器亦可用於雙重比例上，換言之，不同的垂直及水平比例， 亦有不同的其他便利設計。 最近更新的版本是 Tamaya Planex 5000，稱為‘ 數值面積路線尺 ’ ，其外觀酷似 Planex 7，但鍵盤是固定在滾軸上方。 擁有二個旋轉的譯電器，可以計算座標模、面積及線的長度

在導線測量的情況，係以座標繪得的，方便自其座標計算面積。 閉合導線 ABCDEA ( 圖 10-10 )，其測站座標為 EA , NA , EB , NB ，係相對於其原點 O 之二軸而定。 圖10-10

10-5　不規則圖形 　1. 取捨線 　　 全面積細分成三角形，或梯形，不規則的邊界以直線取代， 由直線所切除的小面積。可由測量外側包括進來的 其他小面積所平衡 ( 見圖10-12 )。

2.計算方形 　以一方格紙覆於圖上，方格的數量及圖形包括的 方格部份均列入考慮並予以計算已知圖的比例及覆蓋方格紙的大小，則可計算得整個圖形面積

圖10-13

10-6　體積：土方計算 計算土方有三種一般使用的方法： (1) 依斷面，(2) 依等高線，(3) 依點高度。 (1) 從斷面得體積 斷面係取與適當的線成直角的斷面，而此適當的線通常為穿過 土方工程縱向的線，斷面面積可藉已知之一般方法求得。 例如，以求積儀，分割成三角形，數方格方式等等。 利用公式來簡化斷面面積之計算 下列各形斷面均有公式可以處理 (a) 上下水平之斷面 (b) 含斜邊之斷面 (c) 部份挖方部份填方之斷面 (d) 高程變化的斷面。

上下水平之斷面 ( 圖10-15) 中心線之深 ( 或於填方中央高度 ) = h 單位 施工寬 = b 單位 邊寬 = w 邊坡必須自原高程下降 ( 或上升 ) h 單位到施工的高程。 因為邊坡為每單位垂直上升對應 m 個水平單位， 則 h 單位對應 mh 的水平單位。

含斜邊之斷面 ( 圖 10-16) P.209

部份挖方部份填方之斷面 ( 圖10-17 ) P.211 例題10-9 P.212

當在中心線處 斷面由填方 改成挖方時， 則以 - h 取代 h， 可得修正公式為 例題10-9 P.212

（4）高程變化的斷面 斷面之型式如圖 10-18，有時亦稱為三高程斷面，因其在各斷面 需要三個高程值來計算地面坡度、側寬公式和 (二) 中所推導的相同

於圖 10-18 之斷面需先測得在各斷面上各預定點之高程， 然後再將面積及體積予以列成表並計算。 在確定了各種斷面面積後，土方體積可由下列方法計算得： (a)平均面積，(b) 端面積，(c) 稜柱體公式。 (a) 以平均面積計算體積 　　於此方法中體積藉由平均斷面面積及距離之乘蹟來決定。 　　若面積為 A1 , A2 , A3 ，而介於二最遠端間之距離為 L， 則 此方法並非非常精確的一種方法。

(b) 以端面積計算體積 　　若 A1 及 A2 為二相距 D 斷面之面積，則介於二者間之體積 V 為 只要介於 A1 及 A2 間中央斷面之面積為二者之平均，故可假設在相鄰斷面間並沒有很大的變動此式為正確。 在地表相鄰斷面間經常存在不規則的外貌，而膨脹和沈陷通常伴隨著土方工程，故使用端面積公式來作一般之估計仍是相當合理 例題10-10(p.216) (c) 以稜柱體公式計算體積 （略）

在前面利用斷面計算體積，其中係假設斷面為互相平行， 共並和中央直線垂直。當中心線為曲線，則斷面將不再互相平行， (5) 彎曲效應的體積計算 　　在前面利用斷面計算體積，其中係假設斷面為互相平行， 共並和中央直線垂直。當中心線為曲線，則斷面將不再互相平行， 故需以 Pappus 定理推導其曲率之改正數。 　　Pappus 定理說明以一面積繞一軸掃過的體積為面積及面積形心 的軌跡長度之乘積， 其中面積必須完全在軸的一側並處於同一平面內。

二、 以等高線計算體積 　　由於對大面積進行等高線量測會花費相當高的費用， 所以此方法有其限制，但若可取得精確的等高線， 例如在水庫基地，可以很方便的使用。 　　為精確起見，此值愈小愈好，最好是 1 或 2 公尺。 由單獨等高線圍起來的面積可籍求積儀取得， 在體積之計算上，由二條相鄰等高線圍起來的區或， 可用端面積 (p.126) 公式計算得 （其中 D為垂直間隔） 以 70 m 之等高線所圍的 區域，注意等高線通過壩 的上游面完全閉合的。

三、從點水準計算體積 　此種體積決定方法在決定儲槽，基地，借土坑等等之 大面積開挖體積方面上非常有用，以及在地面水準工作之量測 如遊樂場及建築基地，其亦可應用於棄土堆之體積。

