数学建模与创新 新疆大学数学与系统科学学院 吴黎军

全国大学生数学建模竞赛 1999年开始设立大专组的竞赛 全国高校规模最大的课外科技活动 1992年由中国工业与应用数学学会(CSIAM)组织第一次竞赛 1994年起由教育部高教司和CSIAM共同举办，每年一次(9月) 1999年开始设立大专组的竞赛 全国高校规模最大的课外科技活动

我国CUMCM竞赛规模

数学建模竞赛内容与形式 内容 形式 标准 宗旨 赛题：工程、管理中经过简化的实际问题 答卷：一篇包含问题分析、模型假设、建立、求解(通常用计算机)、结果分析和检验等的论文 形式 3名大学生组队，在3天内完成的通讯比赛 可使用任何“死”材料(图书/互联网/软件等), 但不得与队外任何人讨论（包括上网讨论） 假设的合理性，建模的创造性，结果的正确性，表述的清晰性。 标准 宗旨 创新意识 团队精神 重在参与 公平竞争

数学建模竞赛CUMCM近年题目 制动器试验台的控制方法分析 A题 B题 C题 D题 会议筹备 SARS的传播 露天矿生产的车辆安排 抢渡长江 年份 A题 B题 C题 D题 2003 SARS的传播 露天矿生产的车辆安排 抢渡长江 2004 奥运会临时超市网点设计 电力市场的输电阻塞管理 饮酒驾车 公务员招聘 2005 长江水质的评价和预测 DVD在线租赁 雨量预报方法的评价 2006 出版社的资源配置 艾滋病疗法的评价和疗效的预测 易拉罐形状和尺寸的最优设计 煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制 2007 中国人口增长预测 乘公交，看奥运 手机“套餐”优惠几何 体能测试时间安排 2008 数码相机定位 高等教育收费标准探讨 地面搜索 NBA赛程的分析与评价 2009 制动器试验台的控制方法分析 眼科病床的合理安排 卫星和飞船的跟踪测控 会议筹备

竞赛目的 提高学生综合素质   数学建模竞赛的题目由工程技术、经济管理、社会生活等领域中的实际问题简化加工而成，没有事先设定的标准答案，但留有充分余地供参赛者发挥其聪明才智和创造精神。 从下面一些题目的标题可以看出其实用性和挑战性：“DNA 序列分类”、“血管的三维重建”、“公交车调度”、“SARS 的传播”、“奥运会临时超市网点设计”、“长江水质的评价和预测”、“中国人口预测” … 竞赛以通讯形式进行，三名大学生组成一队，在三天时间内可以自由地收集资料、调查研究，使用计算机、软件和互联网，但不得与队外任何人包括指导教师讨论。要求每个队完成一篇包括模型的假设、建立和求解，计算方法的设计和计算机实现，结果的分析和检验，模型的改进等方面的论文。 竞赛评奖以假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性和文字表述的清晰程度为主要标准。可以看出，这项竞赛从内容到形式与传统的数学竞赛不同，既丰富、活跃了广大同学的课外生活，也为优秀学生脱颖而出创造了条件。

推动高校教育改革   竞赛虽然发展得如此迅速，但是参加者毕竟还是很少一部分学生，要使它具有强大的生命力，必须与日常的教学活动和教育改革相结合。 十几年来在竞赛的推动下许多高校相继开设了数学建模课程以及与此密切相关的数学实验课程，一些教师正在进行将数学建模的思想和方法融入数学主干课程的研究和试验。 数学教育本质上是一种素质教育。通过数学的训练，可以使学生树立明确的数量观念，提高逻辑思维能力，有助于培养认真细致、一丝不苟的作风，形成精益求精的风格，提高运用数学知识处理现实世界中各种复杂问题的意识、信念和能力，调动学生的探索精神和创造力。 竞赛目的

