工程光学 Engineering Optics 郭 峰 青岛理工大学  机械工程学院

第六章 光路计算及像差理论 §6.1 光路计算 §6.2 轴上点的球差 §6.3 正弦差和慧差 §6.4 场曲和像散 §6.5 畸变 §6.6 色差

§6.2 轴上点的球差 §6.2.1球差的定义与表示方法

§6.2 轴上点的球差(spherical aberration ) §7.2.1球差的定义与表示方法 轴上点发出的同心光束经光学系统后，不再是同心光束，不同入射高度h(U) 的光线交光轴于不同位置，相对近轴像点(理想像点)有不向程度的偏离，这种偏离称为轴向球差，简称球差.用 表示

出于球差的存在，在高斯像面上的像点已不是一个点，而是一个圆形的弥散斑，弥散斑的半径用T ’表示，称作垂轴球差，它与轴向球差的关系是 §6.2.1球差的定义与表示方法 出于球差的存在，在高斯像面上的像点已不是一个点，而是一个圆形的弥散斑，弥散斑的半径用T ’表示，称作垂轴球差，它与轴向球差的关系是 球差是入射高度h1或孔径角U1的函数，球差随h1或U1变化的规律可以用幂级数表示。注意是偶函数-表示对称性

§6.2.1球差的定义与表示方法 展开式中第一项称为初级球差，第二项为二级球差，第三项为三级球差。二级以上球差称为高级球差。大部分光学系统二级以上的球差很小，可以忽略，故球差可以表示为： 由此可知，初级球差与孔径的平方成正比，二级球差与孔径的4次方成正比。当孔径较小时，主要存在初级球差；孔径较大时，高级球差增大。

§6.2.2 球差的校正 如果把单正透镜和负透镜分别看作由无数个不同楔角的光楔组成，则由光楔的偏向角公式 =(n—1) 可知，对于单正透镜，边缘光线的偏向角比靠近光轴光线的偏向角大，换句话说，边缘光线的像方截距L’ 比近轴光线的像方截距 l ’ 小。根据球差的定义，单正透镜产生负球差。同理, 对于单负透镜，边缘光线的偏向角比近轴光线的偏向角大，单负透镜产生正球差。因此， 对于共轴球面系统，单透镜本身不能校正球差，正、负透镜组合 则有可能校正球差.

§6.2.2 球差的校正 由于凸透镜和凹透镜的球差有相反的符号 , 所以将它们适当组合起来 , 便可以减小球 差。 Graded Index

透镜的轴向球差与透镜的折射率n和两个球面半径r1 ,r2 有关 , 透镜的焦距 f 也 是 n, r1 ,r2 的函数 , 对给定的 n, 同样焦距的透镜可以有不同的曲率比 rl/r2, 适当选择此比值 , 即适当改变透镜的形状 , 以使球差减到最小程度。这种减小单个透镜球差的方法叫 配曲法。可以证明 , 当透镜的曲率比 rl/r2 为 此时,球差最小.

球差是孔径的偶次方函数，因此．校正球差只能使某带的球差为零。如果通过改变结构参数．使球差公式中初级球差系数A1和高级球差系数A2符号相反，并具有一定比例，使某带的初级球差和高级球差大小相等，符号相反，则该带的球差为零。在实际设计光学系统时，常通过使初级球差与高级球差相补偿，将边缘带的球差校正到零(h = hm)，即 当边缘带的校正球差, 即h = hm, L’ = 0 则 当边缘带球差为零, 当入射高度为0.707 hm, 球差最大

§6.2.3 单折射球面的球差和球差分布公式 通过对整个光学系统近轴光路和实际光路的计算，可以求得该系统各个孔径带上的球差值。但在这个计算过程中、不能获知系统中各个面对球差的贡献大小、正负和性质。 为得出一般的表示式，假设某一面的物方已有球差。分别从球面的顶点O和近轴物点A0, 作子午光线的垂线．其长度为

§67.2.3 单折射球面的球差和球差分布公式

§6.2.3 单折射球面的球差和球差分布公式 对于像方 得 两式相减，并考虑

§6.2.3 单折射球面的球差和球差分布公式 某表面像空间的球差由两部分构成、即物方球差在像空间的贡献和表面本身所产生的球差。前者 通过相当于轴向放大的因子 反映到像空间、后者由S 决定。 S 为表面的球差分布系数、表征该表面对最后球差的贡献量。