與先前之矩形方式計算所得 3446平方米相比較， 後者較符合現況。

依據高程（第五章）、距離（第六章）及角度（第七章）之測量方法， 地形圖之繪製 依據高程（第五章）、距離（第六章）及角度（第七章）之測量方法， 我們可以將測點之空間位置之座標（X, Y, Z）確定。然後將所有測點繪至圖紙上， 再依各測點之高程畫出相同高程之線條（等高線）。 畫等高線有直接測法（第五章，p.86），以及間接法。 間接法有由測量軟體（如880P-Survey）直接畫出， 也可以手繪方式以及三角法（TIN）畫得。 TIN 手繪 高立測量學 林意楨

手繪及三角法均由內差原則，決定固定之高程值。方法如下： 若A點高程為452 m，B點為536 m ，以工程用直尺的152刻劃處對好A點， 順著直尺移至200刻劃處，則垂直之虛線與AB線段之交點P即高程為500 m 之點。 高立測量學 林意楨

等高線一般分成主曲線（primary contour line）、計曲線（index contour line）， 等高線之種類   等高線一般分成主曲線（primary contour line）、計曲線（index contour line）， 有時為了清楚呈現地形之複雜變化，一般會加繪間曲線（intermediate contour line） 及助曲線（supplementary contour line）。 這四種等高線在圖形上，各以不同之線條表示。茲分別敘述如下： 主曲線為地形圖之主要等高線，表示地貌之基本曲線，一般以0.2 mm實線條繪製， 主曲線又稱首曲線。 計曲線則是為了方便讀計主曲線高程，將每逢五倍數的主曲線畫成較粗的曲線， 並列註該等高線之高程者，這種曲線稱為計曲線。 間曲線乃是在地形變化較多的地方，在主曲線間加測二分之一等高距之等高線， 該等高線係以短虛線表示，這種短虛線成為間曲線。 助曲線乃是為了能充分表現當地地形，在主曲線及間曲線間加測主曲線的四分之一等高距 之等高線，該等高線則以點或較短之虛線表示，這種等高線稱為助曲線。 高立測量學 林意楨

等高線的呈現方式與現況，由下圖10-32可以清楚得知。 高立測量學 林意楨

一般地形圖除了等高線之外，有必須將地物（圖例，Legend）、比例尺標示清楚。 三角點 草地 水準點 林地 比例尺 圖10-33 高立測量學 林意楨

1. 等高線在完整之地形圖上必須閉合，不可以是一條突然中斷之線條。 2. 等高線必與地形之坡度垂直。 等高線之特性：   1. 等高線在完整之地形圖上必須閉合，不可以是一條突然中斷之線條。 2. 等高線必與地形之坡度垂直。 3. 相鄰之等高線其間之坡度視為線性，因此前測手必須注意坡度之轉折點。 4. 相鄰等高線之間距大小即表示坡度之大小，間距愈大坡度則愈緩，間距愈窄表示 坡度越陡，若間距相同且平行之等高線，則表示均勻之坡度。 5. 地形圖之等高線若不規則，顯示當地地形起伏變化很大，平順之等高線表示 地形平緩。 6. 近似同心圓之等高線（如圖10-32）顯示山峰，但若中心點之高程小於周遭之高程， 則表示係屬窪（谷）地。 7. 不同高程之等高線絕對不會彼此相交，否則相交點有兩個不同之高程。 當地形陡峭或是垂直高牆時，應是許多等高線相互重疊而非相交， 因此這些特殊地形一般以特殊圖示稱為圖例（legend）來表示（如圖10-33）， 以避免混淆。 8. 不論這兩條等高線之高程是否相同，等高線不可以分叉成兩條等高線。 9. 當某等高線高程較相鄰之等高線的高程小時（呈現V或U型），尖端處表示該區 屬溪谷地，反之，若較相鄰之等高線高程為高時（呈現V或U型）， 則該區係屬山脊地。 高立測量學 林意楨

不同之需求有不同之比例尺規定，而且比例尺與等高距之間，一般須要彼此配合， 通常有下列之對比關係，亦即當比例尺是1:500時，其等高距應為0.5 m。   比例尺 等高距（公尺，m） 1:500 0.5 1:1,000 1.0 1:2,000 2.0 1:5,000 5.0 1:10,000 10.0 在地圖及地形圖中，除需具有圖例資料外，尚需有比例尺（圖10-34）。 圖3-34 比例尺 高立測量學 林意楨

當測量水深時，同樣可畫出等深線，一般量測水深由測深儀施測，如下圖10-35a&b。 高立測量學 林意楨

水深之施測方法可由圖10-36來說明： 高立測量學 林意楨

當測量水深時，一般以測深儀（圖10-35a）施測， 圖10-35b 則是相對之水深資訊。 若是以後方交會法施測，如圖10-36， 首先在陸地上選定（或測定）八個已知點（A至H）， 測量船沿著既定之測線（48至52）， 在船上之測量人員以六分儀選擇三個陸上之已知點， 量出兩個夾角（如∠H-50-G及∠G-50-E），即可定出點50的位置。 如果利用前方交會法，則需選定兩個陸上之已知點， 在其上設置全站儀或平板儀 （如G及E），量測得∠50-G-E及∠50-E-G即可測得點50的位置。 高立測量學 林意楨