创新意识 团队精神 重在参与 公平竞争 范捷 西北工业大学电子信息学院 创新意识 团队精神 重在参与 公平竞争 让青春燃烧出最灿烂的火焰 范捷 西北工业大学电子信息学院 …我们已读了十几年书，但都是纸上谈兵，只会做题、考试，而数模竞赛是我们第一次去解决实际问题。从书中到书外，从理论到实践，这是一次质的飞跃，对我而言也是一次转折。 是数模竞赛让我真实地体会到：我所学习的知识是有用的，可以解决实际问题；我将来能用双手去创造世界，我有存在的价值！以前，这些是别人告诉我的，而这一次，我在竞赛 过程中有了切身的体会，这是一种完全不同的感受。 参加数模竞赛可以塑造性格，锻炼我们多方面的能力 合作——让我们手拉手，一起走。 每前进一步都不容易，但我们不是孤军奋战，而是共同作战。… 大家彻夜无眠，为了数模的梦而奋斗！我们细心认真的态度决定了最终的成功。 数模竞赛还促进了同学间的相互学习，培养了大家的创新能力，它如同以后工作 生活的一次模拟，对于我们将来走上工作岗位，是一次重要的铺垫。对于大学教 育，对于青年一代的培养，数模竞赛有着深远的意义…。

我校参加数学建模的情况 我校1994年派教师参加全国第一届数模教练员培训班，1996年第一次派队参赛并在数学系开设数学建模课程《数学模型》（必修）。 2003年在全校范围内开设了数学建模公共选修课。 2001年在数学学院开设了《数学软件》 （必），2003年开设了《数学软件Ⅱ》 2003年以前每年参赛队数不超过10队，2003年有10队参赛，到2008、09年参赛队伍达到25支。

获奖情况 2005-2008全国一等奖每年1项，共3项。 2001-2008年全国二等奖10项 2001-2007年自治区一等奖21项 2006年研究生数学建模竞赛全国二等奖1项 2007年研究生数学建模竞赛全国二等奖1项、 三等奖1项 2008年研究生数学建模竞赛全国二等奖1项、

数学与文学—红楼梦作者研究 统计是一种通用方法论科学，广泛运用于许多科学领域。现在几乎很难找到不应用统计学的领域。在文学领域统计也得到一些应用。 1980年6月美国威斯康新大学教授陈炳藻在首届《红楼梦》国际研讨会上宣读了他的论文---从词汇上统计论《红楼梦》作者问题。引起国际红学界的重视。陈将红楼梦前80回和后40回的用字进行了统计。他将词分5类：名词、动词、形容词、副词和虚词。从统计角度研究前后用字的相关程度，发现相关度达到78.57%。于是他得出了红楼梦就是曹雪芹一人所著的结论！

虚词 呀 也 哦 啊 … 呢 吗 唔 呼 频数 ni 12 5 3 27 49 70 8 6 虚词 呀 也 哦 啊 … 呢 吗 唔 呼 统计出莎士比亚作品虚词频数 虚词 呀 也 哦 啊 … 呢 吗 唔 呼 频数 ni 12 5 3 27 49 70 8 6 统计出被怀疑的作品相同虚词的频数 虚词 呀 也 哦 啊 … 呢 吗 唔 呼 频数 qi 10 7 2 29 49 78 12 4 如果出自同一人之手则 值应当较小

复旦大学李贤平教授在1987年带领学生重新研究红楼梦，他们把红楼梦分成120个样本（每一回算一个样本）然后统计与情节无关的47个虚词（之、其、呀、咧…）统计出每一回虚词出现的频率。用多元统计中的聚类方法进行聚类，果然将前80回聚成一类，后40回聚成另一类。形象证实了红楼梦不是出自一人之手笔。他们又用曹雪芹另外一部作品为母本，对照前80回的用词，证明了前80回是曹雪芹所著。同样证明了后40回不是高鹗一人所著的传统认识。 这个例子证明了文理兼通出新意的简单道理。当然运用数学方法时李的做法更合理一些。