§6.2.3 单折射球面的球差和球差分布公式 表征球面产生球差的重要表示式。单个球面在三种情况下不产生球差： 1．L＝0，此时L’＝0，即不论U角多大，射向顶点的光线都从顶点折射而出，不产生球差。 2．sinI - sinI’= 0, 此时I ＝ I’ = 0, 即 L ＝r，物点位于球心。此时物点发出的所有光线均无折射地通过球面，像点仍在球心，即L’ ＝r。 3．sin I’ -sinU = 0 或 I’ = U， 对应的物像点位置分别为 以上三对不产生像差的共轭点为不晕点或齐明点。

对于整个系统中的每一面写出公式 并相加可得

§6.2.3 单折射球面的球差和球差分布公式 当物方无球差，即为实物点时，L1 = 0，上式成为 Keber球差分布公式。

例 物点位于透镜第一个折射面的曲率中心，对于该表面 不会产生像差, 第二个面满足什么也不产生球差？ 第二个面满足 也不会产生像差 则有以下:

齐明透镜 经该透镜, 可增加系统的孔径角.

§6.3 .2 慧差(coma ) 慧差表示轴外物点宽光束经光学系统成像后失对称的情况。 球差是光轴上物点以宽光束经光学系统成像产生的像差，相对于主光线对称。 当物点从轴上移到轴外，轴外物点发出的宽光束经光学系统所出现的像差称为慧差。 慧差表示轴外物点宽光束经光学系统成像后失对称。

§6.3 .2 慧差(coma ) 慧差表示轴外物点宽光束经光学系统成像后失对称的情况。

§6.3 .2 慧差(coma ) 轴外的物点发出的大孔径光线不聚焦于一点 Y P 慧尾形的弥散像 慧差的产生

§6.3 .2 慧差(coma ) http://micro.magnet.fsu.edu/primer/

§6.3 .2 慧差(coma ) 慧差表示轴外物点宽光束经光学系统成像后失对称的情况。 慧差的形成: 轴外物点发出的宽光束，经过透镜不同环带的光线束，在高斯像面上形成一系列大小不同、相互交叠的弥散圆斑；各圆斑中心在一条直线上，与主轴有不同的距离；形成一个有尖端亮点、如同彗星形状的像。

§6.3 .2 慧差 慧差的计算 　　为表示慧差的大小，通常在子午面和弧矢面内用不同孔径的光线对在像空间的交点到主光线的垂直距离表示。子午面内的光线对的交点到主光线的垂轴距离称为子午慧差，用　　表示；弧矢面内的光线对的交点到主光线的距离称为弧矢慧差，用　　表示。

子午慧差的计算

弧矢慧差的计算

孔径光阑的位置对彗差的影响 A 入瞳设在球心处，球面不产生彗差； C 入瞳偏离球心越远，失对称现象越严重，彗差越大。 光学设计：同心原则，减小彗差。 a b z A B C

减小彗差： 彗差和透镜的形状、物点的位置、光阑的大小和位置有关： 物点及光阑的位置（同心原则）光阑过单折射面的球心时不产生彗差。 减小光阑直径 对称式光学系统（b = -1） 垂轴像差自动校正。 满足正弦条件 全对称结构

§6.4 正弦差 §6.4.1 正弦差 对于轴外物点。主光线不是系统的对称轴，对称轴是通过物点和球心的辅助轴。由于球差的影响，对称于主光线的同心光束．经光学系统后，它们不再相交于一点，在垂轴方向也不与主光线相交．即相对主光线失去对称性.正弦差即用来表示小视场时宽光束成像的不对称性。 光学上的正弦条件是 该条件是当光学系统对轴上点成完善像时，使在垂铀方向上与之无限靠近的物点也成完善像的充分必要条件。这就是说，若光学系统满足正弦条件，就能对小视场物面完善成像。正弦条件可由费马原理导出。

§6.4 .1正弦差 光轴上的点A成完善像于A’。B是在过A的垂轴方向上无限靠近A的一点。设它也被系统成完善像于 B’。分别以 y 和 y’ 表示AB和A’B’。过A点的光线OA与光轴成U角。其共轭光线O’A’与光轴成U’角。过B点的光线OB与光轴成 U+dU 角，其共轭光线O’B’与光轴成 U ’ + dU ’ 角。根据费马原理，光程(OAA’O’)应与(OBB’O’)相等，即

§6.4 .1正弦差 费马原理（Fermat’s Principle） 从光程的角度讨论光在两点间传播的规律。原理：光在两点间传播时，总是沿光程为最小值、最大值或恒定值的路程传播。 =极值（极小值、极大值或恒定值） The optical length of the path followed by light between two fixed points, A and B, is an extremum. The optical length is defined as the physical length multiplied by the refractive index of the material.

§6.4 .1正弦差 以点O为中心，OA为半径作圆弧，交光线OB于E。因dU角极小、从ABE可得

同理,在像方

§6.4 .1正弦差 因 A’ 和 B’ 分别是 A 和 B的完善像, 根据费马原理，其间的光程各为极值，即(AA’)和(BB’)=0,因此光程(AA’)和(BB’)各为常数，二者之差也为常数. 可以证明(BB’)-(AA’)=常数=0 。由此得

当光学系统满足正弦条件, 若轴上点成理想像, 则近轴物点也理想成像，即不晕成像． §6.4 .1正弦差 当光学系统满足正弦条件, 若轴上点成理想像, 则近轴物点也理想成像，即不晕成像． 当物体在无限远时，sinU = 0, 以

§6.4 .1正弦差 实际光学系统对轴上点只能使某一带的球差为零，即轴上点不能成完善像，物点的像是一个弥散斑。只要弥散斑很小，则认为像质是好的。同理，对于近轴物点，用宽光束成像时也不能成完善像，故只能要求其成像光束结构与轴上点成像光束结构相同，也就是说，轴上点和近轴点有相同的成像缺陷，称为等晕成像。欲满足等晕成像的要求，光学系统必须满足等晕条件。

等晕条件 第二近轴光线出瞳距。物体在无限远处 轴上点与轴外点具有相同的球差值．且轴外光束不失对称性，即无正弦差。这就是满足等晕条件的系统

若系统不满足等晕条件，则以上公式等式两端不相等，其偏差用 OSC’ 素表示，即是正弦差。 正弦差 OSC’ ＝0，球差  L’  0，则满足等晕成像条件；若正弦差 OSC’ ＝0，球差  L’ = 0, 则

正弦差可表示为级数形式: 第一项为初级正弦差, 近似写为 J : 拉赫不变量

宽光束的原因造成了球差和彗差，破坏轴外视场成像的清晰度。如取无限细光束，是否就可以避免像差？

轴外物点细光束成像时形成两条相互垂直且相隔一定距离的短线像的一种非对称性像差被称为像散 像散(Astigmatism) 轴外物点细光束成像时形成两条相互垂直且相隔一定距离的短线像的一种非对称性像差被称为像散 A t s

§6.4 .2 像散 细光束的子午像点和弧矢像点不重合, 两者分开的轴向距离为像散 存在像散时, 不同的像面位置得到不同的物点像 子午像点处: 子午焦线 弧矢像点处: 弧矢焦线

§6.4 .2 像散

Bt’ 与Bs’ 是B点通过光学系统形成的子午像点与弧矢像点，沿光轴之间的距离Bt’ Bs’ 是光学系统的像散 如果轴外物点是“十”字形图案 Bt’ Bs’ lt’ ls’ B Bt’ 与Bs’ 是B点通过光学系统形成的子午像点与弧矢像点，沿光轴之间的距离Bt’ Bs’ 是光学系统的像散

这种即非对称又不会聚于一点的细光束称为像散光束 入瞳 光学系统 光屏 这种即非对称又不会聚于一点的细光束称为像散光束 这两条短线（焦线）光能量最为集中，它们是轴外点的像

场曲(Field curvature) 场曲是像场弯曲的简称。 http://micro.magnet.fsu.edu/primer/

场曲需要以子午场曲和弧矢场曲来表征 （1）子午场曲 用细光束子午场曲和宽光束子午场曲来度量

子午细光束焦点相对于理想像面的偏离称为细光束子午场曲，用符号xt’表示 主光线 Z 理想像平面 O1 O2 t lt’ -xt’ l’

子午宽光束焦点相对于理想像面的偏离称为宽光束子午场曲，用符号XT’表示 LT’ -XT’ l’

弧矢细光束焦点相对于理想像面的偏离称为细光束弧矢场曲，用符号xs’表示 主光线 Z 理想像平面 O1 O2 t s lt’ -xt’ ls’ -xs’ l’

弧矢宽光束焦点相对于理想像面的偏离称为宽光束弧矢场曲，用符号XS’表示 T S Ls’ -Xs’ LT’ -XT’ l’