似乎该用的方法都用尽了？2010年又有人从句子的长度出发，用两种方法进行了分析，得出与李相同的结论

投资优化模型 投资优化是典型的二次规划问题：我们来看一个小例题 假定有1百万元，可以投资到三支股票上，随机变量Ri表示投资到股票i上的1元钱每年带来的收益。通过对历史资料的分析， 我们得到各只股票的平均收益值为： E(R1)=0.09; E(R2)=0.07; E(R3)=0.06 年度方差为：Var(R1)=0.2; Var(R2)=0.2 ;Var(R3)=0.15; 协方差为 Cov(R1,R2)=0.03; Cov(R1,R3)=0.04; Cov(R3,R2)=0.05

设xi是投资在股票i上的金额（百万元）。 每年收益：X1R1+x2R2+x3R3 期望收益： X1E(R1)+X2E(R2）+x3E（R3） 如果希望收益大于７.５％，则有约束： ０.０９X1+０.０７x2+０.０６x3≥0.075 对于投资的约束为：X1+x2+x3=1 目标是：收益的方差最小。即： Min Z= Var(X1R1+x2R2+x3R3)=

Lingo程序 Model： Min =0.2*x1^2+0.07*x2^2+0.15*x3^2+0.06*x1*x2+0.08*x1*x3+0.10*x2*x3； St 0.09*x1+0.07*x2+0.06*x3>=0.075； x1+x2+x3=1； x1 ≥0； x2 ≥0； x3 ≥0； END

Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.6293210E-01 -1.000000 Local optimal solution found at iteration: 30 Objective value: 0.6293210E-01 Variable Value Reduced Cost X1 0.2654321 0.000000 X2 0.7037036 0.000000 X3 0.3086424E-01 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.6293210E-01 -1.000000 2 0.000000 -1.666667 3 0.000000 -0.8641726E-03 4 0.2654321 0.000000 5 0.7037036 0.000000 6 0.3086424E-01 0.000000

文件备份 在出发去度假之前，你希望将你的重要文件备份到软盘上。每个软盘的容量是1.44MB。你需要备份的16个文件的大小是： 46KB, 55KB, 62KB, 87KB, 108KB, 114KB, 137KB, 164KB, 253KB, 364KB, 372KB, 388KB, 406KB, 432KB, 461KB, 851KB 假定你无法使用压缩软件，但软盘数量足够，那么应当如何将这些文件分配到每一个软盘上才能使使用的软盘数量最少?

令F为需要备份的文件集合，D={1，2，3，…，N}为软盘集合。C为软盘容量，Sf为第f个文件的大小，单位KB。 文件备份 令F为需要备份的文件集合，D={1，2，3，…，N}为软盘集合。C为软盘容量，Sf为第f个文件的大小，单位KB。 定义决策变量Xfd = 再定义变量 目标为：

约束条件 a)每个文件只能保存到一个软盘上 b)软盘d容量有限 定义决策变量Xfd =

大家可以想想另外的模型！ 文件在软盘上的分配方式 软盘 文件大小 使用空间 模型求解 文件在软盘上的分配方式 软盘 文件大小 使用空间 1 46 87 137 164 253 364 388 1.439 2 55 62 108 372 408 432 1.435 3 114 461 851 1.426 大家可以想想另外的模型！

有一家钢铁公司收到一份500吨造船用刚的订单。这些造船用钢有如下品质要求： 合金制造 有一家钢铁公司收到一份500吨造船用刚的订单。这些造船用钢有如下品质要求： 化学元素 最低含量 % 最高含量% 碳C 2 3 铜Cu 0.4 0.6 锰Mn 1.2 1.65 此公司存储有7种不同的原料，都可以用于制造这种刚。下表列出这些原料的品质、库存及价格 原材料 c% Cu% Mn% 可用库存（吨） 单价 元/吨 铁合金1 2.5 0 1.3 400 200 铁合金2 3 0 0.8 300 250 铁合金3 0 0.3 0 600 150 铜合金1 0 90 0 500 220 铜合金2 0 96 4 200 240 铝合金1 0 0.4 1.2 300 100 铝合金2 0 0.6 0 250 165 我们的目标是求出 各种原料 各取多少 才能使生 产成本最低？