当光学系统不存在像散（即子午像与弧矢像重合）时，垂直于光轴的一个物平面经实际光学系统后所得到的像面也不一定与理想像面重合 ※有像散必然存在场曲，但场曲存在时不一定有像散 像散和场曲既有区别又有联系 当光学系统不存在像散（即子午像与弧矢像重合）时，垂直于光轴的一个物平面经实际光学系统后所得到的像面也不一定与理想像面重合 光学系统存在场曲时，不能使一个较大的平面物体上的各点同时在同一像面上成清晰像若按视场边缘调焦，边缘清晰，中心则模糊

B点以轴外点成像：B’点; B点以轴上点成像：B1’点 §6.5 畸变 a b z A B yz’ y’ C Bz’ B0’ B1’ B’ B点以轴外点成像：B’点; B点以轴上点成像：B1’点 主光线的像差 yz’≠y’ 畸变仅是视场的函数，不同视场的b实际不同，畸变也不同。 畸变是垂轴像差，只改变轴外物点在理想像面上的成像位置，使像的形状产生失真，但不影响像的清晰度。

畸变 由于畸变的存在，物方的一条直线在像方就变成了一条曲线，造成像的失真。 畸变可分为枕型畸变和桶型畸变两种。造成畸变的原因是镜头像场中央区的垂轴放大率与边缘区的垂轴放大率不一致。如下图所示， 如果边缘放大率大于中央放大率就产生枕型畸变，反之，则产生桶型畸变。

对于单个折射面，如果将光阑设在球心处，主光线沿辅轴通过球心，且交于像面Bz’点，与理想像点B0’重合，不产生畸变， 畸变的校正 Bz’ (B0’) B A 入瞳 A’ 光阑设在球心处不产生畸变 对于单个折射面，如果将光阑设在球心处，主光线沿辅轴通过球心，且交于像面Bz’点，与理想像点B0’重合，不产生畸变，

对于单个薄透镜或薄透镜组，当孔径光阑与之重合时，主光线通过透镜的主点（也即节点），沿理想光线出射，也不产生畸变， Bz’ (B0’) B A 孔径光阑 A’ 光阑设置在透镜上不产生畸变 对于单个薄透镜或薄透镜组，当孔径光阑与之重合时，主光线通过透镜的主点（也即节点），沿理想光线出射，也不产生畸变，

B1’ B B0’ A B1’ B B0’ A 正畸变 负畸变 全对称结构 全对称结构

如果一个光组未经任何校正，一般地说上述五种单色像差将同时出现。但在一定条件下，也可能只有一种或几种像差特别显著。例如物点在主光轴上时，其它像差都不出现，只有球差单独出现。光束愈宽，球差愈显著； 近轴物点，除球差外，彗差将显著，哪怕光束不太宽，彗差也比球差显著； 远轴物点，在细光束条件下，像散将显著，球差与彗差都不显著； 至于场曲和畸变，仅在物面较大时才比较显著。

由薄透镜的焦距公式可知，同一薄透镜对不同色光有不同的焦距 §6.6 色差 由薄透镜的焦距公式可知，同一薄透镜对不同色光有不同的焦距 一定物距l成像时，因各色光的焦距不同所得到的像距l’也不同 按色光的波长由短到长，其相应的像点离透镜有近到远地排列在光轴上，这种现象称为位置色差

§6.6 色差 各种色光之间成像位置和成像大小的差异称为色差。 §6.6 色差 各种色光之间成像位置和成像大小的差异称为色差。 http://www.olympusmicro.com/primer/anatomy/aberrations.html

位置色差定义为： 近轴 F光－》紫光，C光－》红光 远轴

称为色差校正不足 称为色差校正过渡 若 称为光学系统对F光和C光消色差 消色差系统是指对两种色光消轴向（位置）色差的系统

位置色差不同于球差，它在近轴区就产生因为位置色差会严重影响成像质量（可能比球差严重）.细光束成像也不能获得白光的清晰像 因此用白光成像的光学系统都必须校正位置色差 孔径不同，白光将会有不同的位置色差.