模型的数学表达 我们用R表示7种原材料集合：R={1,2,3,4,5,6,7} C表示与材料品质相关的各种成分的集合 Pij 表示原材料 i中化学元素j 的含量（已知） C i 表示原材料 i 的单价（已知） Pj 表示成品中化学元素j的最低含量 P‘j 表示成品中化学元素j的最高含量 x i 表示原材料i的用量（决策变量） 目标函数是最低生产成本 a i 表示第i种原材料的库存量（已知） 约束条件 产量要求 品质要求 库存要求 非负要求

模型求解 使用优化软件lindo6.0可得结果： X1=400;(铁合金1) x2=0; (铁合金2) x3=39.776; (铁合金3) 碳、铜、锰含量分别是2%；0.6%和1.2%达到要求 总生产成本：98121.6元

3.银行储蓄所雇员人数 某银行储蓄所每天的工作时间是上午9:00点到下午5:00点,根据经验,每天不同时间段所需雇员数量如下表所示: 9~10 10~11 11~12 12~1 1~2 2~3 3~4 4~5 雇员数量 4 3 6 5 8 储蓄所可以雇佣全时工和半全时工,全时雇员每天从9:00~5:00工作,每天报酬100元,但中午12:00~2:00之间必须安排1小时时间的午餐.储蓄所每天可以雇佣不超过3名的半时服务员,每个半时服务员必须连续工作4小时,报酬每天40元.问该储蓄所如何雇佣全时工和半全时工服务员?如果不能雇佣半全时工服务员,每天增加多少经费? 如果雇佣半时工服务员的人数没有限制,每天可减少多少经费? 模型建立 设储蓄所每天雇佣的全时服务员中以12:00~1:00为午餐时间的有x1名,以1:00~2:00为午餐时间的有x2名; 半时服务员中从9:00,10:00,11:00,12:00,1:00开始工作的分别为y1, y2, y3, y4, y5名.列出模型

全时服务员每天报酬100元，半时服务员每天报酬40元。 目标 按午餐时间分 全时服务员被分成两部分 半时服务员被分成5部分 全时服务员每天报酬100元，半时服务员每天报酬40元。 储蓄所每天费用为： Min 100x1+100x2+40y1+40y2+40y3+40y4+40y5

整数规划 时间段 雇员数量 约束条件 各时段 工 作 人 数 限 制 半时服务员限制 非负限制 9~10 10~11 11~12 12~1 1~2 2~3 3~4 4~5 雇员数量 4 3 6 5 8 约束条件 各时段 工 作 人 数 限 制 半时服务员限制 非负限制 整数规划 X1=3,X2=4, Y1=0,Y2=0,Y3=2,Y4=0,Y5=1 最小费用820元

世博会志愿者排班问题 世博会雇佣志愿者作为接待处的工作人员，接待时间是从早上8：00点到晚上10：00点。每名志愿者连续工作3小时，只有在晚上8：00开始工作的人员除外，他们只工作2小时。对于志愿者的最小需求可以近似成2小时间隔的阶梯函数，其函数在早上8：00开始，相应的需求人数分别为4、6、8、6、4、6、8（单位：10人）因为大多数志愿者是退休人员，他们愿意在一天的任何时间提供服务。所需数目必须保持尽可能低。为志愿者的开始时间确定最优时间表。 在问题（1）中，考虑午饭和晚饭，假定没有志愿者在中午12：00点和晚上6：00点开始上班，确定最优时间表 设志愿者中从8：00，9:00,10:00,11:00,12:00,1:00，2：00，3：00，4：00，5：00，6：00，7：00，8:00,开始工作的分别为y1, y2, y3, y4, …,y13名.列出模型