双胶合薄透镜组消色差！！！ 位置色差的性质类似于球差 一般情况下对0.707孔径的光线校正位置色差，光学系统只能对一个孔径的光线进行校正色差 对0.707孔径带校正色差，这样可以使最大孔径的色差与近轴区域的色差绝对值相近，符号相反，整个孔径内的色差将会获得最佳的状况。当0.707孔径消色差后，F光和C光的交点与D光像点位置一般并不重合，其间距离称为二级光谱。 双胶合薄透镜组消色差！！！

By combining crown glass and flint glass (each type has a different dispersion of refractive index), they succeeded in bringing the blue rays and the red rays to a common focus, near but not identical with the green rays. This combination is termed a lens doublet where each lens has a different refractive index and dispersive properties. Lens doublets are also known as achromatic lenses or achromats for short

If fluorspar is introduced into the glass formulation used to fabricate the lens, then the three colors red, green, and blue can be brought into a single focal point resulting in a negligible amount of chromatic aberration. These lenses are known as apochromatic lenses and they are used to build very high-quality chromatic aberration-free microscope objectives. Modern microscopes utilize this concept and today it is common to find optical lens triplets (Figure 5) made with three lens elements cemented together, especially in the higher-quality objectives. For chromatic aberration correction, a typical 10x achromat microscope objective is built with two lens doublets, as illustrated in Figure 5, on the left. The apochromat objective illustrated on the right in Figure 5 contains two lens doublets and a lens triplet for advanced correction of both chromatic and spherical aberrations.

倍率色差（垂轴色差） 不同色光的焦距不等时，其放大率也不等.光学材料对不同色光的折射率不同，对于光学系统对不同色光就有不同的焦距就有不同的像高，这就是倍率色差

边缘呈现彩色

光学系统的倍率色差是以两种色光的主光 线在高斯像面上的交点高度之差来度量的. 影响成像清晰度

光学系统的成像分析 理想光学系统 实际光学系统 1、近轴区才具有理想光学系统的性质 ——无实际意义 1、任意大的空间、任意宽的光束都可以成完善像。 （视场） （孔径角） 2、计算：牛顿公式、高斯公式、近轴光路计算公式均可以 求理想像的大小与位置。 实际光学系统 1、近轴区才具有理想光学系统的性质 ——无实际意义 2、通常情况下，不能以一定宽度的光束对一定大小的物体成完善像。 成像特点： 物点——弥散斑 计算：实际光线计算 追迹成像的位置、大小与理想像的偏离——像差

在高斯像面上 接收到的像 单色弥散圆斑 彩色弥散圆斑 形状复杂的 弥散斑 像差类型 影响因素 在高斯像面上 接收到的像 轴上物点 单色 球差 孔径 单色弥散圆斑 复色 色球差 孔径、波长 彩色弥散圆斑 位置（轴向）色差 波长 轴外物点 彗差（正弦差） 孔径、视场 形状复杂的 弥散斑 细光束像散 视场 场曲 大物面 畸变 倍率色差

1、球差的产生机制、表现形式和消除方法。 2、慧差的形成机理和影响。 3、像散的机制、特征和影响。 4、场曲的形成机制和影响。 5、畸变的形成机制和影响。 6、位置色差及倍率色差的形成机制和影响。

第六章 光路计算及像差理论 §6.7 相差特征曲线与分析 子午面内的像差特征曲线 Light rays in the meridional plane

§7.7 相差特征曲线与分析 子午像差特征曲线 在高斯相面上, 物点发出的光线的交点高度与物点发出的主光线的交点高度差. 畸 变 子午慧差 畸 变 子午慧差 子午场曲

§7.9 波像差 如果光学系统成像符合理想，则各种几何像差都等于零，由同一物点发出的全部光线均聚交于理想像点。根据光线和波面的对应关系，光线是波面的法线，波面为与所有光线垂直的曲面。在理想成像的情况下，对应的波面应该是一个以理想像点为中心的球面——理想波面。如果光学系统成像不符合理想，存在几何像差，则对应的波面也不再是一个以理想像点为中心的球面。

§7.9 波像差 把实际波面和理想波面之间的光程差，作为衡量该像点质量 优劣的指标，称为波像差，如图所示。

§7.9 波像差 一般认为最大波像差小于四分之一波长，则系统质量与理想光学系统没有显著差别。这是长期以来评价高质量光学系统质量的一个经验标准，称为瑞利（LordRayleigh）准则。不同的几何像差对应的波像差w如图8—20所示 图中(a)、(b)、(c)、(d)，(e)分别为球差，彗差、像散、场曲、畸变对应的波像差。色差的波像差则用C光和F光波面之间的光程差表示，称为波色差。