每人工作3小时 目标 约束条件 时间段 雇员数量 y1>4 各时段 Y1+y2>4 工 Y1+Y2+y3>6 作 人 8~9 9~10 10~11 11~12 12~1 1~2 2~3 3~4 4~5 5~6 6~7 7~8 8~10 雇员数量 4 6 8 y1>4 各时段 工 作 人 数 限 制 Y1+y2>4 Y1+Y2+y3>6 Y2+y3+y4>6 每人工作3小时 y3+y4+y5>8 y4+y5+y6>8 y5+y6+y7>6 y6+y7+y8>6 y7+y8+y9>4 y8+y9+y10>4 y9+y10+y11>6 y10+y11+y12>6 y11+y12+y13>8 y12+y13>8 y13>8 目标 y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8+y9+y10+y11+y12+y13

1) 32.00000 VARIABLE VALUE REDUCED COST Y1 4.000000 0.000000 Y2 0.000000 0.000000 Y3 2.000000 0.000000 Y4 4.000000 0.000000 Y5 2.000000 0.000000 Y6 2.000000 0.000000 Y7 2.000000 0.000000 Y8 2.000000 0.000000 Y9 0.000000 1.000000 Y10 2.000000 0.000000 Y11 4.000000 0.000000 Y12 0.000000 0.000000 Y13 8.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.000000 3) 0.000000 -1.000000 4) 0.000000 0.000000 5) 0.000000 0.000000 6) 0.000000 -1.000000 7) 0.000000 0.000000 8) 0.000000 0.000000 9) 0.000000 -1.000000 10) 0.000000 0.000000 11) 0.000000 0.000000 12) 0.000000 0.000000 13) 0.000000 -1.000000 14) 4.000000 0.000000 15) 0.000000 0.000000 16) 0.000000 -1.000000 NO. ITERATIONS= 13 y1=4,y3=2, Y4=4,Y5=2,Y6=2,Y7=2,Y8=2,y10=2, y11=4,y13=8 最小人员 32

到达日期 病种1 病种2 1 5 2 3 4 6 2009年全国大学生数学建模B题：眼科医院病床安排 两种病、住院安排 病种 1 2 我们将问题简化：医院有10张病床，有两种病人。第一组数据统计出了平均住院天数 两种病、住院安排 病种 1 2 平均住院天数 3 到达日期 病种1 病种2 1 5 2 3 4 6 第二组数据提供了6天每天 到达病人情况

Min u1+u2+u3+u4+u5+u6+v1+v2+v3+v4+v5+v6 设xi为第i天安排的第一种病人人数， yi为第i天安排的第2种病人人数。 第i天末未能安排的第1、2种病人数为：ui,vi Min u1+u2+u3+u4+u5+u6+v1+v2+v3+v4+v5+v6 约束条件st 平衡限制 病床限制 x1+u1=5 y1+v1=2 x1+x2+u2=7 y1+y2+v2=3 x1+x2+x3+u3=10 y1+y2+y3+v3=5 x1+x2+x3+x4+u4=14 y1+y2+y3+y4+v4=6 x1+ x2+x3+x4+x5+u5=16 y1+y2+y3+y4+y5+v5=7 x1+ x2+x3+x4+x5+x6+u6=17 y1+y2+y3+y4+y5+y6+v6=9 x1+y1<10 x1+y1+x2+y2<10 y1+X2+y2+x3+y3<10 y2+x3+y3+x4+y4<10 y3+x4+y4+x5+y5<10 y4+x5+y5+x6+y6<10

日期 病种1 病种2 病种1安排 病种2安排 1剩余 2剩余 剩余病床数 1 5 2 3 4 6

谢谢大家！